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数学中的游戏因素及其对于数学的影响

时间:2007-3-29栏目:数学论文

关键词:数学 游戏 数学发展 数学教育  
摘要:游戏与数学作为两项人类活动具有许多共同的特点,这种共性主要体现在它们的性质、结构以及实践等三个方面。数学与游戏之间的关系是相互渗透、相互统一的关系。游戏的精神一直伴随着数学的成长和发展,成为数学发展的主要动力之一;并从以下几个方面影响了数学的发展:游戏激发了许多重要数学思想的产生,游戏促进了数学知识的传播,游戏是数学人才发现的有效途径。此外,游戏还在数学教育中起着非常重要的作用。

一.数学与游戏的关系
  一般认为,游戏是一个广泛的概念,它包括任何一种旨在消遣时光或寻求娱乐的活动。而数学则是带有艺术风度的智力工作,同时是具有巨大的实用价值的科学。数学总是和逻辑在一起,数学家在从事研究时一般不是戏谑的,因为严谨和认真是人们对数学的一种追求,游戏对于数学的作用至多起激发兴趣和调节情绪的作用。然而,事实上情况并非那么简单。考察一下数学与游戏的关系,我们发现游戏与数学的关系非常密切。无论从数学知识的本身,还是数学活动的过程,如从事数学活动的人们的动机、方法等方面都可发现游戏的因素。

  首先,就数学知识本身来说,在传统数学领域和现代数学领域中都可发现大量赏心悦目的具有游戏性质的内容和问题。在算术中,毕达哥拉斯学派对于完全数和亲和数等数字的奇特性的研究,以及用石块的游戏列出的有趣定理都具有游戏的性质。在代数中,三次方程早已出现在公元前1900----1600年巴比伦的泥板书中,当时并没有实际的问题导致三次方程,显然巴比伦人把这个问题当作消遣。公元前3世纪阿基米德提出“群牛问题”导致包含8个未知数的代数不定方程组。5—6世纪《张丘建算经》中记载的“百鸡问题”导致3元不定方程组。几何学中的游戏趣题更是花样繁多,如由勾股定理所编制的大量趣题、古希腊人研究的角的三等分、倍立方体和化圆为方三大几何作图问题以及对割圆曲线等奇异曲线的研究、用相同形状的图形铺满整个平面的问题,等等。许多深奥的、严肃的数学也带有游戏的情趣。例如,从16世纪以来,在微积分中人们对大量种类的奇形怪状的曲线的研究显然带有娱乐的性质。最早纯粹关于消遣性数学问题的书籍出现于17世纪,其后200年中,数学中的游戏及迷题的种类和数量大增。在此时期人们的兴趣大都集中在数字的奇特性、单纯的几何迷题、算术故事问题、魔(术)方(块)、赌博等游戏。到了19世纪,人们的兴趣开始转向一些现代数学领域,如拓扑学、组合几何、图论、逻辑学、概率论等,其中研究对象性质的奇特性、推理方法的迷惑性、以及各种组合问题和几何图形操作的灵活多变性等都是给人以乐趣的、带有游戏色彩的问题。

  其次,数学作为一项人类活动,自古以来一直是一个享有特权的人类智力活动领域,被看成是人类智力的象征。它能使参与者产生情感方面的体验,给人乐趣。因此,许多人不单是因为数学有用而研究数学,他们的出发点则是把数学作为一种自娱自乐的游戏,一种高级的心理追求和精神享受。许多数学思想是人们锲而不舍地思索一个令人迷惑的概念或问题的结果。有些人可以就一些问题和趣题连续工作几个小时,甚至花费几天、几年的时间去探讨那起初从表面上看来不过是消遣的东西,直至细枝末节,以求得彻底解决。例如,几何学起源于实际的需要,然而几何学的繁荣发展却开始于古希腊。尽管希腊人把几何看作与对于世界本质的思索一样严肃的事,但实际上希腊人却把几何当作智力游戏对待,他们的大部分工作本质上都具有游戏的性质──远离功利,满足好奇心和求知欲,有闲人的消遣,比如他们把大部分的精力都集中在许多单纯的几何迷题上。可以说数学只是希腊人的一个高级玩具,而并非一个有用的工具。

  数学即游戏的观念在19世纪数学变为一种职业以后仍然在发挥作用,实际上这种观念一直持续到现代。在此,引用爱因斯坦于1918年4月所讲的一段意味深长的话:“许多人爱好科学,是因为科学给了他们异呼寻常的智力上的快感,对于这些人科学是一种特殊的娱乐;还有许多人之所以把他们的智力奉献给科学祭坛,为的是纯粹的功利。如果把这两类人都赶出神圣的殿堂,那么,这里的人就会大为减少…”爱因斯坦的这段描述在科学殿堂活跃的人们的话同样也适用于数学。著名数学家哈代曾说:激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心,是谜团吸引力,正如希尔伯特所说:“问题就在那里,你必须解决它”。正是这种永不满足的激情吸引了大批的人献身于数学,从而导致了大量问题离奇地绽开数学的嫩牙。可以说数学在其成长和发展中一直伴随着游戏的精神。

  这种数学即游戏观念并非出于偶然,从本质上作一番考察,我们会发现数学与游戏具有许多共同的特点,它们的关系是相互渗透、相互统一的关系,这种统一主要体现在活动的性质、结构的形式以及实践三个方面。

  首先,数学与游戏作为两项人类活动具有许多共同的性质特征。有些社会学家曾经对游戏进行了深入的分析,以下性质是游戏的基本特征[1]:

  1.游戏是一种“自由活动”,“自由”在希腊语中的意思是“无报酬的”,即活动本身是为了锻练,而不是为了从中获取利益。
  2.游戏在人类的发展中起着“一定的作用”。幼儿从游戏中丰富情感、获得知识、发展智力和能力,从而为将来的竞争和生活作准备。成年人玩游戏则是为了体验解放、回避和放松、满足好奇心等感觉。
  3.游戏不是玩笑,作游戏必须相当认真。不认真对待的人是在糟蹋游戏。
  4.游戏就象艺术工作一样,在深思熟虑、实施以及取得成功的过程中能够得到巨大的乐趣。
  5.通过游戏规则可以创造一种新秩序和充满和谐韵律的世界。
  6.游戏有自己独立的时间和空间。……

  显然,数学作为一项人类的活动也具有以上所有的特点,从这一点来讲,数学的确是一种游戏。

  其次,数学与游戏的系统结构也有共同的形式。数学具有演绎体系或称为公理化系统,这种系统由不加定义的概念(原始概念),不加证明的命题(公理)组成。其中原始概念的含义由公理体现出来。任何游戏在一开始都是介绍一些对象或部件,一系列的规则,这些对象或部件的作用由那些规则所决定。两者的相似是显然的,它们的差异只是叫法不同而已,数学中的不加定义的概念对应着游戏中的对象或部件,公理对应着游戏的规则,数学中的定理则对应着游戏过程中的每一状态。两个系统中都有“定义”,也都有“证明”。例如,以下“字母游戏”的系统可以用数学的语言描述[4]:

  不加定义的概念:字母M,I和U。  
  定义:x指任何由若干I和若干个U组成的字母串。  
  公理:
  1)如果字母串的最后一个字母是I,则可在最后加上字母U。
  2)如果已有Mx,则可以加上x变为Mxx,此称为加倍法则。
  3)如果在字母串中出现三个I相连的情况,即III可用一个U来代替
  4)如果UU出现,则一局结束。

  定理:“由MI,必然导出MUIU”  
  证明:MI→(公理2)MII→(公理2)MIIII→(公理1)MIIIIU→(公理3)MUIU

  正是由于数学与游戏的形式结构的相似,20世纪初数学哲学中形式主义学派的代表人物希尔伯特(D.Hilbert)有一个极端的观点:“数学是根据某些简单规则使用毫无意义的符号在纸上进行的游戏。”

  第三,数学与游戏的实践也有共同的特征。任何人在开始做游戏时,都必须对它的规则有一定的了解,将各部件的相互联系弄清楚,就象数学的初学者那样,用同样的方法比较并建立该理论中的基本元素之间的相互作用,这些就是游戏和数学理论的基本练习。无论在数学中还是在游戏中,较深层次的、更复杂的步骤和策略的运用都需要特殊的洞察力。

  在玩高级游戏的过程中,总是有问题出现,人门总想要在从未探索过的游戏情境中用首创的方法来解决,这对应于数学理论中未解决的问题的研究。在创造新游戏的过程中,需要设计情境,给出新颖的策略和创造性的游戏方式。将其与创立新的数学理论相类比的话,就相当于提出新颖的思想和方法,并将之应用于其它未解决的问题,从而更深刻地揭示现实生活中某些至今尚不明了的真理。

  因此,从广义上来讲,可以说数学是一种游戏,只不过这种游戏要涉及到科学、哲学、艺术等更广泛的人类文化范围。从狭义上说,数学中的游戏是指那些具有娱乐和消遣性质的并带有数学因素的游戏和智力难题。正是由于数学与游戏之间的共性,许多问题和内容很难说是应归于纯数学研究还是归于有趣的智力游戏;更难于区分人们对于数学的兴趣是由于数学中的游戏因素,还是由于数学的其他因素。总之,数学中有游戏的精神,游戏中有数学的思想,要想在两者之间画出一道严格分明的界限是不

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