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关于双曲线教学的几点改进意见

时间:2007-3-29栏目:数学论文

人教版《全日制普通高级中学教科书·数学》第二册(上)在第八章介绍了“圆锥曲线方程”。在对“双曲线”教学的处理上,笔者有三处改进意见。

一、一个教学实验

对教材第106页例2的教学,笔者在所任教的两个班做了这样一个实验:在甲班按教材上的解法向学生讲解,不到10分时间完成该题的讲解;在乙班提前两天布置了这样一道作业题:

解方程组

学生对此方程组的解法有下列6种:

解法1:

由①×+②,得a2=16。

把a2=16代入①,得b2=9(下略)。

解法2:

由①-②,得-=0,

即a2=。

把a2=代入①,得b2=9,把b2=9代入a2=,得a2=16(下略)。

解法3:

由①,得32b2-9a2=a2b2。 ③

由②,得400b2-81a2=16a2b2。④

由③×16-④,得16b2-9a2=0,即a2=(下略)。

解法4:

由①,得=。

把=代入②,得-=1,即a2=16(下略)。

解法5:令m=a2,n=b2,

则原方程组化为

(下略)。

解法6:令x=,y=,则原方程组化为

解这个方程组,得

即a2=16,b2=9(下略)。

当讲到教材第106页例2时,与学生一起列出方程组

学生看到这个方程组后,联想到两天前所做的作业,他们议论纷纷,有的学生的解法与教材一致,有的学生的解法与教材不一致。 笔者用投影仪显示作业中6种不同的解法,学生认真分析6种不同的解法。──通过一个简单的问题调动了他们学习数学的积极性。笔者没有就此罢休,及时提出对例题解法有没有值得改进的地方,教室一下子就安静下来了,大家都在积极思考着这个问题。过了一会儿,有的学生就抬起头看着老师,这说明他们已经找到了答案。学生受教材中方程组的启发,认为此题可以直接设所求双曲线方程为my2-nx2=1(m>0,n>0),这样设计计算量较小。其实当椭圆或双曲线中心在原点且对称轴为坐标轴时,设为Ax2+by2=1的形式计算量更小。在乙班完成这一例题的讲解用的时间是甲班的2倍,而乙班课堂气氛和学习效果是甲班所不能比的。

在甲班的教学基本上照本宣科,仅用了待定系数法和换元法;而在乙班,除了用待定系数法和换元法,还用了整体代换思想、加减消元法、消常数法等数学思想方法,更可贵的是,学生受教材解题过程的启示,认为直接设my2-nx2=1(m>0,n>0)可使计算量减小。

通过这一实验,可以得到一些有益的启示:1. 可不时将后学内容置前。将学生还没有学到但可以解决的局部问题置前,让他们自己解决,这样做可以充分调动学生的学习积极性,避免教材和教师的局限性,还可以培养学生的创造性思维能力,学生对某些问题的解决,往往可以超出教师的想象。2. 要充分重视教材中例题的教学。当前高中数学教学有一种不良倾向,认为教材中的例习题太容易,而高考题目太难,于是在上新课时,对教材例题讲解不够重视,而是草草了事,然后补充大量较难例题占用课堂时间。其实这样做不可取,教材例题是教材编者精心挑选的,是数学题目的精品,如果不好好利用它们,实在是巨大浪费。对教材例题不深入钻研就不知道它的价值。3. 学生自己能够解决的问题要坚决让学生自己解决。由于学生解决问题的途径多而且有些十分巧妙,如果教师代替学生来解决问题,往往会淹没学生很多好的解法。一定要相信学生是聪明的。

二、双曲线渐近方程的证明改进

对于双曲线渐近方程的证明,教材采用的是间接法,也可以直接证明。

先取双曲线在第一象限内的部分,这一部分的方程可写为

y=(x>a)。

设M(m>a)是它上面的点,由点到直线距离公式,可得M到直线y=x的距离

d=

=。

当x逐渐增大时,m逐渐增大,m+逐渐增大,当m无限增大,m+无限增大,d接近于0,就是说,双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON。

在其他象限内,也可以证明类似的情况。我们把两条直线y=±x叫做双曲线的渐近线。

三、一个例题教学设计的改进

例 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图1),它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高55 m,选择适当的坐标,求出此双曲线的方程(精确到1 m)(教材第111页例2)。

解:如图2建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合。这时,上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且|CC′|=13×2,|BB′|=25×2。

设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),令点C的坐标为(13,y1),点B的坐标为(25,y2),因为点B、C在双曲线上,所以-=1,-=1。

又y1>0,y2<0,所以y1=b,y2=b。

而y1-y2=55,所以b=55,

即b=≈25。

从而所求双曲线方程为-=1。

上述解法与教材的区别是:设B点和C点方式不一样,教材中解方程时计算量相当大,而上面的解法只需用计算器算出即可。

在解析几何中,解题计算量是一个难点,合理设所求曲线方程或点的坐标,可以减少计算量。

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