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什么是“问题解决”

时间:2006-11-21栏目:数学论文

    ——“问题解决与数学教育”之一
    “问题解决”(problem solving)作为美国数学教育界在80 年代的主要口号,现在已经是一个不太陌生 的名词了。但是,究竟什么是“问题解决”的真正意义?这仍然是一个值得深思的问题。例如,以下是几种常 见的观念:
    1.“问题解决”就是指把实际问题引入到数学教学之中,或者说,应当使数学问题具有明显的现实意义;
    2.“问题解决”就是对于各种解题技巧的强调;
    3.“问题解决”就是指让学生独立地去解决问题。
    显然,这些理解并不完全相同,甚至是互相对立的,而且,这些不同的理解又是如此之多,以致一个美国 数学教育家开玩笑地说,如果问数学教育工作者“什么是‘问题解决’?”7个被提问者将会提供9个不同的解 答。这种情况的出现是无足为奇的,但是,这种现象,显然就清楚地表明了对于“问题解决”的真正意义进行 澄清的必要性和紧迫性。
    为了对“问题解决”的真正意义作出分析,我们先来对什么是“问题解决”中所说的“问题”作出说明, 这就涉及到了(数学)问题的分类。
    具体地说,由于着眼点的不同,对于数学问题可以作出不同的分类,如按问题是否具有真实意义进行分类 ,或是按问题的求解是否需要一定的创造性进行分类。由于传统的数学教育严重地脱离实际,因此,作为一种 改革,我们就应在数学教学中尽可能地引入更多的具有真实意义的问题,而这对于提高学生应用数学知识的能 力和增强学生学习数学的积极性都是十分重要的;但是,应当强调的是,我们又不应当把“问题解决”中所说 的“问题”唯一地等同于实际问题。特别是那些“非常规性的问题”(non-routine problem),是需要一定的 创造性才能求解。
    事实上,如果过分地强调(数学)问题的真实意义,我们就会由一个极端走向另一个极端,并取得适得其 反的效果。如,以下是美国数学课本(九年级)中所给出的一个问题:
    一个农民在送鸡蛋去市场的路上发生了车祸,尽管她本人没有受伤,但所有的鸡蛋却都破损了。由于她事 先参加了保险,因此就前往保险公司索赔,后者要求她说出损失鸡蛋的数目,她说她不知道准确的数字,而只 记得以下的事实:当她把鸡蛋装进小盒时,如果成双地装则剩下一个;如果三个三个地装也剩下一个,四个、 五个、六个地装也是同样的情况;而当她七个七个地装时则正好装完。问:(1)她有多少个鸡蛋?(2)这一 问题是否只有一个答案?
    笔者认为,在此,我们可以清楚地看到由于过分强调“联系实际”所造成的勉强做作,而我们教学中如果 不注意纠正的话,则就必然会取得适得其反的结果,非但不能真正调动学生学习数学的积极性,反而会使他们 感到数学是无意义和毫无用处的。
    其次,应当指出的是,尽管问题的选择构成了“问题解决”的重要一环,但又并非是唯一的环节。例如, 在选择出了“适当”的问题以后,还存在这样的问题,我们应当如何去实行“问题解决”的教学?我们又应通 过“问题解决”的教学达到什么样的目的?
    事实上,问题的提出与解决从来就是数学教学的一个重要组成部分,但这可能被用作数学知识教学的一种 手段,即,如何通过问题来引入有关的教学内容、并通过问题解决来达到复习、巩固和检查的目的(从更广义 的角度说,我们还可通过“问题解决”来调动学生学习数学的积极性,体现学习数学的重要性,并使学生感受 到科学研究的乐趣);也可能被认为是一种技能,希望通过大量的解题,使学生掌握各种具体的解题方法和技 巧,显然,这就是所谓的“题海战术”。那么,究竟什么是现在所说的“问题解决”的真正意义呢?
    具体地说,与上述的两种理解不同,“问题解决”应当被看成是一种创造性的活动,是如何综合地、创造 性地应用所学知识和方法去解决非常规性的问题。显然,在这样的理解下,“问题解决”的核心就并非是各种 特殊的解题方法或技巧,而是一些十分一般的思想方法或思维模式(为了对这两者作出明确的区分,在现代的 研究中人们有时就把后者称为是“高层次的思维方法”。)另外,与对于数学知识的强调相比,“以问题解决 作为学校数学教育的中心”则就更为清楚地体现了数学教育思想的根本性转变,即是,认为应把帮助学生学会 “数学地思维”,从而提高解决问题的能力作为数学教育的主要目标。
    显然,正是以上的基本指导思想决定了问题的选择标准:我们应当集中于所说的“非常规性问题”,另外 ,这一基本指导思想显然也就表明了在“问题解决”的教学中我们不能对学生采取“完全放任”的态度,特别 是不能以问题的解决作为教学的最终目标。事实上,这也正是初学者(或者说,“不好的解题者”)与数学家 (“好的解题者”)在思维方法上的一个重要区别:前者往往满足于用某种方法(包括观察、实验和猜测), 求得具体的解答而不去进一步追究相应的解释,也不去思考是否存在有不同的解法,以及是否可能对所获得的 结果作出进一步的推广;与此相反,数学家们并不停止于某个具体问题的解决,而是致力于进一步的思考:在 这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论?这些事实能否被纳入某个统一的数学结构?等等 。从而,为了帮助学生学会“数学地思维”,在“问题解决”的教学中教师也就应当发挥重要的作用,而不能 将此片面地理解为“让学生独立地去解决问题”。
    一般地说,教育思想的转变决定了“问题解决”的教学应当采取与传统的数学教学不相同的一种新模式。 例如,以下即是一种可能的新模式。
    第一,在学生以个人或小组为单位具体地从事解题活动前,应组织全班性的讨论,以促使学生“弄清问题 ”,在这一阶段教师的主要工作有:
    自己或请一位学生朗读问题,弄清其中的词汇的意义。
    组织学生进行讨论以弄清问题。这主要是:什么是已知的,什么是所要求的。应当注意的是,这时不要提 出太多的问题,以免使学生感到不再有必要自己去对问题进行理解。
    组织学生讨论可能的解题方法,注意这时不要对学生的建议作出评价。
    第二,在学生具体地从事解题活动时,教师应在教室中巡回,并采取以下的行动:
    观察学生的解题行为,并请学生对自己的工作进行说

明。
    如果学生陷入困境,在如何选择和实施解题策略方面给以一定的启发,必要时,应适当重复先前阶段中曾 用以弄清题意的问题。
    如果学生获得了某种解答,要求学生对此进行检验。
    对问题作出推广,以使较早完成者(在时间许可的情况下,则是整个班级)继续工作。
    第三,在学生的解题活动结束以后(指已经获得了解答、并对此进行了检验),再次组织全班进行讨论:
    对学生所采用的解题方法进行讨论,特别是不同方法之间进行比较,让学生对自己所采用的方法进行“命 名”。
    对刚才所解决的问题与现前曾求解的类似问题进行比较,对问题的推广进行讨论。
    对问题的一些特殊的方面进行讨论,诸如不寻常的数据、容易产生“错误”的地方、“关键词”等。
    综上可见,“问题解决”这一口号的提出包含了教育思想乃至教学形式的根本性变化,从而这就是数学教 育中的一次重要的改革运动。

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