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推导圆面积计算公式的三种教法评介

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    教学圆面积公式的推导,我曾听过三种不同的教法,现分别简介过程及稍作评点。
    〔第一种教法〕
    (1)复习长方形面积计算公式。
    (2)让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。
    (3)教师边用教具演示,边要求学生回答:
    ①拼成的图形近似于什么图形?想一想,如果等分的份数越多,拼成的图形会怎么样?
    ②拼成的图形与原来圆的面积相等吗?
    ③这个近似长方形的长相当于圆的什么?它的宽相当于圆的什么?
    (4)教师要求学生说出由长方形面积计算公式,推导出圆面积计算公式的方法(可按课本说)。
    (5)揭示圆的面积公式。
    〔评:这种教法,看起来是引导学生自学,并结合演示让学生回答问题,似乎学生学得较主动,实际上学 生未有实践、思考的过程,只是“依样画葫芦”,对其中的道理不能弄懂、弄通,这属于机械的学习。〕
    〔第二种教法〕
    1、导入新课。
    教师让学生回忆一下,以前学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算时,是用什么方法推导它们的计算 公式的。(用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算,教师出示割、拼教具分别作简单的演示。)接着, 出示一张圆形硬纸片,问:“怎样计算它的面积呢?”(揭示课题)教师指出:我们仍可用以前学过的割、拼 法,把圆转化为已学过的图形,运用此图形的面积计算方法,推导出圆面积的计算方法。
    2、实际操作。
    要求学生拿出圆面积的割拼图形学具,在教师的指导下,边操作,边回答以下问题:
    ①把一个圆平分成两半,每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的1/2?再把每一个半圆形平均分 成8等份(如课本的切割图),那么哪一段的长度相当于圆的半径?
    ②想一想:能不能把这些等分出的图形,拼成近似于我们以前学过的图形?怎样拼?(要求学生动手实践 ,并指名演示拼出的几种不同的图形。如:长方形、平行四边形、梯形等。)
    ③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗?
    3.推导公式。
    先以拼出的近似长方形的图形为例,教师引导学生弄清,若平分的份数越多,拼成的图形越接近长方形。 进而,教师要求学生据图回答:割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分的长度?宽相当于圆的哪一部分的长 度?从而
    由 长方形的面积=长×宽
    ↓ ↓
    得 圆的面积 =πr×r=πr[2]。
    然后,出示拼出的近似的平行四边形或梯形,再次推导看能否得出上面的圆面积公式(略)。这样就得到 了证实,使学生确信无疑。
    〔评:这种教法比第一种教法有很大的改进,教师首先通过复习旧知,提出解决问题的办法,把新旧知识 有机结合起来,明确了本课中心内容,然后让学生亲手操作割拼成几种已学过的图形,引导学生观察、思考、 比较、推导,其间不囿于课本中的推导方法,让学生思维得以发散,从而强化了转化思想,多渠道地推得圆面 积计算公式。学生在学习过程中,始终处于积极主动的状态,这种学习是有意义的学习,不仅使他们“学会” ,而且使他们“会学”,且有助于发展学生的智能。〕
    〔第三种教法〕
    1、引入新课。
    教师开导:圆在日常生活、生产实践及科学实验中,有着广泛的应用。上节课我们学习了圆的周长计算, 但仍不够,还要学会计算圆的面积。如计算一个雷达圆形屏幕的面积,一个圆形花圃的面积等。怎样才能算出 它的面积呢?(揭示、板书课题)。
    2、创设情境。
    教师用几张相等的圆纸片,运用折纸、剪纸的方法,分别折剪成正四边形、正八边形、正十六边形,然后 再分别与原来的图纸片叠在一起,见下图:
    (附图 {图})
    折四等份剪成 折八等份剪成 折十六等份剪成
    正四边形 正八边形 正十六边形
    引导学生观察、对比三个内接正多边形与圆的面积差(阴影部分)谁大谁小,并启发学生归结出:折成的 等份数越多,剪成的正多边形边数越多,它就越接近圆。其中正多边形的每等份(三角形)就越接近圆的每等 份。
    3、推导公式。
    师:同学们现在要计算圆的面积,选用哪种正多边形为好?为什么?
    生[,1]:选正十六边形为好,因为它较接近圆。
    生[,2]:选边数越多的正多边形更好,因为它更接近圆。
    师:回答得很好,根据现有的右图,怎样计算圆的面积呢?请大家思考以下问题:
    (1)圆的面积相当于多少个三角形面积之和?
    (2)这些三角形的底边之和相当于圆的什么?
    (3)每个三角形的高相当于圆的什么?
    学生边回答,教师边板书:
    正十六边形的面积=S[,三角形]×16
    ↓
    =底边×高÷2×16
    =底边×16×高÷2
    ↓ ↓
    圆的面积=2πr× r÷2
    =πr[2]
    最后让学生自学课本中的推导方法,质疑解难。进而教师小结:推导圆的面积公式与以前推导有关图形面 积公式一样,把圆转化为已学过的图形进行计算,同学们课后如有兴趣,还可将圆割拼为平行四边形、梯形, 看是否仍能推出S[,圆]=πr[2]。
    〔评:这种教法具有以下几个特点:
    1、导入新课开门见山,使学生感到学习圆的面积是实际中的需要,从而激发了学生的求知欲望。
    2、在推导圆面积公式前,教师创设情境,让学生领悟隐含于直观演示中的初步“极限”思想,有助于发 展学生空间想象力和空间观念,从而为推导公式作好铺垫。这是前两种教法所不及的。
    3、运用“整体-部分-整体”,分割求和的方法推导圆面积公式,新颖独特,学生易于接受,又以课本 中的方法及其他方法作验证,使学生加深理解,记忆牢

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