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关于双曲线教学的几点改进意见
人教版《全日制普通高级中学教科书·数学》第二册（上）在第八章介绍了“圆锥曲线方程”。在对“双曲线”教学的处理上，笔者有三处改进意见。一、一个教学实验
对教材第106页例2的教学，笔者在所任教的两个班做了这样一个实验：在甲班按教材上的解法向学生讲解，不到10分时间完成该题的讲解；在乙班提前两天布置了这样一道作业题：
解方程组
学生对此方程组的解法有下列6种：
解法1：
由①×＋②，得a2＝16。
把a2＝16代入①，得b2＝9（下略）。
解法2：
由①－②，得－＝0，
即a2＝。
把a2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。
解法3：
由①，得32b2－9a2＝a2b2。 ③
由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④
由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。
解法4：
由①，得＝。
把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。
解法5：令m＝a2，n＝b2，
则原方程组化为
（下略）。
解法6：令x＝，y＝，则原方程组化为
解这个方程组，得
即a2＝16，b2＝9（下略）。
当讲到教材第106页例2时，与学生一起列出方程组
学生看到这个方程组后，联想到两天前所做的作业，他们议论纷纷，有的学生的解法与教材一致，有的学生的解法与教材不一致。 笔者用投影仪显示作业中6种不同的解法，学生认真分析6种不同的解法。──通过一个简单的问题调动了他们学习数学的积极性。笔者没有就此罢休，及时提出对例题解法有没有值得改进的地方，教室一下子就安静下来了，大家都在积极思考着这个问题。过了一会儿，有的学生就抬起头看着老师，这说明他们已经找到了答案。学生受教材中方程组的启发，认为此题可以直接设所求双曲线方程为my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），这样设计计算量较小。其实当椭圆或双曲线中心在原点且对称轴为坐标轴时，设为Ａx2＋by2＝1的形式计算量更小。在乙班完成这一例题的讲解用的时间是甲班的2倍，而乙班课堂气氛和学习效果是甲班所不能比的。
在甲班的教学基本上照本宣科，仅用了待定系数法和换元法；而在乙班，除了用待定系数法和换元法，还用了整体代换思想、加减消元法、消常数法等数学思想方法，更可贵的是，学生受教材解题过程的启示，认为直接设my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使计算量减小。
通过这一实验，可以得到一些有益的启示：1． 可不时将后学内容置前。将学生还没有学到但可以解决的局部问题置前，让他们自己解决，这样做可以充分调动学生的学习积极性，避免教材和教师的局限性，还可以培养学生的创造性思维能力，学生对某些问题的解决，往往可以超出教师的想象。2． 要充分重视教材中例题的教学。当前高中数学教学有一种不良倾向，认为教材中的例习题太容易，而高考题目太难，于是在上新课时，对教材例题讲解不够重视，而是草草了事，然后补充大量较难例题占用课堂时间。其实这样做不可取，教材例题是教材编者精心挑选的，是数学题目的精品，如果不好好利用它们，实在是巨大浪费。对教材例题不深入钻研就不知道它的价值。3． 学生自己能够解决的问题要坚决让学生自己解决。由于学生解决问题的途径多而且有些十分巧妙，如果教师代替学生来解决问题，往往会淹没学生很多好的解法。一定要相信学生是聪明的。
二、双曲线渐近方程的证明改进
对于双曲线渐近方程的证明，教材采用的是间接法，也可以直接证明。
先取双曲线在第一象限内的部分，这一部分的方程可写为
y＝（x＞a）。
设Ｍ（m＞a）是它上面的点，由点到直线距离公式，可得Ｍ到直线y＝x的距离
d＝
＝。
当x逐渐增大时，m逐渐增大，m＋逐渐增大，当m无限增大，m＋无限增大，d接近于0，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ＯＮ的下方逐渐接近于射线ＯＮ。
在其他象限内，也可以证明类似的情况。我们把两条直线y＝±x叫做双曲线的渐近线。
三、一个例题教学设计的改进
例 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图1），它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m，选择适当的坐标，求出此双曲线的方程（精确到1 m）（教材第111页例2）。
解：如图2建立直角坐标系xＯy，使小圆的直径ＡＡ′在x轴上，圆心与原点重合。这时，上、下口的直径ＣＣ′、ＢＢ′平行于x轴，且｜ＣＣ′｜＝13×2，｜ＢＢ′｜＝25×2。
设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），令点Ｃ的坐标为（13，y1），点Ｂ的坐标为（25，y2），因为点Ｂ、Ｃ在双曲线上，所以－＝1，－＝1。
又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。
而y1－y2＝55，所以b＝55，
即b＝≈25。
从而所求双曲线方程为－＝1。
上述解法与教材的区别是：设Ｂ点和Ｃ点方式不一样，教材中解方程时计算量相当大，而上面的解法只需用计算器算出即可。
在解析几何中，解题计算量是一个难点，合理设所求曲线方程或点的坐标，可以减少计算量。
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