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求和问题的解决

时间:2007-3-29栏目:数学论文

(配合义务教材第七册使用)
[问题情景]
学校组织看电影了。数学老师让同学们留心观察影剧院的座位排数和每排座位数,并要求算出影剧院共有多少个座位。第二天,同学们先把观察到的情况向老师汇报如下:这个影剧院第一排有22个座位,每排的后一排都比前一排多2个座位,最后一排有68个座位,共24排。老师听后,问:你们算出了这个影剧院共有多少个座位吗?同学们讲出了各自的解答。但,老师对同学们的解答并不满意,因为他们的解答几乎相同———都较繁锁。

[问题诠释]
要计算共有多少个座位,也就是求这样一列数“22,24,26,28……64,66,68”之和。若从22开始一个接一个相加求和,就显得繁锁,但仔细分析这列数,它有一个明显的特点:从第二个数起,后一个数减去前一个数的差都是2,根据这列数的排列特点,在求它们的和时,应用加法交换律和结合律,容易发现:22+68=24+66=26+64=28+62=……=90,即第一个数加最后一个数,第二个数加倒数第二个数,第三个数加倒数第三个数,……,和都等于90。这24个数相加,有多少个90呢?很显然有12个。所以22+24+26+……+64+66+68=90×12=1080就是说,利用这种方法计算,很快就能知道这个影剧院共有1080个座位。

[建立模式]
上述一列数中,第一个数称为首项,第二个数称为第二项,依此类推,最后一个数称为末项,这列数一共有24项。如果一列数,从第二项起,每一项减去它前面一项的差都等于同一个定数(这一个定数叫做公差),那么,这样一列数的和,可以用“(首项+末项)×项数÷公差”来求出,且计算简洁准确。

[问题解决]
1.小明为测量一座高楼的高度,他站在高楼的顶上,让一物体从他的脚边自由掉下,后测得物体第一秒钟落下4.9米,以后每秒多落下9.8米,经过10秒钟到达地面。这座高楼共有多高?分析:根据题意,可知

第一秒落下:4.9=4.9+9.8×(1-1)

第二秒落下:4.9+9.8=4.9+9.8×(2-1)

第三秒落下:4.9+9.8+9.8=4.9+9.8×(3-1)

……

第10秒落下:4.9+9.8×(10-1)=93.1

所以,这座楼的高为(4.9+93.1)×10÷2=490(米)

2.某体育馆的一个侧看台,第一排有32个座位,后面的每一排都比前一排多2个座位,最后一排是88个座位,正常情况下,这侧看台可容纳多少人观看节目?

简析:根据“项数=(末项-首项)÷公差+1”,可求出座位排数为(88-32)÷2+1=29(排),这侧看台的座位数为(32+88)×29÷2=1740(个),因此,正常情况,这侧看台可容纳1740人观看节目。

3.小张来到招聘信息中心,想找一个能展示自己特长的理想工作,只见招聘广告琳琅满目,最后他认为这样两家公司能充分发挥自己的才能,这两家公司的招聘广告如下:

甲公司凡前来应聘者,一旦应聘,均签订一年的工作合同,在这一年中,月固定工资为750元……

乙公司凡前来应聘者,一旦应聘,均签订一年的工作合同。在这一年中,第一个月工资为400元,若工作表现好,从第二个月起,每月工资都在前一个月的基础上,上浮50元……

小张想,两家公司均为一年合同,在这一年中,究竟到哪家公司工作的总收入高呢?

分析(略),答案:到甲公司的总收入高。

[问题情景]
今年,张大伯家的早稻又丰收了。这不,今天他又晒了12袋稻谷,准备去交公粮。这12袋的重量分别是(单位:千克):45,48.5,45,43.5,47,44.5,50,42,47.5,49.5,48,43。你能否很快算出这些稻谷的总重量吗?

[问题诠释]
求12袋稻谷的总重量,当然可以将每袋的重量逐个相加起来。但是,有没有简便的算法呢?仔细观察这12袋的重量数,最轻的为42千克,最重的为50千克,而且都在46千克上下波动。重于46千克的有6袋,轻于46千克的也有6袋。所以,可选取46千克为基准数,重于46千克的6袋,每袋超过的千克数之和是2.5+1+4+1.5+3.5+2=14.5(千克);轻于46千克的6袋,每袋不足的千克数之和是1+1+2.5+1.5+4+3=13(千克)。因此,12袋的总重量为:46×12+14.5-13=552+1.5=553.5(千克)

[建立模式]
求一组彼此比较接近的数的和时,可选取其中一个数为基准数。如果大于基准数的那些数,每个数减去基准数,所得差相加的结果用S超表示;小于基准数的那些数,用基准数分别去减这每一个数,所得差相加的结果用S不足表示,那么这组数的总和=基准数×加数的个数+S超-S不足

[问题解决]
1.学校六一文艺汇演,由10位评委给每个节目打分,并规定:去掉其中的一个最高分和一个最低分,将其余分数作为该节目的得分。四(1)班表演了一个小品节目,10位评委分别给这个节目的打分是9.5,9.6,9.3,9.7,9.4,9.1,9.7,9.5,9.2,9.6,这个节目的总得分是多少?

分析:去掉一个最高分9.7分和一个最低分9.1分后,该节目的总得分是(以9分为基准数:9×8+(0.5+0.6+0.3+0.4+0.7+0.5+0.2+0.6)=72+3.8=75.8(分)

2.水果店运进8筐苹果,每筐苹果的重量如下(单位:千克):52,50.5,50,48,51.5,49.5,48,52.5。(1)当你看完每筐苹果的重量后,能立刻估算出8筐苹果的总重量吗?(2)平均每筐的重量是多少?

分析:(1)观察这些数据,都在50上下,据此可估算出8筐苹果的总重量约为:50×8=400(千克)。

以50千克为基准数,平均每筐的重量为:50+〔(2+0.5+0+1.5+2.5)-(2+0.5+2)〕÷8=50.25(千克)。

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