九年义务教育五年制小学教材数学第八册介绍

人民教育出版社小学数学室编著的这册教材是根据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》的要求，在总结原通用教材和我室实验教材经验的基础上编写的，供五年制小学四年级第二学期使用。这册教材的主要内容有三角形、平行四边形和梯形，多边形面积的计算，简易方程，约数和倍数，分数的意义和性质，共计５个单元。

本册教材在内容的安排和编写方式上与第七册教材有相同的特点，即在前几册教材的基础上，根据小学高年级学生的认知和思维发展的特点，适当增加概括性的数学知识，进一步加强知识间的内在联系和知识的逻辑性、系统性，使学生在知识技能和逻辑思维能力等方面有较大的提高，为进一步学习打下更好的基础，也便于同初中数学的学习更好衔接。

１．适当加强简易方程。简易方程属于代数知识。在小学数学中适当引入一些代数初步知识，有利于学生巩固和加深对已学过的算术知识的理解；可以使一些整数、分数、百分数的应用题（主要是逆思考的）化难为易，减轻学生学习负担，提高学生的解题能力；有助于培养学生的抽象思维能力；有利于加强中小学知识的衔接。

２．本册教材平面图形的内容较多，在教学中，注意加强操作和画图，沟通图形之间的内在联系，可以进一步加深学生对有关图形和面积计算公式之间的内在联系的认识，更好地发展学生的空间观念。

３．加强约数和倍数中的基本概念和算理的教学。这部分教材的概念比较多，也比较抽象，知识的前后联系也比较紧密。本册教材在原通用教材的基础上，又采取了加强操作和直观，加强算理教学，加强对易混概念、计算方法的区分等手段，使学生较好地掌握这部分知识。

４．加强新旧知识的联系和分数概念的教学。教材注意加强与已学的分数初步知识的联系，并在此基础上加以概括；加强了商不变性质与分数基本性质和约分、通分的内在联系，可以促进学习的迁移。

５．加强学生思维能力的培养。本册教材概念、法则多，抽象性强。考虑到学生抽象思维的发展已经有了一些基础，教材在培养学生思维的严密性和灵活性方面有所加强。

本单元的几何初步知识是在学生初步认识了直线、线段和角、直角，初步掌握了长方形、正方形的特征的基础上进行的比较系统的教学，可使学生对平面图形中一些最基本的概念有比较清楚的认识。学好这部分内容，不仅能扩展学生的知识面，从形的方面加深对周围事物的认识，提高学生解决实际问题的能力，而且可以发展学生的空间观念和思维能力，也为后面学习一些图形的面积计算打下较好的基矗本单元包括角的度量，垂直和平行，三角形，平行四边形和梯形，共４节。

（一）角的度量

教材先讲直线和线段，并在此基础上引出射线，使学生掌握三个概念的联系和区别，为进一步学习图形的知识打好基矗接着利用射线的概念给角下定义，再通过操作，用运动的观点说明角的概念，通过比较角的大小加深对角的认识。然后讲角的度量。先引入量角器，指出角的计量单位是“度”，再讲用量角器量角的方法，并通过实际操作说明，角的大小要看两边叉开的大小，与角的两边画出的长短没有关系。关于角的分类，教材通过折纸和用量角器量角来认识直角和平角，再通过测量介绍锐角和钝角。角的画法，教材通过例题，教学按给定的度数画角，说明画角的三个步骤，初步培养学生作图的能力。

（二）垂直和平行

１．垂直

在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种情况。因此，教材在讲垂直时，从两条直线相交组成四个角引入，然后使其一条直线转动，使∠１变成直角，观察其他角变成了什么角，使学生看到每相邻两个角都是直角。在此基础上引出垂直的概念。然后讲解画垂线的方法（分两种情况）。接着通过实际测量得出，从直线外一点与这条直线垂直的线段最短，并在此基础上引出点到直线的距离的概念。教材最后讲用画垂线的方法画长方形、正方形，这是画垂线的一种实际应用。

２．平行

学生在学习第四册时对平行线已有了初步认识，这里让学生举出具体实物中的平行线。在复习的基础上，进一步通过延长每组直线，揭示平行线的本质特征，进而抽象出平行线的概念。之后，教材出现在平行线间作几条垂线，通过量它们的长度，初步认识平行线间的距离处处相等的性质。最后，教学用直尺和三角板画平行线的具体步骤和方法。教学时要强调，画平行线时直尺和三角板不能滑动。

（三）三角形

１．三角形

的特性教材通过观察学生所熟悉的具有三角形形状的实物，抽象概括出三角形的定义。接着通过实际操作让学生认识三角形的稳定性，并举例说明三角形的稳定性在实践中有广泛的应用，使学生认识到学习三角形有很重要的实际意义。

２．三角形的分类

教材首先把三角形按角进行分类，并用集合图形象地表示出来，使学生看到三角形整个集合与这三种三角形之间是整体与部分的关系。至于按边分类，要难一些，教材中只结合具体例子，通过观察和操作来认识等腰三角形和等边三角形，并抽象、概括出它们的定义，然后引出三角形的底和高以及高的画法。除此以外不作更高要求，以免加重学生负担。

平行四边形和梯形都是特殊的四边形。教材从观察各种四边形开始，先引出四边形的概念，再概括出平行四边形的定义，并通过操作和观察认识平行四边形的不稳定性以及它在实际中的应用。然后介绍了平行四边形的底和高以及高的画法，说明平行四边形和长方形、正方形的关系，并用集合图表示出来。在这以后教材让学生通过观察、比较，抽象出梯形的一般图形，再通过操作认识梯形的特征，进而概括出梯形的定义。最后介绍梯形的上底、下底、腰及高的概念，再说明什么是等腰梯形，并通过实际度量认识它的特征。

本单元是在学生掌握了平行四边形、三角形和梯形的特征，以及长方形和正方形面积计算的基础上教学的。通过这部分内容的教学，使学生理解并掌握面积计算的公式，会计算平行四边形、三角形和梯形的面积，加深对图形特征以及各种图形之间的内在联系的认识，进一步发展空间观念和思维能力。

为了使学生循序渐进地掌握各种多边形面积的计算方法，根据各种图形面积计算的内在联系和学习迁移的规律，本单元面积计算的教学顺序与上一单元中认识这些图形时的教学顺序不同。教材以长方形面积的计算为基础，从研究平行四边形的面积开始，引导学生把平行四边形转化为长方形来计算面积。然后再以平行四边形面积的计算为基础，推出三角形面积的计算方法。最后再引导学生运用迁移规律自己推导出梯形面积的计算公式。这样，不仅能使学生以简驭繁地逐步地掌握这些图形面积的计算方法，还渗透了数学的转化思想，培养了学生应用旧知识解决新问题的能力，既减轻了负担，又提高了质量。

（１）加强学生动手操作。通过操作可以加深学生对图形面积概念的认识，探索面积的计算方法，发展思维能力和空间观念。

（２）引导学生运用转化的方法，启发学生探索规律，沟通知识之间的内在联系，使学生在理解的基础上掌握面积的计算公式，发展思维。

（３）适当渗透数学中的变换思想。这里渗透了平面图形的平移和旋转，这有利于促进学生初步认识一些简单的数学方法，同时使空间观念也得到发展。

本单元的内容包括平行四边形面积的计算，三角形面积的计算，梯形面积的计算，实际测量，＊组合图形面积的计算，共计５节。其中第五节为选学内容。

（一）平行四边形面积的计算

教材先给出方格纸上的平行四边形和长方形，让学生通过数方格求出平行四边形的面积，再算出长方形的面积。当学生发现它们的面积相等时，再让学生通过观察，比较平行四边形的底、高与长方形的长、宽有什么关系，为进一步探讨平行四边形面积的计算方法做好准备。

教材接着提出问题，不数方格能不能计算平行四边形的面积，怎样把平行四边形转化成长方形来算。教材在这里利用转化方法，通过学生动手操作、探索，把平行四边形转化成已学过的长方形，从而把计算平行四边形的面积转化为计算长方形的面积。教材在这里不是像以往一样让学生只进行割补，而是通过图示引导学生把剪下来的部分按照一定的方式平移，从而渗透了平移思想（通过这样操作，学生把一个平行四边形转化成一个与它面积相同的长方形）。然后让学生自己找出长方形的长、宽与原来平行四边形的底、高的关系，推导出平行四边形的面积计算公式。

（二）三角形面积的计算

这部分教材开始仍从数方格计算三角形的面积引入。教材在方格纸上给出三种不同的三角形，让学生分别用数方格的方法求出它们的面积。然后提出问题，启发学生想，不用数方格的方法怎样计算三角形的面积，能不能把三角形转化为已学过的图形。

教材分三步引导学生进行动手操作。先用两个完全一样的直角三角形拼，能够拼出长方形、平行四边形和各种不同的三角形。引导学生观察哪些图形的面积会计算，着重解决直角三角形和平行四边形面积的关系，使学生看到只有把三角形转化为平行四边形，才能运用旧知识解决三角形面积的计算问题，并启发学生想一想，每个直角三角形与拼成的平行四边形的面积有什么关系，为概括三角形面积公式做了初步准备。接着让学生用两个完全一样的锐角三角形拼摆。学生已经有了用直角三角形拼摆的基础，在此着重通过拼摆活动渗透旋转、平移思想，主要是引导学生用旋转的方法拼摆。在操作的基础上再引导学生想，每个锐角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系，使学生明确每个锐角三角形的面积也是拼成的平行四边形面积的一半。最后一步教材没有给出具体的指导，让学生自己用两个完全一样的钝角三角形拼，发现每个钝角三角形的面积也是拼成的平行四边形面积的一半。在此基础上，引导学生自己说出三角形的底、高与拼成的平行四边形的底、高的关系，从而总结出三角形面积的计算公式。

（三）梯形面积的计算

学生在本单元的前两节已学习了一些转化的思想和方法。教材在教学求梯形的面积时，没有再从数方格开始，而是给出一个梯形，让学生想能不能仿照求三角形面积的办法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积。然后通过图示引导学生动手操作，把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，再比较梯形的底、高与拼成的平行四边形的底、高有什么关系，自己推出梯形面积的计算公式。

（四）实际测量

这一节教材包括两部分内容：在地面上测量距离，步测和目测。

教材先教学在地面上测量距离，这部分内容属于工具测量。工具测量在日常生活中用得很广泛，是实际测量中的重要手段。教材先介绍在地面上测量的常用工具，并配以实物图。然后着重通过图示说明测量较远的距离时，需要先使用标杆测定一条直线，再用卷尺或

步测是通过人走步的步长和步数来计算地面上两点之间距离的方法，也属于工具测量的性质，只不过是以步代替测量工具。教材先介绍确定步长的办法，并通过例１教学如何计算步长。接着又通过例２教学如何步测两地间的距离。目测是用眼睛估量一段距离的长度。

目测是在没有测量工具或者测量不太方便，而又对测量结果要求不很精确的情况下使用的。目测需要测量的人对地面上两点间的距离有一定的经验才能测得比较准确。教材介绍了一些取得这些经验的练习方法，教学时可以介绍一些，还可以做一些适当的练习。这部分内容只要求学生初步了解一些这方面的知识就可以了，不作具体要求。

（五）＊组合图形面积的计算这一节是选学内容。在实际生活中，我们见到的物体表面，有很多图形是由我们已学过的正方形、长方形、平行四边形、三角形或梯形组合而成的，经常需要计算这些组合图形的面积。本节教材只出现由两个简单图形组合成的图形，以使学生对组合图形的构成，以及简单的组合图形面积的计算有个初步认识。

本单元是在学生已学了一定的算术知识，初步接触了一点代数知识的基础上，进一步学习用字母表示数和常见的数量关系，解简易方程和列方程解应用题等代数初步知识。使学生掌握本单元的知识，不仅有助于提高学生的抽象思维能力和解题能力，而且可为后面学习分数应用题、几何初步知识、比和比例等内容打下较好的基础。

本单元教材包括用字母表示数、解简易方程、列方程解应用题，共３节。

（一）用字母表示数用字母表示数，对小学生来说是比较抽象的。教材一方面把用字母表示数的教学适当分散，另一方面本节把用字母表示数的教学顺序与原通用教材比作了适当调整，即先复习本单元前的有关内容中出现的用字母表示运算定律和计算公式，在此基础上，再引出用字母表示常见的数量关系和数量。这样处理，更加符合由易到难的编排原则。

就思维过程而言，由具体的数和用运算符号组成的式子过渡到含有字母的式子是从个别上升到一般的抽象化过程；而把具体的数代入含有字母的式子求它的值，则是与上述过程相反的过程，即从一般到个别的具体化过程。因此求含有字母的式子的值可以帮助学生更好地理解用字母表示数的意义，并为后面学习解方程进行验算打下基础。

教材首先教学用字母表示运算定律和计算公式。以用字母表示运算定律为例，说明用字母表示数的意义。然后通过复习用字母表示一些平面图形的面积计算公式，引出一个数的平方的意义以及它的读、写法。教学时应注意引导学生区别ａ２和ａ×２所表示的意义。

教材在教学用字母表示常见的数量关系时，以“路程＝速度×时间”为例，来说明怎样用字母表示数量，写出数量关系式，并通过例２进一步说明怎样将各个量的值代入关系式求值。

教材进一步安排了用含有字母的式子表示数量。教材先给出两个比较简单又是学生所熟悉的实例，并从具体的数逐渐引出用字母表示数。然后教材加以概括说明，并通过例３给以示范。

（二）解简易方程

教材先通过直观引入等式与方程的概念，并通过实例说明方程的解和解方程的含义。然后在已学的基础上进一步教学简易方程的解法。小学数学中的方程，由于类型比较简单，未知数一般只出现在等号的一端，而且是在非负整数的范围内研究的，因此，可以根据四则运算各部分间的关系及运算定律来求解，这样学生易于接受。这部分内容与本单元的第三节紧密配合，主要是为列方程解应用题做准备。

教材首先通过天平演示，引出等式。接着再通过两个实例，引出含有未知数的等式，再利用等式概括出方程的定义，并借助集合图，说明等式与方程的关系。

教学解简易方程时，教材首先举例说明什么叫方程的解，然后联系已学的求未知数的知识，指出什么叫做解方程。通过例１说明解最简单的方程的一般步骤、检验的方法及书写的格式。教学方程的解和解方程这两个概念时，应结合课本上的例题使学生能够区别它们。接着，教材通过４个例题教学含有二、三步计算的简易方程的解法。

（三）列方程解应用题

这一节教材主要教学适合用方程解的二至三步计算的应用题，使学生初步体会到用方程解应用题的优越性，掌握用方程解应用题的方法。教材从复习简单应用题的两种解法入手，指出什么叫列方程解应用题。通过例１和例２教学列方程解应用题的一般步骤和方法，使学生看到，列方程解应用题的关键是在理解题意分析数量关系的基础上，找出应用题中数量间的相等关系，然后总结出列方程解应用题的一般步骤。教学时要注意抓住解题的关键，指明思路，以帮助学生突破列方程这个难点。

在学生初步学会列方程解答应用题的方法和步骤的基础上，教材进一步教学解答一般的两、三步应用题。教材还安排了列方程中用一个字母解含有两个未知数的应用题。这种应用题在实际中有一定用处，而且是学习分数应用题的重要基矗教材在最后安排了用方程解和用算术方法解应用题的比较，使学生弄清两种解法各自的特点，培养学生灵活解题的能力。以后的应用题，除了有明确要求的以外，都不要求学生必须用哪种方法解答，而是哪种简便就用哪种方法解答。

本单元教材是在学过整数的四则运算的基础上进行教学的。它是以后学习约分、通分、分数四则运算的基矗通过对这部分内容的教学，使学生获得一些有关整除性的知识，即数论中最初步的知识，可为学生到中学学习因式分解做些准备。使学生加深对整数性质的认识，还有助于发展他们的抽象思维。本单元教材概念较多，内容比较抽象，重点是求最大公约数和最小公倍数。

本单元的内容包括：约数和倍数的意义；能被２、５、３整除的数；质数和合数，分解质因数；最大公约数；最小公倍数。共计５节。

（一）约数和倍数的意义

约数和倍数是本单元中最基本的概念，为了便于学生理解，教材适当加强操作和直观教学。教材先复习“整除”的意义，在此基础上用定义的形式对“整除”加以概括，并用字母表示相除的两个数，突出除数不能是０。接着在整除概念的基础上以定义的形式引出约数和倍数的概念，并指出约数和倍数的相互依存关系，渗透了对立统一的思想。教学时要结合例子使学生分清“除颈和“整除”的区别。教材接着通过例２教学一个数的约数的求法：通过摆奎逊耐彩条，采取直观手段和抽象算式的对照，加深学生对约数概念的理解，掌握一个数的约数的求法，并使学生理解一个数的约数是有限的，以及其中最孝最大的约数各是多少。教材接着通过例３教学一个数的倍数的求法。教材仿照教学约数的方法，也把摆彩条和列算式对照起来，使学生理解自然数是无限的，一个数的倍数也是无限的。

（二）能被２、５、３整除的数

这部分内容是在学生学习了约数和倍数的基础上教学的。它是分解质因数、求最大公约数和最小公倍数的重要基础，也是学习约分和通分知识的必要前提。

教材先教学能被２整除的数的特征，利用前面学过的２的倍数的求法，引导学生观察一些２的倍数的个位数，进而概括出能被２整除的数的特征。在此基础上介绍偶数和奇数的概念。教材接着教学能被５整除的数的特征，其编排与能被２整除的数的特征相似。教学时，可以参照其教法进行。教材在讲能被３整除的数的特征时，在引导学生观察的基础上，进一步增加提示，让学生观察各位上的数的和的特征，减缓学生思考的难度，最后概括出能被３整除的数的特征。

（三）质数和合数，分解质因数

教材先通过例１引导学生找出１～１２各数的全部约数，然后按照每个数的约数的个数及特点进行分类。在此基础上给出质数、合数的概念，同时说明１既不是质数，也不是合数。再通过例２加深对质数、合数的认识。

教学分解质因数时，教材先通过“观察”，提出问题让学生思考，进而得出，一个合数总可以写成几个质数相乘的形式，为教学例３做准备。例３教学怎样分解质因数，教材利用奎逊耐彩条进行教学。教材中分三栏，左边是用彩条操作的结果，中间是塔形分解式，右边是算式分解式。在把６、２８和６０分解成几个质数相乘的基础上，说明什么是一个合数的质因数，什么叫分解质因数。然后，教材介绍了用短除法分解质因数的方法。短除法与上面的分解式实质上是一样的，只是形式不同。短除法便于很快得到分解的结果，还可为用短除法求最大公约数和最小公倍数做准备。教学时，可以结合例子说明什么叫短除法，并总结一下分解质因数的步骤，说明要注意的问题。

（四）最大公约数

教材通过例１教学公约数和最大公约数的概念。教材利用彩条作为直观教具和学具，通过让学生操作，帮助学生建立这两个概念的表象。在此基础上引出公约数和最大公约数的概念，并用集合图表示８和１２的公约数，以加深对公约数的理解。接着在公约数的基础上，引出互质数的概念，并举例加以说明。教学时要注意区别质数和互质数的意义。例２和它下面的“做一做”呈现的是求两个数的最大公约数的一般情况。在此基础上总结出求两个数的最大公约数的一般方法。接着通过例３教学求最大公约数的两种特殊情况。通过讨论，归纳出这两种特殊情况求最大公约数的方法。

（五）最小公倍数

这部分教材的编排顺序与“最大公约数”基本相同。教材通过例１教学公倍数和最小公倍数的概念，并通过数轴和集合图等直观手段帮助学生理解这些概念。例２和它下面的“做一做”呈现的是求两个数的最小公倍数的一般情况。接着总结出求两个数的最小公倍数的一般方法。

然后通过例３教学求最小公倍数的两种特殊情况。例４教学３个数的最小公倍数的求法。与前面略有不同的是，求３个数的最小公倍数，取公有的质因数时，除了取３个数公有的质因数外，还要取出其中两个数公有的质因数作除数，而把另一个数移下来，教学时要结合例子使学生理解这一点。

本单元是学生系统学习分数的开始，通过这部分内容的教学，使学生进一步理解分数的意义和性质，为今后学习分数四则运算和解答分数应用题打好基矗本单元内容包括分数的意义，真分数和假分数，分数的基本性质，约分和通分，共计４节。

（一）分数的意义

１．分数的产生和分数的意义

在教学分数的意义之前，先简单说明分数的产生，使学生知道分数完全是为了适应实际需要而产生的，从而提高学生学习分数的积极性，并受到历史唯物主义观点的教育。

分数的意义是在已有的基础上使学生从感性认识上升到理性认识。教材通过两组图，引出单位“１”，然后总结概括出分数的意义。接着教学分子、分母的含义，引导学生结合分数的意义对分子、分母的含义加以概括。分数单位是一个重要的概念，教学时要注意强调单位“１”被等分的份数不同，分数单位就不同，每一个分数都是由分数单位组成的。例１是运用分数的意义说明一个数是另一个数的几分之几。

２．分数与除法

分数与除法的关系在前面有些孕伏，但没有明确提出来，通过这部分内容的学习，可以加深和扩展学生对分数意义的理解，也为后面的学习打下基矗教材首先指出了分数可以表示整数除法的商，并通过两个例题教学分数与除法的关系。在此基础上，加以总结，并写出分数和除法的关系式。再引导学生想分

３．分数大小的比较

这部分内容教学分母相同或分子相同的两个分数比较大校教学时，一方面要借助图形直观地比较分数的大小，另一方面还要联系分数的意义和分数单位进行比较。然后再引导学生归纳总结出比较分数大小的方法。

（二）真分数和假分数

通过教学真分数和假分数，可以使学生比较全面地理解分数的概念。教材通过观察例１、例２的两组图形，比较每个分数的分子和分母的大小，在此基础上概括出真分数和假分数的意义和特征。

教材接着教学把假分数化成整数或带分数。分数实际上只有真分数和假分数两种，带分数只是分子不是分母倍数的假分数的另一种表示形式，教学时要注意这一点。教材通过两个例题说明把假分数化成整数或带分数的方法，并让学生比较两种化法的相同点和不同点，在此基础上总结归纳出把假分数化成整数或带分数的法则。

把整数或带分数化成假分数，在分数四则计算中经常用到。教材先教学把整数化成用指定的数做分母的假分数，再教学把带分数化成假分数。教材通过３个例题的教学，分别总结出把整数或带分数化成假分数的方法。

（三）分数的基本性质

分数的基本性质是以分数大小相等这一概念为基础的。教材先通过直观使学生了解分数的分子、分母不同，但是分数的大小可以相等。接着进一步研究３个分数的分子和分母，思考它们是按照什么规律变化的。在研究变化规律时，注意联系分数的意义说明算理。接着，引导学生从上面的分析中归纳出分数的基本性质。教学时要注意联系整数除法中商不变的性质来说明分数的基本性质。

（四）约分和通分

１．约分

约分是分数基本性质的直接应用。教材通过例１教学约分的意义、最简分数和约分的一般方法，又通过例２教学约分的书写格式。最后总结约分的一般方法和要注意的问题，并指出约分时如果能很快看出分子和分母的最大公约数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。

２．通分

通分是比较异分母分数大小和计算异分母分数加减法的重要步骤。教材在复习题之后指出了通分的必要性，并通过例３，借助图形的直观，说明通分的意义和一般方法。例４教学分母是互质数和分母有倍数关系的两组分数的通分，使学生掌握用简便的方法进行通分。例５教学３个分数的通分，为后面学习３个或３个以上的异分母分数加减法做准备。