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数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用

时间:2006-11-21栏目:数学论文

  数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用
  
  悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性,这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了,因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。现在我作如下简单阐述:
  
  毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”,而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派的致命打击,也对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”.
  
  二百年后,欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。一直到18世纪,当数学家证明了圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
  
  伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪微积分诞生,但是微积分理论是不严格的。理论都建立在无穷小分析之上,作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
  
  数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”.笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机的产生。
  
  十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。然而,与此同时十八世纪粗糙的,不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。当时数学中出现的混乱局面了。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪,批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。
  
  使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。后来,德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。
  
  柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。1892年,另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
  
  十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而这使数学家们为之陶醉。
  
  可是,1903年一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
  
  罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就属于S.无论如何都是矛盾的。
  
  罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。这一悖论就像在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
  
  危机产生后,人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。1908年,策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
  
  以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与解决,从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。

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