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构造组合模型巧证组合恒等式

时间:2006-11-21栏目:数学论文

  构造组合模型巧证组合恒等式
  
  证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成。但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明。即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组问题的两种计算方法,由解的唯一性,即可证明组合恒等式。
  
  例1证明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.
  
  分析:原式左端为m个元素中取n个的组合数。原式右端可看成是同一问题的另一种算法:把满足条件的组合分为两类,一类为不取某个元素a1,有Cnm-1种取法。一类为必取a1有Cn-1m-1种取法。由加法原理可知原式成立。
  
  例2证明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.
  
  分析:原式左端可看成一个班有m个人,从中选出n个人打扫卫生,在选出的n个人中,p人打扫教室,余下的n-p人打扫环境卫生的选法数。原式右端可看成直接在m人中选出p人打扫教室,在余下的m-p人中再选出n-p人打扫环境卫生。显然,两种算法计算的是同一个问题,结果当然是一致的。
  
  以上两例虽然简单,但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路:先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型,再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析。若是几个数(组合数)相加的形式,可以把构造的组合问题进行适当分类,如例1,若是几个数(组合数)相乘的形式,则应进行适当的分步计算,如例2,当然,很多情况下是两者结合使用的。
  
  例3证明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中当p>q时Cpq=0.
  
  证明:原式左边为m+n个元素中选k个元素的组合数。今将这m+n个元素分成两组,第一组为m个元素,剩下的n个元素为第二组,把取出的k个元素,按在第一组取出的元素个数i(i=0,1,2,…,k)进行分类,这一类的取法数为CimCk-in.于是,在m+n个元素中取k个元素的取法数又可写成ki=0CimCk-in.故原式成立。
  
  例4证明
  
  Cnn+Cnn+1+Cnn+2+…+Cnn+m=Cn+1n+m+1.
  
  证明:原式右边为m+n+1个元素中取n+1个,元素的组合数,不失一般性,可以认为是在1,2,3,…,m+n,m+n+1,共m+n+1个数中取n+1个数。将取出的n+1个数a1,a2…,an+1由小到大排列,即设a1<a2<an+1,按取出的最大数an+1=k+1分类,显然k=n,n+1,…,n+m.当k=n+i时(i=0,1,2,…,m),这一类取法数为Cnn+i,所以取法总数又等于mi=0Cnn+i.原式成立。
  
  对于某些组合恒等式,有时其左右两边所表示的意义都不易看出,但是如果根据组合数的特点仔细分析,或对原式进行一些适当的变形,往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型,证明就可化难为易。
  
  例5证明C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1.
  
  分析:注意,原式左端等价于C11C1n+C12C2n+…+C1nCnn,这里C1iCin可表示先在n个元素里选i个,再在这i个元素里选一个的组合数,可设一个班有n个同学,选出若干人(至少1人)组成一个代表团,并指定一人为团长。把这种选法按取到的人数i分类(i=1,2,…,n),则选法总数即为原式左端。今换一种选法,先选团长,有n种选法,再决定剩下的n-1人是否参加,每人都有两种可能,所以团员的选法有2n-1种。即选法总数为n2n-1种。显然两种选法是一致的。
  
  这里应注意2n的意义,并能用组合意义证明ni=0Cin=2n.
  
  例6证明
  
  C1n+22C2n+32C3n+…+n2Cnn=n(n+1)2n-2.
  
  分析:本题左边与例5左边类似,不同的是例5左边为ni=1iCin,而本题为ni=1i2Cin.只要在例5构造的模型中加上同时还要选一个干事,并且干事和团长可以是同一个人,即可符合原式左边。对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况。若团长和干事是同一个人,则有n2n-1种选法;若团长和干事不是同一个人,则有n(n-1)2n-1种选法。所以,共有n2n-1+n(n-1)2n-2=n(n+1)2n-2种选法。
  
  例7证明
  
  (C1n)2+2(C2n)2+3(C3n)2+…+n(Cnn)2=nCn-12n-1.
  
  分析:注意到(Cin)2=CinCn-in,可设一个班有n个男生与n个女生,在这2n个学生中选n个同学(至少有1名男生)组成一个代表团,并指定其中一名男生为团长,按选出的男生人数i(i=1,2,…,n)分类,这一类有iCinCn-in=i(Cin)2种选法,总的选法有ni=1i(Cin)2种。原式右边的组合意义是明显的,即直接在n个男生中选一名团长,有n种选法,再从剩下的2n-1人中选出n-1人为团员,共有nCn-12n-1种选法。
  
  掌握了用组合意义证明组合恒等式这种方法后,还可通过构造一个组合问题的模型,编拟组合恒等式习题。如在例5中除了要选一名团长外,还要选一名干事和一名联络员(可以兼职)便可得ni=1i3Cin=n2(n+3)·2n-3.具体证法可参照例5与例6.又如,在例7中除了在2n个同学中选出n个团员及指定一名男生为团长外,还要有一名男生担任联络员(可以兼职),则可得组合恒等式:ni=1i2(Cin)2=nCn-12n-1+n(n-1)Cn-22n-2.若在例7中要求,留下的女生中再选一名负责人,则有组合恒等式ni=1i2(Cin)2=n2Cn-12n-2.具体证明读者可自己完成。实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程。
  
  若把恒等式中较简单的一边去掉,变为化简组合式,用此法同样能完成化简,读者可自己体会。
  
  用组合数的意义证明组合恒等式,除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外,还有它独到的好处,那就是把抽象的组合数还原为实际问题,能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力,把枯燥的公式还原为有趣的实例,能提高学生的学习兴趣。所以,老师在教学过程中适当介绍一些这方面的内容,将是大有益处的。

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