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深究习例开拓能力

时间:2006-11-21栏目:数学论文

深究是一种重要的思想方法和学习方法。
    教师充分挖掘课本习、例题的潜能,不仅能开拓学生的解题思路,激发学生的学习兴趣,而且还能有效地 开拓学生的能力,提高教学质量。
    一、变形创新,培养思维转换能力
    思维转换能力是指:由一种思维对象转移到另一种思维对象,由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力,也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形,对于调动学生的学习兴趣,学习的积极性和 主动性,激发学生的求知欲望,拓宽解题思路、培养思维转换能力,有着重要意义。如:
    例1,如图1,MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,求证:点A,B与MN的距离和等于⊙O的直径。(《几何》第 三册P116第8题)
    (附图 {图})
    图1
    此题是很普通的习题,但经过深究,不难发现它的内涵之丰富。
    (一)解题方法
    1.连结OC,证明半径OC是直角梯形的中位线。
    2.过C作CG⊥AB,连结AC、BC,证明△ADC≌△AGC,△BEC≌△BGC得AD=AG,BE=BG
    BE AD OC
    3.如图2,连结OC,延长AB交MN于P,显然sinP=──=──=── 
    PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ,即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
    从而 BE+AD=2OC
    (附图 {图})
    图2
    (二)变形创新
    如果MN不是切线,而是割线,则有
    例2,如图3,AB是⊙O的直径,MN交⊙O于E、F(E、F在AB的同侧)两点,AD⊥MN,BC⊥MN,垂足分别为D、 C,连结AF、AE,设AD=a,CD=b,BC=c,求证:tg∠DAF和tg∠DAE是方程:ax[2,]-bx+c=0的根
    DF+DE DF+DE
    证明:①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
    AD a
    b
    ②过O作OG⊥EF,证DF=CE,得tg∠DAF+tg∠DAE=── ,
    a
    BC
    ③连结BE,证 ∠CEB=∠DAE,tg∠DAE=tg∠CEB=── ,得
    CE
    c
    tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。
    a
    (附图 {图})
    图3
    二、创设反面,培养逆向思维能力
    所谓逆向思维,就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势,启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时,逆向思维往往使人茅塞顿开。因此,创设命题的逆命题,是深究问题的 又一重要方面。如:
    例3,如图4,Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,求: BD的长。(《几何》第三册P128第2题)
    (附图 {图})
    (附图 {图})
    图4
    此题是很简单的解答题,但经深究,可创设:
    命题:如图5,Rt△ABC中,两条直角边是AC、BC,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,过D作圆的切线,交 BC于E,求证:E是BC中点。
    证明:连结CD、OD,证EB=ED
    从而得:E是BC中点。
    (附图 {图})
    图5
    逆命题:BC、AC是Rt△ABC的两条直角边,以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,E是BC中点,求证:DE是圆的 切线。
    证明:连结OD、CD、OE,证△ODE≌OCE∠ODE=∠OCE=90°,结论得证。
    充分挖掘这种习、例题的潜能,创设新颖课题,使学生在积极的探究中学到了知识,发展了智力,提高了 能力。
    三、由此及彼,培养思维的广阔性
    思维的广阔性,也称为思维的广度,是指思路的宽广,富有想象力,善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题,认识问题和解决问题。
    数学习题浩如烟海,如何从“题海”中解脱出来,提高教学能力呢?这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法,而应该挖掘题目中的丰富内涵,训练学生思维的灵活性、广阔性,提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如:
    例4,如图6,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D,求证:DE=DB。(《几何》第三 册P117第12题)

    证明:连结BE,证∠BED=∠DBEDE=DB。
    (附图 {图})
    图6
    例5,如图7,△ABC中,∠A和∠B的平分线相交于I,AI交边BC于D,交△ABC的外接圆于点E,求证;IE[2, ]=AE·DE。
    证明:连结BE,证△BED∽△AEBBE[2,]=AE·DE,再证IE=BE,即得:IE[2,]=AE·DE。
    (附图 {图})
    图7
    例6,如图8,△ABC中,∠A的平分线交BC于F,交△ABC的外接圆于D,连结BD,过D作△ABC的外接圆的切线 ,交AC的延长线于E,如果AB:AC=3:2,BD=3,DE+EC=6,求:BF的长。
    (附图 {图})
    图8
    解:连结CD,证BD[2,]=BF·DE,
    36-2EC
    再证AC= ─── ,
    EC
    12
    后证AC= ──,从而求得:BF=4.5。
    EC

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