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由“人离开水”到“水离开人”

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    我们都知道司马光砸缸救人的故事。当时,按照常规救人的方法是“人离开水”,但由于缸高、人矮、力 气小,在场的小朋友没有一个人能使“人离开水”。司马光拿起石头,把缸砸破,水流光了,儿童自然也就得 救了。司马光把救人的一般方法“人离开水”变为“水离开人”,实质上就是逆向思维。
    在小学数学中,许多问题都采用的是正面解题思路,即从条件入手,求得结论。但是有时候从正面解题比 较困难,此时不妨另辟蹊径,展开逆向思维,从结论入手,逐步逆推,往往可以打破僵局,化难为易,起到事 半功倍的效果。
    例1妈妈买来一篮桔子,小明第一天吃了这篮桔子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃 了剩下的一半多1个,第四天小明吃掉了剩下的最后一个桔子。妈妈买来的这篮桔子共有多少个?
    分析 由条件直接解题有困难,现在由最后结果逆推之,问题就可迎刃而解。
    第四天吃过后剩下0个。
    第三天吃过后剩下1个。
    第二天吃过后剩下(1+1)×2=4(个);
    第一天吃过后剩下(4+1)×2=10(个);
    故妈妈共买来桔子
    (10+1)×2=22(个)。
    综合算式为:
    {〔(1+1)×2+1〕×2+1}×2=22(个)
    例2如图,阴影部分的面积是正方形面积的几分之几? (阴影三角形的两顶点分别为正方形边上的中点)
    附图{图}
    分析 显然,只要知道正方形的面积和阴影部分的面积,问题即可解决。但阴影部分的面积不易直接求出 ,而计算空白部分的面积则较容易,只要求出空白部分的面积,就可求出阴影部分的面积。
    1
    设正方形的面积为1,则两个空白大三角形的面积是─, 空白小三
    2
    1 1 1 3
    角形的面积是─,故阴影部分的面积应是(1-─-─)=─, 故
    8 2 8 8
    3
    阴影部分面积应是正方形面积的─。
    8
    1 1 1 1
    例3 计算:───+───+───+…+──────
    1×2 2×3 3×4 1997×1998
    分析 异分母分数相加减的一般思路是先通分后计算,然而本题通分是相当繁琐的。无法通分则可以逆向 思考,把每个分数拆开,拆成两个分数之差,计算起来就十分简单了。
    1 1 1 1 1 1 1
    原式=(1 -─)+(─-─)+(─-─)+…(──-──)
    2 2 3 3 4 1997 1998
    1 1997
    =1-───=───
    1998 1998
    从以上几例可以看出,当利用常规解法遇到困难时,运用逆向思维,往往会“柳暗花明”,迅速找到解决 问题的方法。

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