在小学数学教学中全面培养和发展学生思维能力
要提高学生的数学能力和水平，必须全面培养和发展学生的思维能力。实践表明：在数学教学活动中，重 视和加强多样化问题方式的设计与训练，重视和加强学生的语言训练和操作活动，就能把学生的单向思维活动 转变为全方位的思维活动，并与学生的口的活动、手的活动有机地结合起来，形成一种综合的、立体的、整体 活动，充分地挖掘学生的思维潜力，促进学生思维能力的全面发展，达到提高学生数学能力和水平的目的。一、多样化问题方式的设计与训练
提高学生的数学能力和水平，必须立足于全面发展学生的思维能力，发挥全脑的功能。而加强多样化的问 题方式的设计与训练，有利于把学生的单向思维活动转变为全方位的立体思维活动并促进其全面发展。
1.设计发散式问题与训练，培养和发展学生的灵活思维能力。学生的数学思维能力灵活与否与发散思维的 水平有十分密切的关系。因此，合理地设计散式问题，引导学生多角度、多层次地进行思考，就可以培养和发 展学生的灵活思维能力。如教：“女生相当于男生的7／8”这种具有发散性的应用题时，教师就要有目的地引 导学生多角度、多层次地进行思考：①男生人数是女生的8／7；②男生人数比女生人数多1／7；③女生人数比 男生人数少1／8；④男生人数是男女生总数的8／15； ⑤女生人数是男女生总人数的3／15； ⑥男生人数比女 生人数多总人数的1／15……等等。在小学数学教材中， 这类具有发散性思维的内容很多。只要我们认真研究 和分析，就能设计出许多发散式的问题，借以培养和发展学生的灵活思维能力。
2.设计陷井式问题与训练，培养和发展学生的批判思维能力。学生的创造能力与批判思维能力密切相关， 教师要十分注重学生的批判思维能力的培养与提高。比如在讲三角形的内角和是180度以后， 教师可以设计这 样的问题：“因为一个三角形的内角和是180°，那么， 把这个三角分成两个小三角形，那么，每个小三角形 的内角和就是180°÷2＝90°，正确吗？”有的学生就可能回答：是正确的，而忘记了三角形的内角和与三角 形的大小无关这一道理。教师组织学生对这些错例进行分析就可以加深他们对三角形内角和及其面积公式的正 确理解，从而培养和提高了学生的批判思维能力。
3.设计互逆式问题与训练，培养和发展学生的反向思维能力。学生思维能力的灵活性，与学生的反向思维 能力相关联。为了培养和提高学生的反向思维能力，教师在教“小数点位置移动引起小数大小的变化”这个问 题时，可以引导学生对小数点位置移动引起小数大小的变化进行观察、比较，得出结论：“小数点向右移动一 位、两位、三位……原来的数就会扩大10倍、100倍、1000倍……”，那么， 反过来又会怎样呢？学生会很快 地回答：“小数点向左移动一位、两位、三位……原来的数就会缩小10倍、100倍、1000倍……。”在类此的思 维训练中， 学生的思维活动始终处在顺向和反向的积极调度的过程之中，得到良好的逆向思维的训练。
4.设计变式问题与训练，培养和发展学生的概括抽象思维能力。变式问题，指的是同一个道理，可以从不 同的角度去提问题。如引导学生分析如下三个方面的问题，以及它们之间的关系：①完成一件工作，甲要1／2 小时，乙要1／3小时，如果甲乙两人合作，需要多少小时完成；②一列快车从甲地到乙地要6小时，一列慢车从 乙地到甲地要8小时，现在两车分别从甲乙两地同时相向而行，几小时可以相遇？③学校用笔经费添置课桌椅， 可购40张单人课桌或60把课椅，现在要课桌椅配套添置，这笔钱可购置多少套？这几道题从表面上看，它们分 别是工程问题、行程问题和单价、总价、数量问题，学生在对它们进行仔细地分析和比较后，就可以概括抽象 出它们之间的共同道理及其相互关系，并能以此解答和推及其它与之相关的其它数学问题。
5.设计导向式问题与训练、培养和发展学生的敏捷思维能力。学生思维的敏捷性的发展，与教师设计的导 向式问题是否恰当有十分密切的关系。例如，教师在复习除数是整数除法和商不变性质以后转入新课，在讲授 新课：“小数点的除法”时，就可以设计出导向式的问题：“除数0.14是小数，能不能把它变成整数，而其商 的大小不变呢？这一导向式问题的提出，学生完全可以根据商不变的性质把除数0.14和被除数3.22同时扩大10 0倍， 迅速地将除数是小数的除法是整数的除法来进行计算。
6.设计相近式问题与训练，培养和发展学生的类比思维能力。要使学生的新知识与原有知识结构得到发展 与提高，还必须加强学生的类比思维能力的培养与提高。如讲授“异分母分数加减法”之前，必须复习一下整 数加减法、小数加减和同分母分数加减法的内容，并把它们归属到一个知识整体中去。然后引导他们概括出加 减式题都必须计数单位（或分数单位）相同才能直接相加减的道理。在讲新课时，可以设计出相近式问题：① 异分母分数加减法能直接相加减吗？为什么？②异分母分数加减法首先要怎样？③怎样把异分母分数化成同分 母分数？通过这种相近式的问题地逐一思考，学生就会很自然地进行类比思维：异分母分数相加减→分数单位 不同不能直接加减→化成同分母分数→通分→相加减。
7.设计探究式问题，培养和发展学生的创造思维能力。创造性思维能力是指学生重新组织已有知识、经验 ，提出新的解题方案或程序，并创造新的思维成果。如独特的见解、新颖的解法等等，都是创造性思维的突出 标志。而这些创造性思维的产生都不同程度地来源于教师设计的探究式问题的启示与导引。如教师可让学生去 思考：“有两根同样长的钢材，第一根用去它的2／5，第二根用2／5米，剩下的那一段长？为什么？”这道题 按“常规”解，要求剩下的钢材哪一段长，必须先知道两根钢材原来有多长与分别用去多少米。但钢材原长不 知道，这题似乎不能解了。这时教师就应设计探究式问题来启发学生，在怎样的条件下，用去钢材会一样长？ 又在怎样的条件下，用去的钢材不一样长？这种探究式问题的提出，就能充分地调动学生探索问题的积极性， 促使学生去积极思考和探索，最后找到了解答此问题的新颖方案。
二、加强学生的语言训练
思维是语言的内容，而语言是思维的外在表现形式。加强学生语言训练，不仅能提高学生的口头表达能力 ，而且有利于促进学生的思维能力的发展。
1.加强学生对自己解题步骤和思路的解说训练。如教师在引导学生做一般应用题时，可先让学生审理，指 出它的已知条件和所求，并分析题中的数量关系，有理有据地确定解题思路，然后要求学生用清楚、准确和有 条理的语言把它表达出来。如在引导学生做“美霞服装加工厂计划做670套衣服，已经做了4.5天，平均每天做 82套，剩下的要在3.5 天里做完，平均每天做多少套？”这道应用题时，可以先让学生审题，指出已知条件和 所求。学生经过分析后指出：“670套”是总的工作量，“4.5天”是已经完成的工作时间，“82 套”是开始工 作时的工作效率。“3.5天”是剩下的工作量时间，这些都是本题的已知条件。 而本题所求，即是剩下的工作 所使用的工作效率。接着要求学生分析题中的数量关系，确定解题思路，即第一步，求已经完成的工作量，根 据工作总量等于工作效率乘以工作时间，所以列式是82×4.5＝369（套）；第二步，是求剩下的工作量， 用总 的工作量减去已完成的工作量， 列式是670减去已经完成的工作量，求出的剩余的工作量； 第三步是求平均每 天做多少套，即剩余的工作量所用的工作效率，列式是：剩下的工作总量除以3.5天，求出的结果就是剩下的平 均每天做多少套。 最后要求学生把解这道应用题的整个步骤和思路用清楚、准确的语言有条有理地口述出来。 这就可以把语言的训练与促进学生的思维能力的发展巧妙地结合起来。
2.加强学生解说他人解题思路的训练。教师在引导学生做应用题时，还要进一步引导学生分析和解说他人 解答应用题的思路，才能拓宽学生的视野，培养和发展学生思维的广阔性。例如，“一个班有45个学生，有一 天带圆珠笔的10人，带钢笔的42人，两种笔都没带的有1人， 问两种笔都带的有多少人？”这道应用题，他人 有三种列式：
①10＋42－（45－1）＝8（人）
②10－〔（45－1）－42〕＝8（人）
③42－〔（45－1）－10〕＝8（人）
在要求学生根据上述各算式分析和解说他人解题思路的时候，一定要根据自己对题目的理解，根据题中的 已知条件和所求的问题，结合算式正确解说每一种解题思路，即做题的人是怎样想的？在进行这种训练时，有 一定的难度，但我们可以把一个班划分为若干小组，进行讨论式的解说。即在共同讨论的基础上，以个人解说 为主，他人给以纠正和补充，直到解说清楚、明白、准确为止。这种集体和个人相结合的解说，不仅克服了多 数学生做题只求一解的惰性，而且有利于激发学生的学习兴趣和求知欲，扩大学生的视野，发展学生思维的广 阔性。
3.学会和加强解说学习方法的训练。重视学习方法的指导和加强解说学习方法的训练，可以把学生思维能 力的发展推向一个更高的境界。比如在上几何平面图的面积公式的推导时，可先进行学习方法的指导，即让学 生先复习已学过的有关知识，再通过直观操作推导出新的公式，最后让学生解说清楚这种推导方法及其道理。 例如，教师在讲授三角形的面积公式的推导时，先引导学生复习平行四边形的面积公式，然后让学生用剪好的 两个同底同高完全相等的三角形进行直观操作拼成一个平行四边形。结果发现：三角形的底和高跟拼成的平行 四边形的底和高完全相等，三角形的面积正好是平行四边形面积的一半。从而推导出三角形的面积等于平行四 边形面积的一半，即平行四边形的底乘以高÷2。最后，再要求学生解说清楚这种解题方法及其为什么要除以2 的道理。这不仅教给了学生以旧识新的十分重要的学习方法，而且还把学生的思维能力的发展推向了一个更高 的层次，“进入自寻信息的境界”。
三、加强学生操作活动训练与指导
古语有云“心灵手巧。”说明了手和脑之间相互制约、相互促进的内在联系。因而加强学生的操作训练和 指导，不但可以发展学生动手操作的能力，而且可以发展学生的思维能力。其具体做法有如下三个方面：
1.引导学生操作，探索新知。教师在教学中要根据教学内容和学生的认知特点，精心设计操作程序和方法 ，展现知识的形成过程，突出重点、突破难关，使学生获得新知，促进思维能力的发展。如在讲授“三角形内 角和”时，可以采用激疑法，让学生分别画一个直角、钝角、锐角三角形，并量出每个三角形三个内角的度数 ，写在相应的角上。然后让学生任意报出三角形中两个内角的度数，教师便很快说出第三个角的度数，这将激 使学生对探索新知识产生强烈的欲望。在此基础上，再通过学生算一算（把三个内角度数相加）、拼一拼（把 三个内角撕下来拼在一起）、折一折（把三个内角折成一个半角）等等的操作过程，就能使学生发现和认识到 三角形的内角和是180度。 为了进一步加深学生对新知识的理解，还可以让学生动手把一个大三角形剪成两个 小三角形，让学生回答这两个小三角的内角和分别是多少度？使深刻认识三角形的内角和与三角形的大小无关 的道理。这个过程，实质是引导学生把动手操作的过程内化为思维活动的过程，从而实现该过程的质的飞跃， 促进学生思维能力的发展。
2.指导学生操作，化新为旧。在数学中，教师要善于抓住知识的生长点、连接点，指导学生从已知出发， 通过操作寻找出解决新问题的途径。例如在讲授“梯形面积”时，可要求每一个学生准备两个大小相同的梯形 ，并引导和启发学生利用自己掌握的平面图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形）的面积公式，通过直 观操作推导出梯形的面积公式。这种直观操作的推导分为三步：第一步，启发学生把梯形拼成或剪成已学过的 平面图（拼成平行四边形或剪成一个平行四边形和一个三角形）；第二步再引导学生观察、分析、比较原梯形 的各元素与拼剪后得到的平面图形各元素之间的关系，以及它们与面积之间的关系；第三步再启发和引导学生 利用已学过的平面图形的面积公式，通过直观操作，推导出梯形的面积公式。通过以上这种有序的操作，学生 手脑并用，不仅可以推导出梯形的面积公式，而且可以促使学生推理能力的提高。
3.借助操作活动，揭示规律。在教学中教师还可以通过指导学生操作来揭示知识的规律。例如在讲授分数 的基本性质时，可以要求每个学生用六张大小相同的长方形纸条，分别用阴影表示它的3／4、6／8、 9／12， 然后剪下来，重叠在一起，学生就可以发现：虽然三张长方形纸条平均分的份数和所取的份数各不相同，但剪 下的部分是相等的。接着还可以让学生用剪好的三个等圆分别取各图的1／2、4／8、6／12， 再将所取得的部 分涂上颜色，学生又会发现与上相同的情况。接着，教师出示如下几组算式让学生填空：
3 3×（ ） 6 3 3×（ ） 9
①──＝─────＝── ──＝─────＝──
4 4×（ ） 8 4 4×（ ） 12
6 6÷（ ） 3 9 9÷（ ） 3
②──＝─────＝── ──＝─────＝──
8 8÷（ ） 4 12 4÷（ ） 4
1 1×（ ） 4 1 1×（ ） 6
③──＝─────＝── ──＝─────＝──
2 2×（ ） 8 2 2×（ ） 12
4 4÷（ ） 1 6 6 ÷（ ） 1
④──＝─────＝── ──＝─────＝──
8 8÷（ ） 2 12 12÷（ ） 2
由此，教师启发引导学生对上述几组算式进行观察、比较、分析，就会比较顺利地概括出分数的基本性质 的结论。通过操作揭示知识的规律性，不但有助于学生对知识的理解和巩固，还为学生思维的准确性、灵活性的训练提供了良好的机会。
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