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算术平均数与几何平均数（二）
第一课时
一、教材分析
（一）教材所处的地位和作用
“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材二同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质．
（二）教学目标
1．知识目标：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的重要不等式的证明及其几何解释；掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；掌握应用平均值定理解决一些简单的应用问题．
2．能力目标：培养学生数形结合、化归等数学思想．
（三）教学重点、难点、关键
重点：用平均值定理求某些函数的最值及有关的应用问题．
难点：定理的使用条件，合理地应用平均值定理．
关键：理解定理的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键．
（四）教材处理
依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理及它们的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些实际问题．为了讲好平均值定理这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．
二、教法分析
（－）教学方法
为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能独立实现学习目标．在探索结论时，采用发现法教学；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行．
（二）教学手段
根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机辅导教学．
三、教学过程（www.fwsir.com）设计
6．2算术平均数与几何平均数（第一课时）
（一）导入新课
（教师活动）1．教师打出字幕（提出问题）；2．组织学生讨论，并点评．
（学生活动）学生分组讨论，解决问题．
[字幕] 某种商品分两次降价，降价的方案有三种：方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售；方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售；方案丙是两次都是 折销售．试问降价最少的方案是哪一种？
［讨论］
①设物价为t元，三种降价方案的销售物价分别是：
方案甲： （元）；
方案乙： （元）；
方案丙： （元）．
故降价最少的方案是丙．
②若将问题变为第一次a折销售，第二次b折销售．显然可猜想有不等式 成立，即 ，当 时，
设计意图：提出一个商品降价问题，要求学生讨论哪一种方案降价最少．学生对问题的背景较熟悉，可能感兴趣，从而达到说明学习本节知识的必要，激发学生求知欲望，合理引出新课．
（二）新课讲授
【尝试探索，建立新知】
（教师活动）打出字幕（重要不等式），引导学生分析、思考，讲解重要不等式的证明．点评有关问题．
（学生活动）参与研究重要不等式的证明，理解有关概念．
［字幕］如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”号）．
证明：见课本
［点评］
①强调 的充要条件是
②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．
③几何解释，如图。
[字幕]定理 如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时取“=”号）．
证明：学生运用“ ”自己证明．
［点评］
①强调；
②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念，并叙述它们之间的关系；
②比较上述两个不等式的特征（强调它们的限制条件）；
④几何解释（见课本）；
＠指出定理可推广为“n个（ ）正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”．
设计意图：加深对重要不等式的认识和理解；培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想，多方面思考问题的能力．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）教师打出字幕（例题），引导学生分析，研究问题，点拨正确运用定理，构建证题思路．
（学生活动）与教师一道完成问题的论证．
［字幕］例题已知 a，b，c，d都是正数，求证：
［分析］
①应用定理证明；
②研究问题与定理之间的联系；
③注意应用定理的条件和应用不等式的性质．
证明：见课本．
设计意图：巩固对定理的理解，学会应用定理解决某些数学问题．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；巡视学生解题情况，对正确的解法给予肯定和鼓励，对偏差给予纠正；请甲、乙两学生板演；点评练习解法．
（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、动两位同学板演．
［字幕］练习：已知 都是正数，求证：
（1） ；
（2）
设计意图：掌握定理及应用，反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用定理解决有关数学问题的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．
1．重要不等式可以用来证明某些不等式．
2．应用重要不等式证明不等式时要注意不等式的结构特征：①满足定理的条件；②不等式一边为和的形式，另一边为积或常数的形式．
3．用重要不等式证明有关不等式时注意与不等式性质结合．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握应用重要不等式解决有关数学问题的方
法．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．
（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．
1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解决数学问题中的应用．
2．注意：①两个重要不等式使用的条件；②不等式中“=”号成立的条件．
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．
（四）布置作业
1．课本作业；习题 ．1，3
2．思考题：已知 ，求证：
3．研究性题：设正数 ， ，试尽可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．
设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，灵活掌握重要不等式的应用；研究性题是一道结论开放性题，培养学生创新意识．
（五）课后点评
1．导入新课采用学生比较熟悉的问题为背景，容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．
2．在建立新知过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解难确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
3．通过变式训练，使学生在对知识初步理解和掌握后，得到进一步深化，对所学的知识得到巩固与提高，同时反馈信息，调整课堂教学．
4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
作业答案
思考题 证明：因为 ，所以
．又因为 ， ， ，所以 ， ，所以
研究性题 ① ．由条件得 ，…（A） 利用公式 …（B）． 得 ，即 ． ② ．由（A）、（B）之和即得．③ ．可利用 ．再利用①，即可得． ④ ．利用立方和公式得到： ．利用①可得 ．利用①②可得 ．还有 ……
第二课时
（－）导入新课
（教师活动）1．教师打出字幕（引例）； 2．设置问题，引导学生思考，启发学生应用平均值定理解决有关实际问题．
（学生活动）思考、回答教师设置的问题，构建应用平均值定理解决实际问题的思路．
［字幕］引例．如图，用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？
[设问]
①这是一个实际问题，如何把它转化成为一个数学问题？
（学生口答：设篱笆墙长为y，则 （ ）．问
题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值．）
②求这个函数的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函数的最小值？
（学生口答：利用函数的单调性或判别式法，也可用平均值定理．）
设计意图：从学生熟悉的实际问题出发，激发学生应用数学知识解决问题的兴趣，通过设问，引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题，引入课题．
（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师打出字幕（课本例题1），引导学生研究和解决问题，帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系．
（学生活动）尝试完成问题的论证，构建应用平均值定理求函数最值的方法．
[字幕]已知 都是正数，求证：
（1）如果积 是定值P，那么当 时，和 有最小值 ；
（2）如果和 是定值S，那么当 时，积 有最大值
证明：运用 ，证明（略）．
［点评］
①（l）的结论即 ，（2）的结论即
②上述结论给出了一类函数求最值的方法，即平均值定理求最值法．
③应用平均值定理求最值要特别注意：两个变元都为正值；两个变元之积（或和）为定值；当且仅当 ，这三个条件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同时成立．
设计意图：引导学生分析和研究问题，建立新知——应用平均值定理求最值的方法．
【例题示范，学会应用】
（教师活动）打出字幕（例题），引导学生分析问题，研究问题的解法．
（学生活动）分析、思考，尝试解答问题．
[字幕]例题1 求函数 （ ）的最小值，并求相应的 的值．
［分析］因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数，所以不能直接用定理求解．但把函数变形为 后，正数 ， 的积是常数1，可以用定理求得这个函数的最小值．
解： ，由 ，知 ， ，且 ．当且仅当 ，即 时， （ ）有最小值，最小值是 。
[点评] 要正确理解 的意义，即方程 要有解，且解在定义域内．
[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 ，深为 3 m，如果池底每l 的造价为 150元，池壁每1 的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
［分析］ 设水池底面一边的长为 m，水池的总造价为y，建立y关干 的函数．然后用定理求函数y的最小值．
解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得
（ ）
所以
当 ，即 时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．
（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．
［字幕〕练习
A组
1．求函数 （ ）的最大值．
2求函数 （ ）的最值．
3．求函数 （ ）的最大值．
B组
1．设 ，且 ，求 的最大值．
2．求函数 的最值，下面解法是否正确？为什么？
解： ，因为 ，则 ．所以
[讲评] A组 1． ； 2． ； 3．
B组 1． ； 2．不正确 ①当 时， ；②当 时， ，而函数在整个定义域内没有最值．
设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．
1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．
2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．
3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．
4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．
（三）小结
（教师活动）教师小结本节课所学的知识要点．
（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．
这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题．现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法．这是平均值定理的一个重要应用，也是本节的重点内容，同学们要牢固掌握．
应用定理时要注意定理的适用条件，即“正数、定值、相等”三个条件同时成立，且会灵活转化问题，达到化归的目的．
设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．
（四）布置作业
1．课本作业：P ，6，7．
2．思考题：设 ，求函数 的最值．
3．研究性题：某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、养路、汽车费用9千元；汽车的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年递增．问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？
设计意图：课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生练习，使学生能灵活运用定理解决某些数学问题；研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．
（五）课后点评
1．关于新课引入设计的想法：
导入这一环节是调动学生学习的积极性，激发学生探究精神的重要环节，本节课开始给出一个引例，通过探究解决此问题的各种解法，产生用平均值定理求最值，点明课题．事实上，在解决引例问题的过程中也恰恰突出了教学重点．
2．关于课堂练习设计的想法：
正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值是教学难点．为突破难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，发现使用定理的三个条件缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，设计解法正误讨论能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深了对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．
3．培养应用意识．
教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学．本节课中设计了两道应用问题，用刚刚学过的数学知识解决了问题，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．
作业解答
思考题：
．当且仅当 ，即 时，上式取等号．所以当 时，函数y有最小值9，无最大值．
研究性题：设使用 年报废最合算，由题意有；
年平均费用
当且仅当 ，即 时，取得最小值，即使用10年报废最合算，年平均费用3万元．
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