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浅谈数学的设计

时间:2006-11-21栏目:数学论文

几个主要数学分支中产生的大量思想财富。学生必须学习在这些应用中使用的数学以便掌握数学的威力去解决实际问题。 
数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有变化。数学是一门科学。观察、实验、发现、猜想等数学的实践部分和任何自然科学是一样多的。尝试和错误、假说和调研,以及度量和分类是数学家常用的部分技巧,学校应当教。实验室作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜 而且是必需的。在数学实验室里计算器和计算机是必需的工具。实际数据(科学实、人口统计、民意测验等的数据),观察和度量的对象(骰子、方块、球)是作图工具(尺子、细绳、量角器、胶泥、坐标纸)都是必需的。 像生物是有机体的科学,物理是物和能的科学一样,数学是模式的科学。这种表述至少可以回朔到笛卡儿,他把数学称作“序的科学”,后来物理学家斯梯文·温伯格(Steven Weinberg)用它去解释数学预测自然的神奇能力时作了改进。类似地把数学看成“模式与关系”的科学,形成了在《美国大众科学》(Science for All Americans)中表述数学的基础。通过它们的所有表现形式——数、数据、形、序、甚至模式本身来划分、解释和描述模式,数学确信科学家遇到的任何模式都可以在某处解释为数学实践的组成部分。 
模式在数学的每个方面都是明显的。学生学到算术如何依靠数的规则性;他们能够看到乘法表中的次序,而且惊奇素数模式中的无次序。多面体的几何展示了规则性,在自然和建筑中它经常出现。甚至统计这门研究是无序的学科,也依靠把模式展示成估价不确定性的码尺。 数学也是一种交流形式,它是自然语言的补充,所以数学不仅是一门科学,而且数学也是一种语言。不仅是自然所说的语言,而且也是商业、贸易的合适语言。 
数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础。由于计算机和世界范围的数字式交流的支持,商业和工业都越业越依靠不仅是传统的而且是现代数学的分析方法。数学可以作商业和科学的语言准确地是因为数学是描述模式的语言。用它的符号和句法、词汇和成语,数学语言是交流关系和模式的通用工具。它是一种每个人都必须学习使用的语言。 如果说数学是模式的科学和语言,那么要学懂数学就是要去研究和表示模式之间的关系:在复杂、模糊的环境中能够辨明模式;理解并变换模式间的关系;对模式分类、编码、描述;用模式的语言读写;并使用模式的知识运达到各种实际目的。要掌握模式的多样性,数学课程需要介绍和发展多种不同类型的数学模式。数学要研究的模式不限于算术法则,所以中学数学里研究的模式必须打破人为的限制。 一个搞数学的人,他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想。数学是一种创造性的、活跃的过程和被动地掌握概念和程序很不相同。事实、公式和信息有多价值只有看它在多大程度上支持有效的数学活动。虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知识只是 是教学应当坚定地强调,学数学是要追求去理解、去交流,而不仅仅是去计算,通过展开模式的基本原理,数学可以使脑子成为处理现实世界问题的有效工具。从这些观点能够为下一个世纪导出有效的、能动的中学数学课程。 
第三,新技术的作用有很大变化。计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学是重要的,而且也影响到如何做数学,现在袖珍计算器上能够做几乎所有幼儿园到两年制大学教的数学技术,仅只这一事实(巴斯卡的梦在我们这个时代实现了)就必定会大大影响数学课程。虽然学科的最前沿的发展一般不会对早期的教育产生主要影响,但是由计算机和计算器带来的数学中的变化如此深刻,需要重新调整中学数学中各课题的处理方法和它们之间的平

衡。 
比如对发展常规计算技能的重视程度应降低,这就会有更多的时间来发展对数学过程的理解和推理能力;易于开发一种课程,可能加强近似计算和估算。一个学生能准确作2507×4131的乘法和能够说出结果大约是一千万,哪个更重要些呢?常常一个近似的答案不仅已经足够,而且比精确答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以给精确结果提供快速检验;可以开发强调各种数学方法的更广的课程. 
计算器和计算机不仅改变了什么数学重要,而且也改变了数学应当如何教.它们把困难的变得容易,使不可行的变得可行.例如,计算机能够显示和操作像三维的形状复杂的数学对象。使用计算机,学生能够解决与他们日常生活有关的现实问题和能够激发他们对数学产生持久的兴趣。计算机能把教师解放出来去完成只有教师才能完成的任务。比如和学生一起去探索、猜想。计算机提供了一种动态的、画图的手段;它还提供了许多有效的途径去表达数学思想。 新技术使数学更加现实,计算机出现之前,难以完成现实问题所要求的计算,有了计算机计算不再是障碍,只要问题能被学生掌握,就能解出。实验中得到的现实数据可以得到分析处理。表达重要物理现象的方程可以解出。许多精深的概念用计算机比用其他任何更能做得易理解。 
第四,对学生学习的理解有变化。学习不是一种被动地吸取知识,并通过反复练习,强化储存知识的过程,而是学生原有知识处理每项新的任务,同化新知识,并构建他们自己的意义,再者,一些思想、概念在记忆里不是孤立的,而是有组织的并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、构造性的观点必须在教数学的途径中反映出来。 2、通向未来的转变 
美国数学科学家教育委员会、数学科学家委员会以及2000年数学科学委员会提出的《人人有份》(Everybody Counts)这份报告中预示这次数学课程改革要实现七个重大的转变写道:“为了迎接时代的挑战,数学教育正要处理几个困难的转变,这些转变将支配本世纪剩下这段时间的改革过程”。这七个转变可以概括数学教育,特别是数学课程改革的趋向和前景。这七个转变是: 
第一,中学数学的目标应从双重使命(为多数人的数学很少,为少数人的数学很多)转变到单一目标:为所有学生提供重要的、共同的核心数学。由于工业社会、信息社会对劳动力的需求是要他们有更高文化修养,所以要给所有学生提供更多的数学教育,所要要发展适合于每个年级所有学生的核心数学课程,即要面向大多数,甚至是所有学生,要大多数公民甚至是全体公民都学好数学;对能力强的学生还要用数学去激励他们;在教学中用方法和进度而不是用课程目标来区分;选择普遍有趣的课题和有效的教学方法。 
第二,数学教学从“传授知识”的传统模式转变到“以激励学习为特征的,以学生为中心”的实践模式,由学生被动听讲的课堂变成学生积极主动参与的像下面这样的学习环境:鼓励学生去探索;帮助学生表达自己的数学思想;让学生看到许多数学问题不只一个正确答案;提供证据,证明数学是生动的,激动人心的;使学生体验到深入理解和严格推理的重要性;使所有学生都建立起能够学好数学的自信心。 
第三,公众对数学的态度从冷漠和敌意转到承认数学在今日社会中的重要性。通过现代事件传送的信息,使公众认识:期望高的地方,数学要得也多;随着科学技术作用的增大,数学的重要性也增加;对于有文化的公民发挥作用来说;数学文化同文化一样重要。 
第四,数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展基础宽广的数学能力,学生的数学能力应该要求达到能够辨明关系、逻辑推理,并能运用各种数学方法去解决广泛的、多种多样的非常规问题,要求今天的学生必须能够:进行心算和有效的估算;知道在某一特定条件下适于使用哪种数学运算;能够正确、自信和恰当地使用计算器;会估计数量级以确认心算或计算器计算的结果:会使用表、图、电子数据表 (Spreadsheet)和统计技术去组织、解释和表示数值信息;能判断别提供的数据的可靠性;会使用计算机软件去完成数学任务;能从模糊的实际课题中去形成一些特别的问题;会选择有效解决问题的策略。 
第五,数学教学从强调为学习进一步的课程的需要转到更多地强调学生今天和将来所需要的课题,大多数的数学内容都要在它的运用的情境中来呈现,它的逻辑体系要随年级的提高慢慢地建立起来。值得更加强调的课题和领域,作为例子,可以举出:概率,它便于不确定性地说理和对风险的估价;探测数据分析和统计,它便于关于数据的说理;建模,它可以增进对复杂情形的系统的、结构性的理解;运筹学,它便于复杂任务的计划和行为目标的达成;离散数学,它便于对大多数计算机应用的理解。这些课题和领域将会使观察和实验在未来数学大纲中占重要地位,将使数学和其他科目,特别是和自然科学科目更加靠近。 
第六,数学教学从原始的纸笔计算转到使用计算器和计算机,各级数学教师正使他们的教学方法和科目适应于未来的课程。计算器和计算机使得新教学模式成为可行的同时给学习环境注入一种特别的惊异的感觉,它将伴随数学能力的健康发展。 
由于技术发展计算器和计算机的使用方法也要持续地迅速改变。应当使用新技术不是因为它有魅力,而是因通过扩充每个学生的数学能力它通顺提高数学学习,计算器和计算机不是去代替用功和严密思维,而是用作争取好成绩的武器。 
第七,公众对数学的理解从“随心所欲的法则的不变教条”转到“关于模式的严格而生动的科学”。数学是一门生动活泼的科目,它寻求蕴藏于周围世界和

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