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一堂节外生枝的数学探究课——“探索勾股定理”教学案例
浙江金华市磐安县 尖山镇中 陈永平“嗬，这堂节外生枝的数学探究课真是意想不到！没想到新课程熏染出来的学生动手操作能力这么强，想象力那么丰富，不可小看他们……”一旦我回味起那堂课，耳边止不住地响起我当时赞叹的话。那堂课我虽没有完成预设目标，但同学们的动手操作能力和想象力出乎我的意料，令我惊喜、喟叹！
那是2005学年的第一堂课——1.1探索勾股定理（北师大版数学八年级上册）。我很担心学生对这节内容缺乏直观认识，生怕学生第一节课就遇到困难，失去信心。我精心地设计了教学方案，一遍又遍地温习本堂课的两个教学环节：第一环节和同学们一起探索勾股定理的来历，为学生提供合情推理的意识，让学生感知直角三角形斜边与直角边的关系；第二环节巩固勾股定理，为激发兴趣，让学生富有激情地应用勾股定理，设计了精彩的富有生活气息的数学实例，制作了多个全等的直角三角形和大小相同、不同的正方形，并把课堂移到了多媒体教室……。
第一环节按照预设学生积极地探索着：
1、数格子
观察图1－1
正方形A中含有_____个小方格，即A的面积是_____个单位面积；
正方形B中含有_____个小方格，即B的面积是_____个单位面积；
正方形C中含有_____个小方格，即C的面积是_____个单位面积。
观察图1－2，
正方形A，B，C中各含有多少个小方格？
正方形A，B，C的面积各是多少？
（图中每个小方格代表一个单位面积）
再观察图1－3、图1－4
2、议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
通过以上两个步骤学生经历了勾股定理的探究过程，很快发现了勾股定理：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、拼图验证
用4个全等的直角三角形拼成如下图形，通过讨论学生很快验证了勾股定理：
由面积计算可得
展开得
化间得
我正准备过度到第二环节时……。“老师，把图中的直角三角形翻转一下，也可验证勾股定理。”一个学生一边说，一边已走上讲台。这是平时被我养成的一个“坏习惯”，在学习中，发现了什么问题，未经老师同意就可上讲台表演。这个学生是班里的“大炮”，直性子，头脑灵活，反映速度敏捷，他叫张挺挺。他拿着手中拼成的图形先展示给全班学生，并哧哧哧地在黑板上画出了下列图形，写上了验证过程。
由面积计算可得
展开得
化简得
他那娴熟的技巧我不禁暗暗叫绝，一阵掌声响起，得到了大家称赞。
“还可以这样拼。”数学课代表张慧慧那清脆的声音在教室想起，她性格有点犟，有较强的管理能力，我班数学成绩之所以不错，也有她的一份功劳。我本想不叫她，但想到她平时每堂课都非要表现一回（班内学生积极发言离不开她的带头作用），否则心理就不舒坦的样子。为不影响她第一堂课的积极性，于是，我还是请她上来。
“将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形就可以验证，一边说一边已画出了图形，并写上了验证过程：
由面积计算可得
展开得
化简得
展示后兴奋地说：“这是美国总统的拼证法。”一句话引得全班同学哄堂大笑。“乱说，她乱说”，同学们七嘴八舌的议论着，表示不信。“不！这是我在网上学到的，昨天晚上我为了把今天的数学课学好，先预习了课本，后又查了电脑，刚才老师拼的图是古代一位印度人的拼证法，张挺挺拼的图实际上是我国古代赵爽的拼证法”她又委屈又自豪地说。
听到慧慧同学如此肯定的语句，同学们惊讶了，但从他们的眼神中看出还是半信半疑，当我点头肯定她的说法时，张挺挺跳了起来大声喊道：“我是赵爽！”当时的他那兴奋的情景真是无法想象，全体同学那热烈的掌声时常在我的脑海里响着。我心中暗喜：一位刚进入初二的学生竟知道了这么许多，有这样的钻研精神，真令人赞赏、敬佩。
此时，时间已过去了一大半，可班内这阵势，这气氛，真使我无法转向第二个环节。我猛然想起，这不就是培养学生动手操作能力吗？这种生成的机遇若不抓住，何等的可惜。于是，我顺水推舟：“还有别的拼法吗？”
平时言语不多的胡碧莹上来了。她一口气流利地叙述了以下过程：
把图甲中的4个直角三角形移位，成为图乙。因为图甲与图乙两个大正方形的面积相等，所以：
甲正方形的面积
乙正方形的面积
∴
甲 乙
她展示后，把眼睛的视线投向了张慧慧，意思是说，这又是古代什么人拼的？张慧慧没有回答上来。我告诉她说：这是我国西周开国时期的“商高”发现的。此时，同学们大声地喊出：“胡碧莹是商高”！喜悦的胡碧莹带者对老师敬佩的笑容回到了座位。
顽皮的张汉阳、张刚彪同时走上了讲台，又引发了同学们的哄堂大笑，他们不约而同地模仿胡碧莹方法，将张挺挺拼成的图作了如下移位：
用同样的方法验证了勾股定理。
同学们还在热烈的探索着，不知谁叫了一声“下课了”！我看了一下手表，已超过2分多钟了……
于是，我赶紧“急刹车”，鼓励一番后说：“人类对勾股定理的发现，少说也有5000多年，到目前为止已有400多种验证方法，我们本节课探索的只是几种方法，而我国是发现勾股定理最早的国家之一。”
啊！“勾股定理”真有趣！我国的古人真棒！随着一声声喜悦的赞叹声转向了下一堂课。
教学反思
这的确是一堂节外生枝的数学探究课，我原本准备先探索、验证勾股定理，接着巩固应用，时间分配各一半。谁知学生却发现了这么许多验证勾股定理的拼证法，让我实在始料不及，现在回忆起来庆幸当时调整教学思路，改变教学方式，围绕学生自己发现的问题展开探究。本案例满足了学生的探究欲望，把学习的主动权还给了学生，生成了新型的师生关系，让学生体验到学数学的乐趣，培养了学生的探究精神和动手操作能力，给了我和学生许多意想不到的收获。
1、满足学生的探究欲望
新课程强调课堂教学是一个动态生成的过程，预设是为了更好的生成。苏霍姆林斯基曾说：“教育的技巧并不在于能预见的细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出了相应的变动”。本案例满足学生的探究欲望，针对学生自己发现的问题进行探索，学生表现出来的探究热情空前高涨，课堂气氛异常活跃，知识掌握根深蒂固，而且拼图和验证的模型比老师预先设计的更有创造性，更能充分体验到数学活动充满探索以及发现之后的快感和乐趣。
2、体验学习数学的乐趣
苏霍姆林斯基说得好：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，而且是不动情感的脑力劳动，就会带来疲倦，处于疲倦状态下的头脑，是很难有效地吸收知识的。”本案例从开头用数格子的办法探究勾股定理，再利用学生自己通过拼图发现验证勾股定理，处处体现数学之美，每时每刻将学生吸引在课堂探究之中，心情激奋，兴趣浓厚。
3、学习主动权还给学生
以往的学生常常是一种被动接受式学习方式，学生很少能通过自己的探索来获取知识；学生很少有根据自己的见解发表看法与意见的机会。课堂的一切被老师占有，成了教学活动的控制者。而本案例给学生提供了自主探索、合作学习的机会，把课堂还给了学生，教师只是学生学习情境的创设者、组织者和学生学习活动的促进者、合作者，关注的是在课堂上学生做了些什么，说了些什么，想了些什么，学会了什么和感受了什么，使学生真正成为课堂活动的主人
4、对教师教学能力的挑战
在生成性的课堂中，学生不少的创新思维常常使教师意想不到，虽然这些竟想不到的问题，有时不一定是最优的，但对学生而言往往是最有效的，最具有针对性的，而对教师而言，要圆满解答好这些问题，对教师的教学能力和教学机智是一次很好的挑战，促使教师努力钻研业务，在素质提升工程中刻苦学习。
5、改变教师的教学方式
在传统的教学论中，“课程”被理解为规范性的教学内容，具有专制性，是在教学过程之前教学情境之外预先规定的，教学过程就是忠实而有效的传递过程。在这种背景下，教师只要把功夫花在课前，课堂上一般很省心，不会出现什么闪失，很多教师怕学生的提问打乱了自己的教学方寸，耽误了教学进程，总是尽可能将学生的思维压制在预先设计好的框架内，追求一种表面的默契，特别是一些公开课上，即使是教师有时问一问学生：还有别的想法和意见吗？也基本上是一种点缀性的设问，其实内心却是不情愿出现什么意外，殊不知，这种一味保全教学环节完整的做法，丧失的却是师生的生命力，主体性的发挥，如果深层次地想一想，我们在课堂上究竟是立足于教会学生什么，还是立足于学生会学？本案例只要有心人去细心领会，就明白了在新课程理念如何改变教师的教学方式，把握好教师的教与学生的学。
2006年3月
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