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国债的久期与凸性阶跃现象研究
北京世纪纵横科技发展有限公司 研究员 陈四勇
一般认为，如果国债到期收益率不变，随着到期时间的临近，久期随之缩短。但是并不尽然。比如96国债⑹，相关信息如下：
证券代码： 000696
期 限： 10年期
债券类别： 附息券
付息方式： 每年付息
发行日期： 1996年6月14日
起息日期： 1996年6月14日
到 期 日： 2006年6月14日
我们观测在到期收益率不变时，付息前一日和付息日久期与凸性的变化：日期 到期收益率（%） 全价（元） 久期（年） 凸性 2001年6月13日 3.39 150.04 3.74 19.26 2001年6月14日 3.39 138.23 4.21 22.20
表1
我们可以看到在到期收益率不变（都为3.39%），2001年6月14日的久期与凸性都较2001年6月13日高。
对于附息国债，如果保持收益率不变，在付息日的久期比付息前一日的久期更长，我暂命名其为久期阶跃现象；同样地，付息日凸性也存在凸性阶跃现象。这种阶跃现象还没有学者做过研究，投资者更没有注意到它对我们投资组合的影响。
产生久期与凸性阶跃现象的原因
为什么会产生这种久期与凸性阶跃现象呢？这还得从附息国债的到期收益率计算公式说起，对于每年付息一次的附息债，到期收益率计算公式如下：
①
P为当前该国债的价格
R为每年支付的利息
M债券面值
t为当前距下一次付息的时间(以年为单位)
T为当前到到期日之间的付息次数
r即为到期收益率（复利）
实际上该公式是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。等式的右边（T+1）项多项式，当每付息一次，该多项式将减少一项。
久期相当于上式的一阶微分，所以久期的计算公式
②
也是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。正因为它们表达式的不同，而导致其久其在付息日前后久期不连续，这就产生了久期的阶跃现象。同样的原因，也产生了凸性阶跃现象。
一个三年期债券在到期收益率不变时久期--日期关系图 ③
图 1
久期与凸性阶跃现象对投资的影响
由于久期与凸性阶跃现象的存在，使得该债券在付息后对于价格的变化更敏感。同样收益率的变化，该债券在付息日比付息前一日使价格变化幅度增大；但是价格变化的没有明显差别。
仍以96国债⑹ 为例，说明在相同到期收益率变化时，付息前后价格变化关系
日期 到期收益率为3%的价格 到期收益率为2%的价格 价格差 2001年6月13日 152.26 158.15 5.89 2001年6月14日 140.44 146.33 5.89
表2
有上表可知，在2001年6月13日，收益率从3%将到2%，价格上升了5.89；在2001年6月14日，收益率同样从3%将到2%，价格也上升了5.89。付息日与付息前一日对于同样收益率的变化，价格变化没有明显的差别。但是付息后对收益率的敏感程度有明显差别。更一般地，如果付息前一日的到期收益率与到期付息日收益率一样，成立
P1*D1≈P2*D2 ③
P1付息前一日价格，D1付息前一日的久期
P2付息日的价格，D2付息日的久期
如果付息前一日的到期收益率与到期付息日收益率一样，成立
D2/D1≈P1/(P1-R) ④
D2-D1≈R*D1/(P1-R) ⑤
可以发现，票面利率越高，阶跃现象越明显。
一般来说，随着到期日期得临近，国债价格的变化幅度将变小，但是因为久期阶跃现象，付息后投资组合久期可能增大，投资组合的相对风险增大。为了达到国债投资的免疫、套期保值、杠铃交易等目的，投资者需要重新调整期组合，这对保证达到走资者的投资目的非常重要。如何运用这种久期与凸性阶跃现象，还有待深入研究。
来源:全景网络
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