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人口预测模型的非线性动力学研究

时间:2007-3-23栏目:计量经济论文

 人口问题不仅是20世纪我国所面临的最重大的问题之一,而且在新世纪中将继续存在。无论是对我国目前经济发展状况的认识,还是对未来经济发展的预测,人口问题的研究都具有十分重要的意义。
  众所周知,人口的增长并不是按比例线性增长的,也就是说人口问题是非线性动力学问题。在非线性系统中,可能会出现分岔现象,分岔理论为我们研究人口问题提供了一种新的方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象,而实际上我们所处的社会经济系统中的绝大部分都是非线性,因此可以运用分岔和混沌理论来研究。本文将分岔和混沌理论用以研究人口问题,提出了人口的跨临界分岔。
    一、模型的建立
  设在时刻t(以年为单位)时的人口数量为p(t),则人口的增长率为,再假设出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不随时间变化,则由马尔萨斯人口理论可得:
  附图
  其中:d[,1]=b(p,t)-d(p,t)>0,一般而言出生率大于死亡率。
  显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷,它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡和人文环境因素,即生活资料及空间的局限、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及传统观念等因素。
  生活资料及空间的局限和人与人的竞争会导致冲突,对人口的增长起到制约的作用。统计规律显示,从人口p(t)中随机抽取一个人,他与其他人冲突的概率与人口总数成正比,即:冲突次数=k[,1]p(t),那么个人冲突的总次数为。而制约作用也是随着总次数的增长而增长的,同总次数成正比,以δ[,1](p,t)表示制约作用,则
  附图
  可以认为影响作用与生产力发展水平α[,2]成反比,与文化发展水平α[,3]成反比,与中国传统观念α[,4]成正比,与人口数量p(t)成正比,用δ[,2](p,t)表示这种影响,则:
  附图
  假设在未来的若干年内,各地区的人口比例保持不变,则对于某个地区来说,机械迁徙的人口数量与该地区经济发达程度α[,5]成正比,与迁出区的人口数量成正比,由于可以近似地认为各地区的人口比例不变,所以可以认为与该地区的人口数量成正比,则:
  附图
    二、模型分析
  附图
  运用稳定性分析方法,可以很容易地判断其稳定性。
  附图
  图中,实线表示稳定,虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分岔图可以看出,在α的某个领域内,当α>0时,人口数量是稳定增长的;而当α<0时,从α系数的物理含义上看,说明死亡率大于其他影响因素系数之和,但是此时由于先前α>0,人口数量已经有所增加,所以能保持人口数量的稳定,同时我们也可以看出只有短期内保持α<0,人口数量才会稳定。
  将再分岔出周期8解、16解等等,大约在3.56994时,进入混沌区,如图2所示。
    三、模型的求解
  设初始时刻t[,0]的人口为p[,0],将(5)式分离变量后两边取定积分,进行求解可得:
  附图
  只要求出α和β,就可以运用(9)式作人口预测。理论上,只要将两年的年份与人口数量,即:t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代入(9)式,则可得一个二元方程组,通过求解此二元方程组,便可以得到α和β值,但是此二元方程组为超越方程组,求解十分困难。
  生态学家通过大量的统计,认为不鼓励也不限制生育时的α值为0.029,将α代入(9)式则可求得:,可以看出β会随着所代入的t的不同而变化,不再是一个常数,而是一个变量;另一方面,我国实行计划生育,限制了出生率,并且模型(5)中考虑了生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及中国传统观念等因素的影响,因此α的值不再是0.029。
  基于上述原因,本文采用数值解法,即:确定适当的α和β,使得:
  附图
  其中:p[,i]是第i年的人口数量。则
  附图
  根据(11)式求解十分复杂,可以用Matlab或c语言编写一段程序,在一定范围内搜索α与β值,使得(10)式成立。
    四、实证分析
  本文就河北省1952年~2000年人口数量进行实证分析和检验。众所周知,在建国后近50年中,我国经历了3年自然灾害,80年代开始实行了计划生育政策,这些都会改变动力系统的特征,因此不能将这49年的数据看成是同一动力系统的,而应该将它们分成不同的动力系统:1952年~1959年、1966年~1979年、1980年~1989年、1990年~2000年。3年自然灾害造成了人口数量的骤减,不仅改变了动力系统的特征,而且还造成了1960年~1965年数据的不稳定,应予以剔除;80年代后实行计划生育,但是1989年的学潮引起了大量人口的机械迁移,因此90年代视为另一个动力系统。
    表1  数据计算和检验  (单位:万人)
  附图
  由表1可以看出,使用本文所提出的方法,能够较为精确地预测出人口的数量。四个阶段的α均大于0.029,这表明生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平、中国传统观念、人口机械迁移以及实行计划生育等因素的综合影响,使人口趋于增多。相对人口增长率,即,总体上越来越小,80年代的攀升主要是由于人口迁移的影响,从整体上看人口自然增长率(一般小于人口增长率)也是逐年降低的。
【责任编辑】顾岚
【参考文献】
  1  方亚玲.《对人口模型的研究》.《山西煤炭管理干部学院学报》,2000年第2期.
  2  罗警山.《人口模型中的分岔研究》.《系统工程与电子技术》,1990年第10期.
  3  王洪礼,张琪昌.《非线性动力学理论及应用》,天津科学技术出版社,1999.

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