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研究突发事件——数学金融学的重要课题

时间:2006-11-21栏目:数学论文

继1997年东南亚金融危机后,1998年美国又发生了长期资本管理(LTCM)基金事件。两者均由突发事件所引起,造成了震撼全球的金融危机。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响,它是数学金融学的一个重要课题。

从LTCM事件谈起

1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机,至今仍余波荡漾。究其根本原因,可说虽然是“冰冻三尺,非一日之寒”,而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件,震撼美国金融界,波及全世界,这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。

LTCM基金是于1993年建立的“对冲”(hedge)基金,资金额为35亿美元,从事各种债券衍生物交易,由华尔街债券投资高手梅里韦瑟(J.W.Meriwether)主持。其合伙人中包括著名的数学金融学家斯科尔斯(M.S.Scholes)和默顿(R.C.Merton),他们参与建立的“期权定价公式”(即布莱克-斯科尔斯公式)为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型,编制程序,运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机,从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类:第一类是美国的联邦公券,由美国联邦政府保证,几乎没有风险;第二类是企业或发展中国家征服发行的债券,风险较大。LTCM基金通过统计发现,两类债券价格的波动基本同步,涨则齐涨,跌则齐跌,且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时,若及时买进或卖出,就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内,无论如何价格上涨或下跌,按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中,资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财,各大银行为能从中分一杯羹,也争着借钱给他们? 率筁TCM基金的运用资金与资本之比竟高达25:1。

天有不测风云!1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券,这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮,其价格直线下跌,而且很难找到买主。与此同时,投资者为了保本,纷纷寻求最安全的避风港,将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反,原先的理论,模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是,他们不但未随机应变及时撤出资金,而是对自己的理论模型过分自信,反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元,而间接牵连的金额竟高达10000亿美元!如果任其倒闭,将引起连锁反应,造成严重的信誉危机,后果不堪设想。

由于LTCM基金亏损的金额过于庞大,而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主,这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论,开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称:永远不向由数学金融学家主持的基金投资,数学金融学面临挑战。

LTCM基金事件爆发以后,美国各报刊之报道,评论,分析连篇累牍,焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵?多数人的共识是,布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错,错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月著文分析基于随机过程的预测理论,文中将随机过程分为平稳的,似稳的以及非稳的三类,明确指出:“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布,可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程,概率分布实际上已失去意义,前述的基于概率分布的预测理论完全不适用,必须另辟途径,这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中,……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件,导致了LTCM基金的统计预测理论失灵,而且遭受损失的并非LTCM基金一家,其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。

经典的布莱克‐斯科尔斯公式

布莱克‐斯科尔斯公式可以认为是,一种在具有不确定性的债券市场中寻求无风险套利投资组合的理论。欧式期权定价的经典布莱克‐斯科尔斯公式,基于由几个方程组成的一个市场模型。其中,关于无风险债券价格的方程,只和利率r有关;而关于原生股票价格的方程,则除了与平均回报率b有关以外,还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r,b,σ均为常数时,欧式买入期权(European call option)的价格θ就可以用精确的公式写出来,这就是著名的布莱克‐斯科尔斯公式。由此可以获得相应的“套利”投资组合。布莱克‐斯科尔斯公式自1973年发表以来,被投资者广泛应用,由此而形成的布莱克‐斯科尔斯理论成了期权投资理论的经典,促进了债券衍生物时常的蓬勃发展。有人甚至说。布莱克‐斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。

笔者以为,上述投资组合理论可称为经典布莱克‐斯科尔斯理论。它尽管在实践中极为成功,但也有其局限性。应用时如不加注意,就会出问题。

局限性之一:经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳的完备的市场假设,即r,b,σ均为常数,且σ>0,但在实际的市场中它们都不一定是常数,而且很可能会有跳跃。

局限性之二:经典布莱克‐斯科尔斯理论假定所有投资者都是散户,而实际的市场中大户的影响不容忽视。特别是在不成熟的市场中,有时大户具有决定性的操纵作用。量子基金在东南亚金融危机中扮演的角色即为一例。在这种情况下,b和σ均依赖于投资者的行为,原生股票价格的微分方程变为非线性的。

经典布莱克‐斯科尔斯理论基于平稳市场的假定,属于“平稳随机过程”,在其适用条件下十分有效。事实上,期权投资者多年来一直在应用,LTCM基金也确实在过去三年多中赚了大钱。这次LTCM基金的失败并非由于布莱克‐斯科尔斯理论不对,而是因为突发事件袭来时,市场变得很不平稳,原来的“平稳随机过程"变成了“非稳随机过程”。条件变了,原来的统计规律不再适用了。由此可见,突发事件可以使原本有效的统计规律在新的条件下失效。

突发实件的机制

研究突发事件首先必须弄清其机制。只有弄清了机制才能分析其前兆,研究预警的方法及因此之道。突发事件并不限于金融领域,也存在于自然界及技术领域中。而且各个不同领域中的突发事件具有一定的共性,按照其机制可大致分为以下两大类。

 

“能量”积累型 地震是典型的例子。地震的发生,是地壳中应力所积累的能量超过所能承受的临界值后突然的释放。积累的能量越多,地震的威力越大。此外,如火山爆发也属于这一类型。如果将“能量”作广义解释,也可以推广到社会经济领域。泡沫经济的破灭就可以看作是“能量“积

累型,这里的“能量”就是被人为抬高的产业之虚假价值。这种虚假价值不断积累,直至其经济基础无法承担时,就会突然崩溃。积累的虚假价值越多,突发事件的威力就越大。日本泡沫经济在1990年初崩溃后,至今已九年尚未恢复,其重要原因之一就是房地产所积累的虚假价值过分庞大之故。

 

“放大”型 原子弹的爆发是典型的例子。在原子弹的裂变反应中,一个中子击中铀核使之分裂而释放核能,同时放出二至伞个中子,这是一级反应。放出的中子再击中铀核产生二级反应,释放更多的核能,放出更多的中子……。以此类推,释放的核能及中子数均按反应级级数以指数放大,很快因起核爆炸。这是一种多级相联的“级联放大”,此外,放大电路中由于正反馈而造成的不稳定性,以及非线性系统的“张弛”震荡等也属于“放大”型。这里正反馈的作用等效于级联。在社会、经济及金融等领域中也有类似的情形,例如企业间达的连锁债务就有可能导致“级联放大”,即由于一家倒闭而引起一系列债主的相继倒闭,甚至可能触发金融市场的崩溃。这次LTCM基金的危机,如果不是美国政府及时介入,促使15家大银行注入35亿美元解困,就很可因LTCM基金倒闭而引起“级联放大”,造成整个金融界的信用危机。

金融界还有一种常用的术语,即所谓“杠杆作用”(leverage)。杠杆作用愿意为以小力产生大力,此处指以小钱控制大钱。这也属于“放大”类型。例如LTCM基金不仅大量利用银行贷款造成极高的“运用资金与资本之比”,而且还利用期货交易到交割时才需付款的规定,大做买空卖空的无本交易,使其利用“杠杆作用”投资所涉及的资金高达

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