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下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

4.7二倍角的正弦、余弦、正切(第二课时)

下学期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

(一)教学具准备
  
投影仪

(二)教学目标
  
1.应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题.
  2.活用倍角公式,推求半角公式.

(三)教学过程
1.设置情境
  请同学看教材第3页上的一段文字,它叙述的是一个生活中的实际问题:
“如图1,是一块以点 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上画出一个内接矩形 辟为绿地,使其一边 落在半圆的直径上,另两点 、 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径为 ,如何选择关于点 对称的点 、 的位置,可以使矩形 的面积最大?”根据教材提示应用所学的倍角公式,同学们能尝试解答它吗?
2.探索研究
  分析:要使矩形 的面积最大,就必须想办法把面积表示出来,不妨利用我们所学的三角知识,从角的方面进行考虑,设 ,则 , ,所以 可以用 表示.
解:设   则  
  
  ∵   ∴
  当 时,    即 ,
  这时  ,
答:点 、 分别位于点 的左、右方 处时 取得最大值 .
  变式:把一段半径为 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法才能使横截面的面积最大?
  生:根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大.
  以上是倍角公式在实际生活中的运用,请同学们观察以下例题,并分析、思考后能否得出证明.
3.例题分析
【例1】求证:
  (1) ;(2) ;
  (3) .
思考,讨论.
  我们知道公式 中 是任意的,所以我们可以用 来替换 ,这样就得到
  
  
  即            
    
  上面三式左边都是平方形式,当 的值已知, 角的终边所在象限已知时,就可以将右边开方,从而求得:
            
以上两式相除又得:
      
  这三个式子称之为半角公式,“±”号的取舍得由 终边所在象限确定.

【例2】求证:
   .
  分析:从例1引出例2, ,右边是同一个三角函数,并且还要附上正负号,而所要证明的式子右边有两个三角函数,不带正负号.故我们不能利用上法,得另想办法.
  师:(边叙述边板书)
  
  
  ∴
  上式不含根号也不必考虑“±”号选取,通常用于化简或证明三角恒等式,同样可作半角公式运用.

【例3】已知: ,求 , , .
  解:
    
    
  说明:①例1中(1)、(2)两式使用频率极高,正、逆使用都非常普遍.习惯从左到右,常称“扩角降幂公式”,从右到左常谓“缩角升幂公式”,
  ②半角公式是二倍角公式的另一种表达方式,倍半关系是相对的.
练习(投影)
  1.已知:       ( ),
   求:(1) ;(2) .
  2.若 ,求: 的'值.
  3.求: 的值.

参考答案:
解:1.∵
  两边平方得              ∴
  又∵         ∴
   ∴          ∴
  2.∵     ∴
   原式
  (3)
    
    
    
    
另解:设  ……………………①
      ……………………②
  ①+②得 …………………………③
  ①-②得 ……④
  ③+④得     ∴
4.总结提炼
  (1)本节课我们由倍角公式出发解决了实际应用问题,得出结论“在一个圆的所有内接矩形中,以内接正方形的面积为最大”,另外由倍角公式解答了例1、例2,从而推导出半角公式,公式“±”号的选取决定于 终边所在的象限,例2的应用也很广泛,大家可根据题目的条件选择使用较为方便的形式.
  (2)从半角公式可以看出,半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示.
  (3)若给出的 是象限角,则可根据下表决定符号.

的终边

 

的终边

一或三

一或三

二或四

二或四

 

  若给出的 是区间角,则先求 所在区间再确定符号.
  若没有给出确定符号的条件,则应在根号前保留“±”号.

(五)板书设计

二倍角的正弦、余弦、正切

1.复述二倍角公式

2.由 推出半角公式

1.课本例

2.例1

3.例2

4.例3

练习(投影)

总结提炼


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4.正弦和余弦

5.§6.1 正弦和余弦(1)

6.数学教案-正弦和余弦

7.下学期 4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质2

8.下学期 4.10 正切函数的图象和性质2