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数学中的问题解决

时间:2006-11-21栏目:数学论文

1980年4月, 以美国数学教师全国联合会(NCTM)的名义,公布了一份名曰《行动纲领 - 80年代数学教育的议程》的文件,首次提出必须把问题解决(problem solving)作为80年代中学数学的核心。在1980年8月的第四届国际数学会议上,美国数学教师协会提出了80年代中学数学教育行动计划的八点建议,指出80年代中学数学教育改革焦点是培养学生问题解决的能力,这种力量衡量个人和国家数学水平的标志。到1988年召开的第六届国际数学教育会议上,则将问题解决列为大会的七个主要研究课题之一,在课题报告中,几次明确提出问题解决?模拟化和应用必须成为从中学到大学的所有数学课程的一部份。这样,在美国和国际数学教育会议的推动下,问题解决受到了世界各国数学界普遍重视,不仅成为国际数学教育界研究的重要课题,而且是继「新数运动」和「回到基础」之后兴起的80年代和90年代国际数学教育发展的潮流。
一、对「问题」的理解
对「问题」的理解与关于甚么是「问题解决」的分析直接相关,讨论和研究「问题解决」的一个主要困难就在于对甚么是真正的「问题」缺少明晰的一致意见。
当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说:「问题是数学的心脏。」美籍匈牙利著名数学教育家波利亚(G.Polya)在《数学的发现》一书中曾给出问题明确含义,并从数学角度对问题作了分类。他指出,所谓「问题」就是意味着要去寻找适当的行动,以达到一个可见而不立即可及的目标。《牛顿大词典》对「问题」的解释是:指那些并非可以立即求解或较困难的问题 (question),那种需要探索、思考和讨论的问题,那种需要积极思维活动的问题。
在1988年的第六屇国际数学教育大会上,「问题解决、模型化及应用」课题组提交的课题报告中,对「问题」给出了更为明确而富有启发意义的界定,指出一个问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的待解问题情境。该课题组主席奈斯 (M.Niss) 还进一步把「数学问题解决」中的「问题」具体分为两类:一类是非常规的数学问题;另一类是数学应用问题。这种界定现已经逐渐为人们所接受。
我国的张奠宙、刘鸿坤教授在他们的《数学教育学》里的 "数学教育中的问题解决"中,对甚么是问题及问题与习题的区别作了很好的探讨,根据他们的思想观点,我们可对「问题」作以下几个方面的理解和认识。
* 问题是一种情境状态。这种状态会与学生已有的认知结构之间产生内部矛盾冲突,在当前状态下还没有易于理解的、没有完全确定的解答方法或法则。换句话说,所谓有问题的状态,即这个人面临着他们不认识的东西,对于这种东西又不能仅仅应用某种典范的解法去解答,因为一个问题一旦可以使使用以前的算法轻易地解答出来,那么它就不是一个问题了。 
* 问题解决中的「问题」,并不包括常规数学问题,而是指非常规数学问题和数学的应用问题。这里的常规数学问题,就是指课本中既已唯一确定的方法或可以遵循的一般规则、原理,而解法程序和每一步骤也都是完全确定的数学问题。 
* 问题是相对的。问题因人因时而宜,对于一个人可能是问题,而对于另一个人只不过是习题或练习,而对于第三个人,却可能是所然无味了。另一方面,随着人们的数学知识的增长、能力的提高,原先是问题的东西,现在却可能变成常规的问题,或者说已经构不成问题了。例如,学生在学习因式分解之前,对于「求方程﹕x3 - 6x2 + 5x = 0的解」,构成问题,而在学习了因式分解之后,已熟练地掌握了abc = 0 ; 则a = 0 或 b = 0或c = 0,那么,此时前述求方程的根已对他不构成问题了,而当前状态下对于「求方程x3 - 6x2 - 4x = 6的根」则构成一个问题。 
* 问题情境状态下,要对学生本人构成问题,必须满足三个条件: (1)可接受性。指学生能够接受这个问题,还可表现出学生对该问题的兴趣。 (2)障碍性。即学生当时很难看出问题的解法、程序和答案,表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。(3)探索性。该问题又能促使学生深入地研究和进一步的思考,展开各种探究活动,寻求新的解题途径,探求新的处理方法。 
* 问题解决中的「问题」与「习题」或「练习」是有区别的,其重要区别在于: (1)性质不同。中学数学课本中的「习题」或者「练习」 属于「常规问题」,教师在课堂中已经提供了典范解法,而学生只不过是这种典范解法的翻版应用,一般不需要学生较高的思考。因此,实际上学生只不过是在学习一种算法,或一种技术,一种应用于同一类「问题」的技术,一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。(2)服务的目的不同。尽管有些困难的习题对大部份学生实际上也可能是真正的问题,但数学课本中的习题是为日常训练技巧等设计的,而真正的问题则适合于学习发现和探索的技巧,适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。因此,练习技巧与解真正问题所要达到的学习目的不大相同,也正因为它们各自服务于一种目的,所以中学教学课本中的「习题」、「练习」不应该从课本中被除去,而应该被保留。然而,解决了这些常规问题后,并不意味着已经掌握了「问题解决」。 
二、一个好问题的「标准」
以问题解决作为数学教育的中心事实上集中体现了数学观和数学思想的重要变化,也即意味着数学教育的一个根本性的变革,正是在这样的意义上,著名数学教育家伦伯格指出:解决非单纯练习题式的问题正是美国数学教育改革的一个中心论题。
那么,从数学教育的角度看,究竟甚么是一个 "好"的问题,它的标准该是甚么?一般来说,一个好问题标准应体现在以下三个方面:
其一、 一个好问题应该具有较强的探究性。
这就是说,好问题能启迪思维,激发和调动探究意识,展现思维过程。如同波利亚所指出的「我们这里所指的问题,不仅是寻常的,它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神」。这里的「探究性(或创造精神)」的要求应当是与学生实际水平相适应的,既然我们的数学教育是面向大多数学生的,因此,对于大多数学生而言,具有探索性或创造性的问题,正是数学上「普遍的高标准」- 这又并非是「高不可及」的,而是可通过努力得到解决的。从这个意义上来说,我们这里说的好问题并不是指问题应有较高的难度,这一点与现在数学奥林匹克竞赛中所选用的大部份试题是有区别的。在竞赛中,「问题解决」在很大程度上所发挥的只是一种「筛子」的作用,这是与以「问题解决」作为数学教育的中心环节和根本目标有区分的。 
其二、 一个好问题,应该具有一定的启发性和可发展空间。&n

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一个好问题的启发性不仅指问题的解答中包含着重要的数学原理,对于这些问题或者能启发学生寻找应该能够识别的模式,或者通过基本技巧的某种运用很快地得到解决。同时,「问题解决」还能够促进学生对于数学基本知识和技能的掌握,有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法,这就与所谓的「偏题」、「怪题」划清了界线。 
一个好问题的可发展空间是说问题并不一定在找到解答时就会结束,所寻求的解答可能暗示着对原问题的各部份作种种变化,由此可以引出新的问题和进一步的结论。问题的发展性可以把问题延伸、拓广、扩充到一般情形或其他特殊情形,它将给学生一个充分自由思考、充分展现自己思维的空间。 
其三、 一个好问题应该具有一定的「开放性」。 
好问题的「开放性」,首先表现在问题来源的「开放」。问题应具有一定的现实意义,与现实社会、生活实际有着直接关系,这种对社会、生活的「开放」,能够使学生体现出数学的价值和开展「问题解决」的意义。同时,问题的「开放性」,还包括问题具有多种不同的解法,或者多种可能的解答,打破「每一问题都有唯一的标准解答」和「问题中所给的信息都有用」的传统观念,这对于学生的思想解放和创新能力的发挥具有极为重要的意义。 
 
三、 「问题解决」见解种种 
从国际上看,对「问题解决」长期以来有着不同的理解,因而赋予「问题解决」以多种含义,总括起来有以下6种: 
1、 把「问题解决」作为一种教学目的。
例如美国的贝格(Begle)教授认为:「教授数学的真正理由是因为数学有着广泛的应用,教授数学要有利于解决各种问题」,「学习怎样解决问题是学习数学的目的」。E.A.Silver教授也认为本世纪80年代以来,世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。当「问题解决」被认为是数学教学的一个目的时,它就独立于特殊的

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