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自一道高考题的启示

时间:2006-11-21栏目:数学论文

  2004年全国高考湖南卷(理工类)第21题如下:
  
  如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m),(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点,点Q是点关于原点的对称点。
  
  (1)       设点P分有向线段所成的比为λ,证明:
  
  经审题,我们不难发现本题已将向量知识融进解析几何题目,给了我们一个重要的启示:伴随着新教材的使用,在解决相关的解析几何题目时,我们可以适时考虑引入向量思想,尤其是在审题时,只要及时捕捉共线与垂直信息,就可利用向量的坐标运算法则处理相关问题。并能在解题过程中体验向量的神奇作用,感悟数学解题过程中的美妙意境。
  
  本题解法:
  
  设直线方程为y=kx+m带入抛物线方程x2=4y,得
  
  x-4kx-4m=0   ①
  
  又设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
  
  P
  
  由题意可知:P分有向线段所成的比为λ。
  
  O
  
  所以:
  
  易知Q(0,-m),向量
  
  以下枚举几例:
  
  例1.证明点到直线的距离公式:
  
  点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为:
  
  证明:如图(1),作
  
  P
  
  因为向量,所以                M
  
  O              x
  
  例4.(2000年北京市春季高考试题)设A和B是抛物线y2=4px(p>0)上除原点外的
  
  y
  
  两个动点,已知求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么
  
  A
  
  曲线。
  
  解:(如图3)
  
  O

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