九年义务教育五年制小学数学第九册教材简介

人民教育出版社小学数学室编著的这册教材，是根据《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》的要求，在总结原通用教材和我室实验教材经验的基础上编写的，供五年制小学五年级第一学期使用。这册教材的主要内容有：分数的加法和减法；分数乘法；分数除法；分数、小数四则混合运算和应用题；长方体和正方体。共计５个单元。

本册教材在安排上和编写方式上，与四年级有相同的特点，即适当增加概括性的数学知识，适当加强知识的逻辑系统性，进一步加强知识间的内在联系，适当加强逻辑思维能力的培养。除此之外，还注意适当加大教学的步子，适当增加综合运用和灵活运用所学知识解决简单实际问题的练习，以便更好地完成小学数学的教学任务，并更好地与初中的数学教学衔接。

１．改进分数加、减法的编排。

分数加法和分数减法都有同分母分数、异分母分数和带分数相加或相减的情况，它们在计算方法上有共同的特点。所以宜于把加法和减法结合起来教学，以便于学生掌握计算法则，迁移类推。在分数加、减法中，带分数相加、减的情况是个难点。考虑到带分数只是分子不是分母的倍数的假分数的另一种写法，在带分数加、减法中，分数部分既有同分母的，又有异分母的，因此在教材中不把带分数加、减法单独列为一节，而把含有同分母、异分母的带分数加、减法并入同分母、异分母的分数加、减法中。这样既便于突出同分母、异分母分数加、减法的计算法则，又分散了带分数相加、减的难点，便于学生逐步掌握。

２．适当调整分数乘、除法的内容，改进分数乘、除法的编排。

在分数乘法和分数除法这两个单元中，都先集中教学每种运算的意义和计算法则，然后再着重教学分数乘、除法应用题。这样容易突出重点，有利于学生理解和掌握分数乘、除法的概念、计算法则和实际应用。教材还注意加强分数与整数的联系，在教学分数乘加、乘减混合运算的基础上，把整数乘法运算定律推广到分数。在教学分数除法之后，教学比的意义、性质和应用。这样安排，一方面有利于加强比和分数的联系，加深学生对分数的意义的理解和认识，提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力；另一方面为后面教学圆周率、百分数、统计图表等做较好的准备。

３．加强分数四则的基本计算，降低分数、小数四则混合运算的难度。

分数四则计算是进一步学习的重要基础，应使学生比较熟练地掌握。教材中，着重练习一步式题和两、三步的混合运算式题，主要编入一些分子、分母比较小的大部分可以口算的分数四则计算。分数、小数混合运算也适当简化，加强简便计算的练习。

４．适当扩展分数应用题的范围，改进分数应用题的编排。

进入五年级，对应用题的教学要求主要有以下三点：（１）能够答常遇到的比较简单的分数四则应用题；（２）进一步提高用算术方法和用方程解应用题的能力；（３）能够综合运用所学的知识解答一些较简单的实际问题。按照上述教学要求，在本册教材中适当扩展了分数应用题的范围。主要有以下几个方面：（１）把已学的两三步整、小数四则应用题，适当改换一些数据为分数。（２）适当扩展求一个数的几分之几是多少以及已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题的范围。（３）适当出现少量的综合运用知识来解答的比较简单的实际问题以及可以用不同方法解答的应用题（不超过三步）。同时，注意加强方程解法的教学。把方程解法和算术解法紧密联系起来，既便于学生掌握两种解法的解题思路，又便于学生灵活地选择题解方法，促进思维的发展，而且不会加重学生的学习负担。

５．加强操作和联系实际，进一步发展学生的空间观念。

教材一方面注意从学生熟悉的实际物体出发，抽象概括出几何图形的知识，另一方面适当增加联系实际的题目，使学生学会灵活运用所学的知识解决简单的实际问题。同时，教材通过操作，加深学生对概念的理解，通过知识间的联系和对比，使学生弄清一些容易混淆的概念或计算方法。

６．加强能力的培养。

本册教材在发展学生智力、培养学生能力方面有很多做法与前几册相同。但是由于学生进入五年级，抽象思维有了一定的基础，根据本册分数知识和几何初步知识的特点，在培养学生探索规律，应用一些数学方法迁移类推及思维的严密性以及思维的灵活性培养等方面，进一步予以加强。

本单元是在学生掌握了整、小数加减法的意义及其计算法则，分数的意义和性质，以及在第五册学过的简单的同分母分数加、减法计算的基础上进行教学的。通过本单元的教学，要使学生理解分数加、减法的意义，掌握计算的方法；会口算简单的分数加、减法；会用运算定律进行一些分数加法的简便运算；掌握分数和小数的互化方法，正确地进行分数、小数加减混合运算；会解答分数加、减法应用题。本单元包括：同分母分数加、减法，异分母分数加、减法，分数加减混合运算，分数、小数加减混合运算，共４节。

（一）同分母分数加、减法

１．分数加、减法的意义。

教材先安排了一组有关分数单位的复习题，为学生理解分数加、减法的算理做好准备。然后通过两道数量关系相同，已知条件不同的例题，分别教学分数加法、减法的意义以及同分母的分数加、减法。例１着重说明分数加法与整数加法的意义相同，并结合图示，使学生看清分数的分母相同也就是它们的分数单位相同，可以把这两个分数直接相加。例

２．同分母分数加、减法的计算法则。

教材首先引导学生比较例１、例２，看同分母分数加法和减法的计算有什么共同点，总结出同分母分数加、减法的法则。然后分三道例题教学同分母分数加、减法计算中需要解决的一些特殊问题。例３教学计算的结果能约分的要约成最简分数，是假分数的一般要化成带分数或整数。例４教学三个同分母分数连加以及单位名称的问题。例５教学把１化成与其他分数分母相同的分数，以及分数的分子是０的情况。

３．同分母的带分数加、减法。

这部分内容重点是教学同分母的带分数加、减法的计算法则，难点是减法中遇到分数部分不够减时的处理方法。教材分两道例题进行教学。例６教学带分数加法的一般方法。教材结合直观图形，引导学生进行思考，得出“先把带分数的整数部分和分数部分分别相加，再把所得的数合并起来”的一般方法。接着，把例６改成减法应用题，让学生根据带分数加法的算理类推出带分数减法的计算方法。在此基础上，引导学生总结出同分母的带分数加、减法的计算法则。例７教学被减数的分数部分不够减时的处理方法。教材在已有知识的基础上，通过“想”提出计算的方法，并注明详细的运算过程。接着，启发学生独立思考：当被减数是整数时，要减带分数，应该怎么办？

（二）异分母分数加、减法

１．异分母分数加、减法的计算法则。

由于异分母分数的分数单位不同，不能直接相加、减，必须先通过通分把它们转化成同分母分数，再按照同分母分数加、减法的法则进行计算，所以，通分是进行异分母分数加、减法计算的关键。教材先安排了３道通分的复习题，复习已学的通分知识。然后通过３个例题教学异分母分数的加、减法。例１结合直观图教学异分母分数的加法，重点是引导学生把异分母分数转化为同分母分数，使学生理解异分母分数加法的算理。例２在例１的基础上类推出异分母分数减法的计算方法，并在此基础上引导学生总结出异分母分数加、减法的计算规则。例３结合异分母分数连减的教学，使学生明确，有时为了计算简便，可以采用不同的通分方式，目的是培养学生灵活计算的能力。

２．异分母的带分数加、减法。异分母的带分数加、减法比同分母分数的加、减法要难一些：一方面在计算之前要先通分，增加了计算步骤；另一方面在连减计算中出现被减数整数部分要拿出２化成假分数的情况。这后一方面是一个难点。针对异分母带分数加、减法的难点，教材先安排了一组填空题，着重复习从整数中拿出１或２化成假分数的情况，为学习新知识做好准备。然后通过两道例题教学异分母的带分数加、减法。例４教学的异分母的带分数加、减法，与同分母的带分数加、减法相比，只增加了一步通分，其他引导学生在已有知识的基础上类推。例５教学被减数的分数部分不够减，从整数部分拿出１来化成假分数还不够减，需要拿出２的情况。

（三）分数加减混合运算这部分内容是在学生掌握了分数加、减法计算方法的基础上教学的。

由于学生对整数加减混合运算的运算顺序比较熟悉，所以教材首先说明分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同，并结合分数加减法的特点，说明“为了简便，几个分数可以一次通分，然后按照运算顺序依次进行加减计算”。然后，通过两个例题说明分数加减混合运算的计算方法，把重点放在提高学生计算的熟练程度上。接着，为了沟通知识间的内在联系，帮助学生进一步理解所学的加法运算定律，加深理解带分数加法的算理，教材把整数加法运算定律推广到分数加法，使学生在实际计算中应用这些运算定律，进行简便计算。

（四）分数、小数加减混合运算为了沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，同时为教学分数、小数的混合运算做好准备，教材首先教学分数和小数的互化。

关于小数化分数，教材中只教学有限小数化分数的方法。关于分数化小数，教材中教学两种方法：一种是利用分数和小数的关系；另一种是利用分数与除法的关系。教材注意引导学生观察，发现规律，并在此基础上总结出分数、小数互化的一般方法。然后，教学分数、小数加减混合运算。这部分内容的重点是引导学生根据题目的具体情况选用一种比较简便的计算方法。教材通过三个例题，结合计算的实际情况（分数能化成有限小数的，分数不能化成有限小数的，简便运算）进行教学，使学生能合理、灵活地选择算法。

本单元教材是在学生掌握了整数乘法，分数的意义、性质，以及分数加、减法的计算等知识的基础上进行教学的。通过本单元的教学，使学生理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算法则；掌握分数乘加、乘减混合运算，理解整数乘法运算定律对于分数乘法同样适用；会解答求一个数的几分之几是多少的应用题；理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。本单元包括分数乘法的意义和计算法则，分数乘法应用题，倒数的认识，共３节。

（一）分数乘法的意义和计算法则

１．分数乘以整数。

分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同，因此，教材注意在整数乘法的基础上引入分数乘以整数的意义。首先复习整数乘法的意义和三个相同分数相加的计算方法，为学习分数乘以整数做好准备。然后，通过一个例题，结合直观图，采用加法与乘法对照的方法，教学分数乘以整数的意义和计算方法。教材注意在理解的基础上，启发、引导学生总结分数乘以整数的计算方法。

２．一个数乘以分数。

一个数乘以分数，包括整数乘以分数和分数乘以分数两种情况。它们的意义都是求一个数的几分之几是多少。这是整数乘法意义的扩展，是后面学习带分数乘法、分数除法的意义和计算方法以及分数乘、除法

３．带分数乘法。

带分数乘法一般先化成假分数再乘比较简便。教材先复习带分数化假分数，分数乘以分数以及整数和分数相乘。然后，通过两个例题教学带分数的乘法。第一个例题着重说明带分数乘法的计算方法。第二个例题通过三个分数连乘的不同计算方法，着重提高分数乘法的熟练程度。

４．分数乘加、乘减混合运算和整数乘法运算定律推广到分数乘法。

这两部分内容教材是分两小节进行教学的，但它们之间的联系非常紧密，分数乘加、乘减混合运算的顺序与整数的运算顺序相同。因此，教材在复习有关整数的混合运算的基础上，只通过一个例题说明分数加、减、乘法混合在一起时运算顺序与整数的相同。至于混合运算中的不同情况则通过练习让学生自己类推。对于整数乘法运算定律推广到分数乘法，教材采用的方法与前面把整数加法运算定律推广到分数加法的方法相同。教材的重点仍然是使学生理解这些运算定律对分数乘法同样适用，并能在实际计算中，灵活运用这些运算定律使计算简便。

（二）分数乘法应用题分数乘法应用题大致可分为两部分：

一部分应用题中的已知数是分数，但数量关系和解答方法都与整数应用题相同（在前面的练习题中已有所练习）；另一部分是由于分数乘法意义的扩展而新出现的。例如，求一个数的几分之几是多少的应用题，是分数应用题中最基本的，对以后学习具有重要的意义。针对求一个数的几分之几是多少的问题的不同情况，教材分三个例题进行教学。例１结合线段图，根据分数乘法的意义，教学求一个数量的几分之几是多少的应用题。例２教学涉及两个数量，求等于一个数量的几分之几的另一个数量是多少的应用题。例３是在前两个例题的基础上，教学增加一个条件，连续求一个数量的几分之几是多少的应用题。解答例３的关键是正确判断每一步分别把什么看作单位“１”。这不仅有利于提高学生解答求一个数的几分之几是多少的应用题的能力，而且有利于培养学生的分析、判断、推理能力。

（三）倒数的认识这部分内容是在分数乘法计算的基础上进行教学的。

它主要为后面教学分数除法做准备。教材给出倒数的意义后，特别注意强调倒数是对两个数来说的，它们是相互依存的，必须说一个数是另一个数的倒数，不能孤立地说某一个数是倒数。接着，教学求一个数的倒数的方法。

本单元是在学生掌握了整数除法的意义，分数乘法的意义，以及解简易方程的基础上进行教学的。通过本单元的教学，使学生理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算法则；能用方程或算术方法解答已知一个数的几分之分几是多少求这个数的应用题；理解比的意义和基本性质，能正确地化简比和求比值，知道比与分数、比与除法的关系，会解答按比例分配的应用题。本单元包括分数除法的意义和计算法则，分数除法应用题，比，共３节。

（一）分数除法的意义和计算法则

１．分数除法的意义。

在本册教材中，分数除法是作为分数乘法的逆运算来定义的。教材通过一道学生容易理解的分数乘法应用题，引出两道分数除法的应用题，说明分数除法的意义，使学生明确分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”。

２．分数除以整数。

在分数除法中，不论哪种情况，它们的计算方法都可以归结为乘以除数的倒数。教材为了分散难点，先教学分数除以整数。教材通过一道被除数的分子能被除数整除的题目，教学分数除以整数的计算方法。教材结合直观图，根据分数除法和分数乘法的意义，采用两种不同的思考方法进行解答，使学生初步看到，除以整数也就是乘以这个整数的倒数。然后，让学生想一想分子不能被除数整除的情况。在此基础上概括出分数除以整数的计算法则。

３．一个数除以分数。

一个数除以分数包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。不论哪一种情况，计算时都要把除以分数转化为乘以这个分数的倒数。教材分两个例题进行教学：先教学整数除以分数可以转化为乘以这个分数的倒数；再教学把被除数换成一个分数，得出分数除以分数也可以转化成乘以这个分数的倒数来计算，进而总结出一个数除以分数的计算法则。最后，联系前面教学的分数除以整数的计算法则，总结出一个统一的分数除法的计算法则。

４．带分数除法。

带分数除法的教学是在分数除法的基础上进行的。这与带分数乘法的教学一样，主要目的是提高学生的计算能力。教材在复习带分数与假分数的互化之后，引导学生类推出分数除法有带分数的也要先把带分数化成假分数，然后再计算。这部分内容中，还安排了列方程解已知一个数的几分之几倍是多少求这个数的文字题和分数连除、乘除混合运算式题，主要目的是提高学生分数乘、除法的计算能力，并为后面教学分数除法应用题打基础。

（二）分数除法应用题本节主要教学已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题。

这种应用题历来是教学中的难点。实践证明，在教学这种应用题时，紧密联系一个数乘以分数的意义，先用列方程的方法解答，在此基础上再教学用分数除法来解答，效果是比较好的。因此，教材先复习求一个数的几分之几是多少的应用题，在此基础上教学例１。教材通过图示的“想”，用分数乘法应用题的思路进行分析，明确把谁看作单位“１”。由于单位“１”是未

（三）比这部分内容通常是安排在小学的最后阶段，把比和比例放在一起进行教学。这套教材考虑到比与分数有密切联系，把比的一些最基础的知识提前放在分数除法这一单元中教学，既加强知识间的内在联系，又可以为以后教学百分数（百分比）、圆周率等内容打下较好的基础。

１．比的意义。传统的算术教材讲比的意义，强调同类量相比。由于实际应用的需要，要用到不同类量的比。因此，本册教材在教学比的意义时，分别结合实际问题，先引出同类量的比，再引出不同类量的比。在此基础上概括出比的意义。

２．比的基本性质。教材联系除法中商不变的性质和分数的基本性质，再通过“想一想”引导学生找出比也有相应的性质，然后概括出比的基本性质。接着应用这个基本性质教学把比化成最简单的整数比的方法。

３．比的应用。在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。本册教材只教学按比例分配，而且只教学按正比例分配。教材通过两个例题教学按比例分配：把一个数量按照已知的比分成两部分的问题和把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。在练习中，注意联系实际，使学生既能应用所学的知识解决一些简单的实际问题，又可以增长一些科学技术知识和生活经验。

本单元是在学生掌握了分数、小数四则运算，以及会解答比较容易的分数、小数两步应用题的基础上进行教学的。通过本单元的教学，应使学生会进行分数、小数四则混合运算，在计算中能应用一些简便算法；学会解答两、三步计算的分数、小数应用题，进一步提高用算术方法和用方程解应用题的能力，并能运用所学的知识解决一些简单的实际问题。本单元包括分数、小数四则混合运算，分数、小数应用题，共２节。

（一）分数、小数四则混合运算

１．分数四则混合运算。这部分内容主要教学三、四步计算的分数四则混合运算式题。由于学生通过前面的学习，已经对四则混合运算的运算顺序比较熟悉了。因此，教材在教学分数四则混合运算时，没有再详细说明运算顺序，而是直接说明分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算顺序相同。然后，通过两道例题分别教学没有括号和有括号的分数四则混合运算。接着，通过一道例题说明在分数四则混合运算中，同样可以应用以前学过的运算定律使计算简便，以进一步培养学生合理、灵活地进行计算的能力。

２．分数、小数四则混合运算。在前面知识的基础上，学生对分数、小数四则混合运算的运算顺序已不难掌握。因此，教材着重介绍分数和小数乘除混合运算时，怎样计算比较简便。教材通过三个例题进行教学：例４说明分数、小数乘除混合运算一般先把小数化成分数再计算；例５说明在计算过程中要注意运用简便方法，并说明计算的结果允许取近似值的计算方法。最后，通过例６说明先化简再计算的简便算法。

（二）分数、小数应用题本小节的应用题可分为三部分：

第一部分教学一般的两步计算的分数、小数应用题；

第二部分教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题，以及相应的分数除法应用题；

第三部分教学工程问题。第一部分应用题的数量关系是学生以前学过的，只是已知条件是分数或小数，或者是在简单分数应用题的基础上再增加一步计算的一般应用题。通过这部分内容的教学，可以进一步提高学生灵活选用方法解答应用题的能力，也为进一步学习分数应用题做些准备。第二部分应用题的数量关系稍复杂一些，学生不易掌握。这是本单元的重点，也是教学的难点。教材对每个例题都用线段图来帮助学生理解题意，分析数量关系，主要弄清要把什么看作单位“１”，已知的和要求的数量分别是什么。同时，通过不同解法的教学，开阔学生的解题思路。第三部分应用题的数量关系与整数应用题中的工作总量、工作效率和工作时间的数量关系相同，解题思路也大致相同。只是题中没能有给出具体的工作总量，解答时要把工作总量作为单位“１”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。教材注意从已学的知识逐步引入，帮助学生逐步加深理解。

本单元是在学生已经能够识别长方体、正方体，并且学习了一些平面图形的特征以及它们的周长和面积的计算的基础上进行教学的。本单元是学生比较深入地研究立体几何图形的开始，是进一步学习其他立体几何图形的基矗通过本单元的教学，应使学生掌握长方体和正方体的特征，理解表面积和体积（容积）的意义，认识常用的体积和容积单位以及相邻两个单位之间的进率，会计算长方体和正方体的表面积和体积，并能应用所学的知识解决一些简单的实际问题。本单元包括长方体和正方体的认识，长方体和正方体的表面积，长方体和正方体的体积，共３节。

（一）长方体和正方体的认识

１．长方体。

教材首先说明已学的长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形都是平面图形。然后借助实际物体说明什

２．正方体。

正方体的认识，教学过程与长方体类似。教材特别注意加强长方体与正方体的联系的教学。教材引导学生对长方体和正方体进行观察和比较，说一说它们有哪些相同点和不同点，使学生认识它们的特征与相互联系，并用集合图表示它们的关系。

（二）长方体和正方体的表面积计算长方体和正方体的表面积在日常生活中有广泛的应用。

通过这部分内容的学习，不仅可以加深学生对长方体和正方体特征的理解，还可以发展他们的空间观念。教材通过操作（把一个长方体或正方体纸盒的６个面展开），加强对长方体和正方体表面积概念的认识。在此基础上，结合具体例题教学表面积的计算方法。教材中没有给出计算表面积的公式，这样更有利于发展学生的空间观念，有助于学生根据实际情况思考计算方法。在练习中，教材注意结合实际，培养学生灵活解决问题的能力。

（三）长方体和正方体的体积

１．体积和体积单位。

体积对学生来说是一个新概念，在理解和应用上都有一定的难度。为此，教材加强了对体积概念的认识。通过一组实验，使学生直观认识到“物体所占空间的大小叫做物体的体积”。在此基础上，通过实际操作教学体积的单位及其用途，使学生明确体积单位是用来计量物体的体积的。教材还特别注意突出长度单位、面积单位和体积单位的区别。最后，结合实际操作，分别教学长方体和正方体体积的计算方法，总结出计算公式，并用字母表示。进而结合底面积的概念，总结出统一的体积计算公式。

２．体积单位间的进率。

这部分内容是在学生已经掌握了正方体体积的计算方法以后教学的。教材通过图示，引导学生推出体积单位之间的进率，并通过长度单位、面积单位与体积单位的对比，加深学生对体积单位间的进率的认识。然后，通过三道例题教学有关体积的名数改写。

３．容积和容积单位。

容积的概念与体积的概念既有联系又有区别。体积是指物体本身占据多大的空间，容积是指中间是空的物体能装下多大体积的其他物品。教材在给出容积的概念后，特别说明了容积的计算方法和测量数据的方法。同时说明，计量容积一般就用体积单位，但是计量液体的体积，常用容积单位升和毫升，并给出它们之间的进率。

４．体积和表面积的比较。

学习了长方体和正方体的表面积和体积以后，有的学生可能会对表面积和体积这个概念发生混淆。教材结合实物（图形），通过对比两个概念的含义、计量单位、所需数据的测量，使学生分清这两个概念和各自的计算方法。