《高中数学探究》网络校本课程的设计与开发

《高中数学探究》网络校本课程的设计与开发

骆魁敏  江西省乐平中学
摘要:教师依托“高中数学虚拟实验室”、“TI现代数学教育实验室”、《高中数学探究》专题学习网站等数学技术平台，设计与开发《高中数学探究》网络校本课程，指导学生进行高中数学“探究性课题学习”，有利于培养学生在数学上的创新精神，敢于质疑、提问、反思、推广，初步经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，从而亲身体验数学探究的激情和愉悦，实现国家高中数学课程标准中的数学素养目标。
关键词: 数学技术平台，网络校本课程，设计与开发，数学探究
一、引言
“进入21世纪中小学数学教育行动纲领（1997—2010）”中有一个基本思想，也是我国多年数学教育改革实践的主要经验：教师主导取向的有意义接受学习与学生自主取向的探究学习的取中、平衡，并按本国传统来进行整合。上述两种学习方式的比较详见下表：
表1  两种学习方式的比较
比较项目 有意义接受学习 探究学习

特点 旧经验引导新学习；
教师系统传授教材内容；
及时练习与反馈校正。 从问题出发引出探究学习；
在合作学习中追求新知；
寓求知于生活实践活动。
理论
基础 行为主义理论、认知心理学、奥苏贝尔的有意义接受学习 人本主义理论、建构主义理论与布鲁纳的发现学习

优势 目标是基础知识，有利于系统掌握知识与技能，学科测验成绩较高 目标是能力和气质，解决问题、创造能力、人际关系、动机态度较优
时至现代，我们从大量数学教育改革实践的经验中悟出，以本国文化为底蕴，重新整合上述两教学取向，不仅可能，而且必要。寻找中西方教育教学的中间地带，已经成为数学教育以及整个国际数学教育改革与发展的大趋势，也是整个国际教育改革的大策略。[1]
高中教学提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种教育技术平台，加强高中数学课程教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。我们应把信息技术不仅仅作为学习的对象，而应当作为学习的工具，努力实现高中数学课程与信息技术的整合，实现教学方式、学习方式的根本变革，充分发挥信息技术在学生自主学习、主动探究、合作交流等方面的优势。充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验科学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。[2]
二、《高中数学探究》网络校本课程教学目标分析
数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。该过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明。
高中数学课程设立“数学探究”学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。
学生在数学探究的过程中，应学会查询资料、收集信息、阅读文献。学生在数学探究中，应养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也应学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神。在数学探究中，学生将初步了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创造的激情，提高发现、提出、解决数学问题的能力，发挥自己的想像力和创新精神。
三、《高中数学探究》网络校本课程学习者特征分析
实验对象为我校（省优秀重点高中）高一年级学生232人，高二年级402人, 高三年级学生57人。学生具体情况为：高一（6）班59人，高一（7）班57人，高一（10）班62人，高一（14）班54人；高二（3）班57人，高二（4）班57人，高二（5）班55人，高二（6）班54人,高二（9）班59人，高二（10）班59人,高二（14）班61人;高三（7）57人。由于组成课题组采取自愿报名与负责人挑选的双向选择的方式，所以受试的选取事实上是采用随机抽取现存自然教学班的方式完成。
四、《高中数学探究》网络校本课程知识内容分析
1、确立《高中数学探究》网络校本课程内容选择的基本原则
数学探究课题的选择是完成探究学习的关键。课题的选择要有助于学生对数学的理解，有助于学生体验数学研究的过程，有助于学生形成发现、探究问题的意识，有助于鼓励学生发挥自己的想像力和创造性。因此，《高中数学探究》网络校本课程内容选择应满足以下几条基本原则。
4.1.1可接受性原则
数学探究课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背景材料中发现和建立，应该特别鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。
4.1.2开放性原则
课题应具有一定的开放性，课题的预备知识最好不超出学生现有的知识范围。
4.1.3多样化原则
数学探究课题应该多样化，可以是某些数学结果的推广和深入，不同数学内容之间的联系和类比，也可以是发现和探索对自己来说是新的数学结果。
4.1.4整合性原则
将高中数学探究课程与信息技术进行全面整合，编著网络探究课程，建立《高中数学探究》专题学习网站。
4.1.5 实践性原则
关注知识形成的过程，尽可能多地为学生提供实践操作的机会。
4.1.6 校本化原则
将高中数学探究课程作为校本课程，根据具体情况进行选编。
4.1.7 交互性原则
《高中数学探究》网络校本课程具有较强的交互功能，使用者依托《高中数学探究》专题学习网站，与基于网络的《高中数学探究》校本课程研究课题组的指导专家、实验教师、各实验班学生等进行同步或异步交流，合作探究，并实现资源共享。
4.2  精心设计《高中数学探究》网络校本课程主要内容
教师应努力成为数学探究课题的创造者，教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。因此，我们编著的《高中数学探究》校本课程共分为十章：第1章.高中数学探究性课题学习的方法与思路；第2章.高中数学探究课题类型（1）：活动型课题；第3章.高中数学探究课题类型（2）：构造性课题；第4章.高中数学探究课题类型（3）：猜想型课题；第5章.高中数学探究课题类型（4）：推广型课题；第6章.高中数学探究课题类型（5）：总结型课题；第7章.高中数学探究课题类型（6）：重现型课题；第8章.高中数学探究课题类型（7）：统计型课题；第9章.高中数学探究课题类型（8）：概率型课题；第10章.高中数学探究课题类型（9）：渗透型课题。
五、组建高中数学探究的技术平台
1、高中数学虚拟实验室
高中数学虚拟实验室网站由相互有机联系的信息资源层（它包括策略库、资料库、题库、积件库、课件库、软件库、教案库、课题研究档案等栏目）、教学工具平台层（它包括高中代数、立体几何、三角函数、平面解析几何等Z+Z智能教育平台，几何画板，测试与评估，BBS论坛等栏目）和超级链接层（它包括几何画板世界、图形计算机世界、Google搜索引擎、数学奥林匹克俱乐部等网站）三部分组成，该网站挂靠在乐平中学网站.信息资源层的每一部分内容依据高中数学教学大纲和教材分为高一年级、高二年级、高三年级、综合等四个一级子目录，一级子目录下按教材各章顺序分为若干个二级子目录，二级子目录下按教材各章的单元顺序分为若干个三级子目录，教师点击三级子目录即可阅读有关的具体内容。
教师在教学中要给学生创设展现思维过程的情境，加强学生双边活动中的主体参与，让每个学生都有动脑、动嘴、动手的机会，注重学生在认知过程中的主体作用。使他们大胆地想、充分地问、多方位交流，教师要在教学活动中从一个知识传播者自觉转变为与学生一起发现问题、探讨问题、解决问题的组织者、引导者、合作者。“高中数学虚拟实验室网站”恰恰在这方面为师生营造了一个他们共同需要的氛围，使之成为学生探究数学真理、合作交流的工具。[3]
2、TI现代数学教育实验室
“TI现代数学教育实验室”是由TI图形计算器、TI图形计算器显示屏、TI视频转换器、投影仪（光学/实物/电子）、台式计算机、校园网等组成的一个有机的网络化教学环境，使各种教学信息和数据在他们之间自由传输，帮助教师和学生解决教与学中的问题。为学生搜集、处理数据提供有力的技术支持，增强学生动手操作、实践的能力。使学生通过“做数学”的过程，理解数学概念和数学原理的内涵，发现数学规律；使学生通过数学探究的过程，感受到数学与实际生活及其他学科之间联系的紧密性，从而把更多的时间花在数学活动的创新探索中，进一步提高数学教学的质量和效果。它具有以下特色：
1、流动性
一方面表现在它可在固定的实验室内，更可以在任何一个普通的教室利用普通的投影仪进行操作、演示教学，并还可以利用实物投影仪、电视、计算机等多种设备辅助教学；另一方面表现在师生方便的携带，老师随时随地备课，学生在教室、家庭、野外、运动场等各种场合进行数学实验，通过探索科学，进行数学分析，发现和掌握规律。
2、专业性
主要体现在作为“TI现代数学教育实验室”主体的TI图形计算器是源于为数学教学服务，后来又发展成为数理综合性的应用。
3、可扩展性
TI图形计算器的显著特点还体现在它不仅仅在数学课堂教学中得到广泛应用，还可以通过CBL和CBR，以及各种理化探头，方便的进行多种物理、化学、生物等学科实验，甚至可进行传统的理化实验尚不能完成的实验。由于数学软件的使用，还可以将实验结果用适合的函数拟合，并用数学的方法分析，这样数、理、化、生等课程成为一个综合理科的实验、教学与学生创新实践的过程。
4、网络化
TI图形计算器不仅仅相互之间可以方便的传输数据和程序，更可以和相关的计算机数学软件进行通信，建立备份，综合使用。同时，如今的TI图形计算器已经可以连接互连网，从网络上下载应用程序，更新操作系统，订做用户界面，甚至完成数学作业等。
“TI现代数学教育实验室”拓扑图如下：
校园网                TI-Presenter和电视机





计算机         教师计算器      显示屏和投影仪
                
                
                
学生计算器
        
                （CBR和CBL2为扩展成数理实验室时选用）
图1:“TI现代数学教育实验室”拓扑图
3、《高中数学探究》校本课程专题学习网站




























图2：“《高中数学探究》专题学习网站”的结构设计流程图
六、创建基于信息技术的高中数学探究教学模式体系
1、高中数学虚拟实验探究教学模式
现代数学虚拟实验是指教师根据数学思想发展脉络，以数学软件的应用为平台，充分运用信息技术，模拟实验环境，创设数学教学情境，设计系列问题增加辅助环节，引导学生通过操作、实践、试验，探索数学定理的证明、数学问题的解决，让学生亲自体验数学建构过程。基于网络的高中数学虚拟实验式教学模式概括为六个环节：创设情境、确定主题、虚拟实验、提出猜想、验证猜想、成果交流。[4]

图3  高中数学虚拟实验探究式教学模式流程图
2、高中数学TI实验探究教学模式
我们构建了基于TI手持技术的实验探究教学模式：“创设情境——自主探究——猜想假设——推理论证——分析评价”。它主要适用于数学概念、公式、定理、法则、例题等知识形成过程的教学，能充分体现学生主动参与数学真理的发现历程，注重对学生发现知识策略和方法的培养。它应当成为培养学生创新精神和创新能力的主要教学模式。我们在高中数学教改实验中，指导学生运用TI-92或TI—92PLUS图形计算器对高中数学课程中的“函数”（特别是二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、无理函数、三角函数等）、“直线”、“圆锥曲线”、“立体几何”等内容进行探究性学习。[5]
3、高中数学冒险活动方式
“数学冒险活动”即“选择你自己的数学冒险活动”，最早是由美国夏威夷大学与当地的中学合作开发的项目，在该项目中学生自己决定要解决的数学问题，设计并论证解决的策略，最终真正理解问题中的数学概念或思想。学生在这个主动学习的过程中，推理活动必须使分析、创造和实践三方面的思维都得到充分的发挥。我们在此基础之上构建了基于网络的的高中数学冒险活动方式,其流程图如下：


图4 “基于推理能力培养的数学冒险活动方式”流程图
七、采取多种形式对高中数学探究性学习进行评价
数学探究的结果以课题报告或课题论文的方式完成。课题报告包括课题名称、问题背景、对事实的观察分析、对结果的猜测、对结果的论证、合作情形、对探究结果的体会或评论、引证的文献资料等方面。
可以通过小组报告、班级报告、答辩会等方式交流探究成果，通过师生之间和学生之间的讨论来评价探究学习的成绩，评价主要是正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足。
数学探究报告及评语可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。对于学生中优秀的报告或论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。
八、基于信息技术的高中数学探究教学典型案例
                          ——多媒体欧拉公式的发现
我们以人教社全日制普通高级中学教科书（试验修订本•必修）《数学》第二册（下）第九章“直线、平面、简单几何体” 第九节“研究性课题：多面体欧拉公式的发现”的教学为例，介绍这种“数学冒险活动”方式的操作特征。
教师首先通过多媒体电脑展示平台，演示立方体、三棱柱、五棱柱、四棱锥、三棱锥、五棱锥、八面体、“塔顶”体（指正六面体上面是四棱锥的底）、截角立方体（截去立方体的一个角）等九个多面体。然后告诉同学们：“一个结构复杂的多面体有许多面、顶点、棱”。这种含糊的叙述几乎任何人在立体几何中都有接触。然而多数人不是决心认真努力去深挖这句话的意义，并在此基础上去探求一些更精确的知识。正确的做法应该是很清楚的识别其中包含的量，并提出一些明确的问题。
1、拟定冒险方案：写出数学冒险的建议，与教师一起修改
每个学生都能与老师或同学讨论问题的选择，并给出相应的建议，从而学生有机会清楚表白自己的想法，从事自己选择的问题。通过师生之间的讨论，一方面可以促进学生对自己所选任务的理解，另一方面根据他人的建议，适当修正选择的问题。如经过统计，我们发现学生提出的问题主要有四个：
    问题1：顶点数目V是否都随同面的数目F的增大而增大？
问题2：顶点数目V是否都随同棱的数目E的增大而增大？
问题3：面的数目F是否都随同棱的数目E的增大而增大？
问题4：面的数目F、顶点数目V、棱的数目E三者之间有何联系？
学生在教师指导下初步拟定自己的数学冒险方案。
2、实施冒险活动：开始冒险活动，探索并记录计算方法，如果遇到难题与同伴或教师讨论
当学生开始进行问题解决时，教师鼓励他们使用任何他们能够想到的方法，使用任何辅助工具，如计算器（机），或用纸与笔运算，或利用数学模型，或与同学、家长、教师、专家，或通过电子邮件与有关大学、研究院的数学家联系。在这一阶段，学生必须记录他们的真实想法，以及发现问题和解决问题的过程，从而帮助他们明确自己的问题解决的中间过程。教师帮助学生会建立他们自己的学习档案袋，及时对学生会的记录手册进行评论，同时引进数学语言，以帮助学生更清楚地认识自己的思想过程。
例如，学生甲选择问题1，他研究了三棱锥、四棱锥、立方体、“塔顶”体多面体的面、顶点、棱的数目，用表2列出：
表2 学生甲研究过程表      表3 学生乙研究过程表
序号 多面体 面F 顶点V 棱E
1 三棱锥 4 4 6
2 四棱锥 5 5 8
3 立方体 6 8 12
4 塔顶体 9 9 16
序号 多面体 面F 顶点V 棱E
1 三棱锥 4 4 6
2 三棱柱 5 6 9
3 四棱锥 5 5 8
4 立方体 6 8 12
5 五棱锥 6 6 10
6 五棱柱 7 10 15
7 截角立方体 7 10 15
8 八面体 8 6 12
9 塔顶体 9 9 16





于是，他认为自己已解决了问题1，他很高兴的告诉老师，他成功地得到进一步的结论：“顶点数目V与棱的数目E都随同面的数目F的增大而增大！”
学生乙也选择问题1，他起初研究了老师展示的全部九个多面体的面、顶点、棱的数目，用表3列出，于是，他认为自己已解决了问题1得到进一步的结论：“顶点数目V与棱的数目E都不是一致地随同面的数目F的增大而增大！”。接着他将表3按E的增大的次序重新编排并进行观察，又发现：“顶点数目V与面数目F都不是一致地随同棱的数目E的增大而增大！” 多面体的面、顶点、棱的数目之间究竟有何联系？他一时间陷入困境之中。
3、设计解决方案：写出解决方案，与教师讨论，然后再修正
一旦某个学生认为他解决了问题，就与教师进行一次简短的交流。其目的是保证学生进行一次清晰的表达，其中包括合理使用必要的表格、图例、说明等。通过交流，并不是检验学生是否获得满意的答案，针对这个问题留给其他同学去评价。完成问题，并不一定意味着学生得到最终结果。一些冒险活动可能需要很长时间，学生有时不能在规定时间内全部完成，他们只进行一些必要的算法和步骤。如，学生甲只研究了四个多面体，得出他认为正确的结论。学生乙感觉到选择的问题太难而无法解决，只能冒险到半路。一旦教师和学生都认为他们尽力而为了，教师应该允许学生详细描绘自己的思路，肯定其中的可取之处，此时要特别强调的是应把数学作为一个过程，一个思考解决问题的途经，一种培养学生论证推理（即演绎推理）与合情推理的手段，而不必是正确的答案。
例如，教师与学生乙交谈，首先肯定他的成绩，然后引导他修改原定的冒险方案。学生乙重新观察自己统计的数据，发现：虽然顶点数目V与面数目F都不是始终如一地随同棱的数目E的增大而增大，但“总的趋势”似乎是增大的。于是他将表格2中的对应的F和V相加并作为一项，与棱的数目E相比较，发现一个更准确的规律：表格中的九种多面体的面、顶点、棱的数目全部满足关系式：F+V=E+2 .
他感觉到这种规律似乎不太可能是偶然出现的。于是他提出一个猜想：对于任何多面体来说，面数加顶点数等于棱数加二。
这猜想一定正确吗？他心理没有底。于是，他分别用正二十面体与正十二面体实物模型检验猜想，发现这两种情形都能证实猜想。这个猜想显得更加合理，但并未被证明，他需要作更进一步的实验、更严格的检验。他在教师的指导下重新设计了解决方案：
⑴n棱锥在它n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？
⑵这个猜想是否对于任何多面体都成立吗？如果成立，能证明吗？如果不成立，能举出反例或对多面体加一定的限制性的条件使之成立吗？
4、展示讨论答辩：从数学家角度展示问题解决成果，适时举行论文答辩，进一步讨论并修正
扮演数学家讨论问题，是班级活动中最活跃、最有动力、最激动人心的时刻，是数学冒险活动的高潮阶段。学生听众终于有机会了解班级同学近一段时间以来的研究工作，当学生希望听到他的同学进行的有趣的问题解决时，有一种激动的感觉，学生数学家在不受干扰的情况下陈述自己的工作。每个展示结束有15—30分钟的讨论，这些讨论给师生机会就数学进行有意义的对话。在报告中，学生经常认识到自己或他人作业中的错误，一旦出现这种情况，让报告人完成介绍，并让听众明白某一步是错误的或结论是错误的，需要加以修正。通过论文答辩、讨论等形式的师生的交流，学生报告人进一步修改自己的论文，就自己的数学冒险问题的解决作第二次甚至第三次报告，让学生体验到数学的成功。
例如，学生乙自己发现了欧拉公式：任何一个简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足以下特有的规律：V+F-E=2 .并了解到：欧拉研究多面体用了一种特别方法，即假定多面体的表面是用橡皮薄膜制作的，如果给它充气，那么它就会连续（不破裂、不粘连）变形，把平面变成了曲面。欧拉公式的发现与证明得益于两大创新，即“把多面体的表面看作用橡皮薄膜制作的”（观念的创新）与“向它们内部充气；将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”（方法的创新）；他作了题为“试论欧拉的两大创新”的学术报告，介绍自己发现并证明欧拉公式的曲折思维过程、收获、成果与体验，受到师生的好评。
5、拓展交流评价：拓展研究成果，制作挂图或网页，成果交流与评价
当学生完成数学冒险活动，整个冒险过程要求用挂图或网页形式展示出来。这一阶段，学生必需自己思考如何展示他的思想以及成果。通过网络他们可以与他人（父母、兄弟姐妹、学校的其他师生、网页游览者等）一起讨论熟悉项目，这样一来讨论就延伸到校外，他的研究成果将更加完善。最后由教师与学生代表组成的“专家评议组”进行评比，分为一等奖、二等奖、三等奖、成功参与奖等四个层次对学生参与的数学冒险活动及其成果进行评价与奖励。我们特别注重学生创新能力的培养与实践活动的参与，让每个学生获得亲自参与研究探索的积极体验，让每个学生体验科研成功的喜悦，发展对社会的责任心与使命感；培养科学态度与科学道德等。
九、结论
《高中数学探究》网络校本课程的设计与开发，《高中数学探究》专题学习网站的建立与运行，有助于高中数学教师与教研人员全方位认识国家高中数学课程标准中有关“探究性课题学习”的要求与特征；有助于高中数学教师在课堂教学中，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题；组织和鼓励学生组成课题组合作地解决问题；指导和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯。
并初步构建基于现代信息技术的高中数学“探究性课题”的学习策略体系。在实践上能为高中数学教学第一线教师和教研人员提供基于现代信息技术的高中数学“探究性课题学习”内容设计的理念与基本原则、内容体系、操作方法、课程体系以及可供他们借鉴的典型案例，并提供交流、学习的平台即专题学习网站，从而丰富和创新现代数学教育科学的基础理论。
十、参考文献
[1]顾泠沅、易凌峰、聂必凯，《寻找中间地带——国际数学教育改革大趋势》，上海教育出版社，第1版,(2003);
[2]《国家高中数学课程标准》制订组，《“高中数学课程标准”的框架设想》，《数学教学》，第2期, 2-6页(2002);
[3]骆魁敏，《构筑课程整合平台系统  创设高中数学教学情境》，《信息技术教育》，12月号, 52-54页(2002)；
[4]骆魁敏，《高中数学虚拟实验探究式教学模式》，《现代教育技术》,第3期,55-57页(2003);
[5]骆魁敏，《在TI上搭建数学：基于TI的数学教学模式探索》，《信息技术教育》，第2期，54-56页（2003）。

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