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一道全国高中数学联赛题的妙解与引申——兼谈《几何画板》轨迹功能的应用

时间:2007-3-29栏目:数学论文

刘忠  江西省永丰中学
    摘要:21世纪动态几何―――《几何画板》是专门针对几何学科的工具.几何的精髓是什么?就是不断变化的几何图形中不变的几何规律.许多绘画软件很难制作动态的几何图形,而《几何画板》制作的图形不仅是动态的,而且能反应几何的精髓.本文以一道全国高中联赛题的解法的探究为问题情境,以《几何画板》为工具,从动态中去观察、发现、探索几何图形之间的关系,从而得到此题的妙解.
关键词:几何画板  轨迹  折痕  动画    动画演示

2003年全国高中联赛第15题是这样的:一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a.折叠纸片,使圆周上某一点  刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当 取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合.
这道题是联赛试题的压轴题,从命题者对此题的命制意图看,无疑是一道难题,联赛结果也充分印证了这一点.学生为什么会觉得这道题难呢?我认为根本原因在于学生对求轨迹的思维定势.在他们看来,要求轨迹就要先求轨迹方程,而要求轨迹方程又得先设轨迹上的一点的坐标为(x, y),再得到x,  y之间的关系.而此题这样做难度又较大,思维极易受阻,当然就觉得难了.
下面介绍一种不同于联赛命题组提供的“参考答案”的解法.
我们不妨用《几何画板3.0》来探求一下所求点的集合.①用“点”工具画点O、M,并使|OM|=R;②用“作图”菜单中的“以圆心和圆周上的点画圆”命令画以O为圆心,R为半径的圆,并“隐藏点”M;③用“点”工具在⊙O内画点A,使|OA|=a;④在⊙O上任取一点 ,用“线段”工具作线段A ;⑤分别用“作图”菜单中的“线段”、“中点”、“垂线”命令得到线段A 的中垂线l;⑥选定直线l ,并用“显示”菜单中的“追踪直线”命令;⑦同时选定 和直线l ,用“作图”菜单中的“轨迹”命令即可得到如图1所示的点的集合.它显然是以点O、A为焦点,以a为焦距,以R为长轴长的椭圆及其外部.
若要用动画显示,则只需在完成以上步骤①――⑥后实施步骤⑧同时选定 和⊙O,并用“编辑”菜单中的“操作类按钮”和“动画”命令即可.
由此,我们便可得到本题的妙解了:如图2,由折纸法知, 、A两点关于折痕所在直线l对称 ,即l是线段A 的中垂线.连O 交l于点P,则|PO|+|PA|=|PO|+|P |=|O |=R.即点P在以O、A为焦点,以a为焦距,以R为长轴长的椭圆上.设点 是l上异于点P的任一点,则 |+| A|=| O|+|  |>|O |=R.即点 在上述椭圆的外部.综上所述,即得上述结论.
关于椭圆有以上命题,作为圆锥曲线的双曲线和抛物线是否也有类似的命题呢?回答是肯定的.
引申1  一张纸上画有半径为R的圆O和圆外一定点A,且OA=a.折叠纸片,使圆周上某一点 刚好与点A重合,这样的每一种折法,都留下一条直线折痕.当 取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上的点的集合.
结论  折痕所在直线上的点的集合是以O、A为焦点,以a为焦距,以R为实轴长的双曲线及其外部(如图3).                                          
证明方法与上题类似,此略.
引申2  一张纸上画有一定点F和一定直线m(点F到直线m的距离为p),折叠纸片,使直线m上的某点 刚好与点F重合,这样的每一种折法都留下一条直线折痕.当 取遍直线l上所有点时,求所有折痕所在直线上的点的集合.
结论  折痕所在直线上的点的集合是以点F为焦点,直线m为准线(以p为焦准距)的抛物线及其外部(如图4).
简证  如图5,设折痕所在直线为l,过点 作直线n垂直于直线m,交直线l于点P,则点P到直线m的距离=|P |=|PF|.∴ 点P在以F为焦点,m为准线的抛物线上.又设 是l上异于点P的任一点,过 作 Q⊥m于Q,则| Q|<|  |,
又|  |=| F|,∴| Q|<| F|.  ∴点P在上述抛物线的外部.综上所述,即得以上结论.                      
   以上两个结论同样可用《几何画板》设计演示动画.
   由以上有关圆锥曲线的三个命题,我们不难得到圆锥曲线的又一种《几何画板》画法.
引申3  长轴长为2a焦距为2c(a>c)的椭圆的画法(图略):①“构造坐标系”画一个半径为2a的圆O,并在其内画一点A使|OA|=2c;②在⊙O上任取一点 ,连O 、A ;③画线段A 的中垂线并设其与O 的交点为P;④“追踪点”P,并同时选定点P和 ,再用“轨迹”命令;⑤“隐藏”除椭圆外的所有对象.
   引申4  实轴长为2a焦距为2c(c>a)的双曲线的画法(图略):画法与引申3类似,此略.
   引申5  焦准距为p的抛物线的画法(图略) :①“构造坐标系”画一点F和一直线l,使点F到直线l的距离为p;②在l上任取一点 并作线段F 及其中垂线m;③过 作l的垂线n,并设它与直线m的交点为P;④“追踪点”P并同时选定点P和点 ,再用“轨迹”命令;⑤“隐藏”除抛物线外的所有对象.
   以上画法同样可用“编辑”菜单中的“操作类按钮”和“动画”命令设计演示动画.

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