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概括是数学思维的核心

时间:2007-3-29栏目:数学论文

概括,就是把个别的和特殊的事例总结、推广成普遍的和一般的结论。数学的特点决定了概括在数学思维中的核心地位。培养小学生的概括能力是培养和发展小学生数学思维能力的一个重点。

在教学中培养学生的概括能力,教师首先应提供足够直观的背景材料。“直观”包括学生熟知的知识、经验、手段、工具、策略等,这是材料的“质”;“足够”的材料,是准确而完整地概括所必需的最少例证,这是材料的“量”。

有了背景材料的质、量保证,就为学生科学地概括提供了充分条件。

其次,要恰当变换问题的具体情境。面对一种思维情境,没有显而易见的解决方法,这样的情境就是问题,问题解决就是从已知状态到目标状态的运动过程。

小学生概括的肤浅性,往往表现为从问题次要的、表面的形式上去观察和比较,而对问题主要的、本质的东西视而不见。针对这种现象,教学的,教师应当先显示标准的常式,再出示非标准的变式,即先揭示概念的内涵后揭示概念的外延。

提供的变式材料,一定要注意改变事物的非本质属性和非特定情形,不要改变事物的本质属性,这样能使学生的概括集中指向事物的本质要素,不致于干扰和阻碍概括的过程。

第三,发挥解题模式的诱发功能。目前,小学数学界对题型分类和解题模式一直争论不休。现行统编教材编排更是十分忌讳模式或类型。然而无论怎么改变,模式却是客观存在的。事实上,一个公式、一条定律、一道范例,都自然成了学生思维的模式。就连最简单的20以内的进位加法中的“凑十法”也是地道的模式。

模式就是可供模仿的原型。在思考问题的,任何人总要把新问题归结成记忆力已知的认知图式或解题模式。因此,在解数学问题时,在学生进行数学概括时,教师应适时引导学生联想相关的解题模式及其要素、在模式的指导下进行有的放矢的思维,这样可以缩短概括的过程,提高概括水平。

第四,教会学生概括的主要方法。简单地讲有以下4种:

1.从观察和比较中概括。

要让学生养成耐心、全面地观察,精细、认真地比较的良好习惯,特别是要能从相同中发现不同点,或从相异处找出相同点。让学生经常自问:有哪些相同的地方?不同处在哪里?

2.从类比和归纳中概括。

类比是从特殊到特殊的推理,归纳是从特殊到一般的推理,这两种推理的结论,都必须进行概括。类比实质上是从提供的原型中找到模式,再利用模式获得新的概括,如把比例尺的关系式同百分数应用题的数量关系式类比,可以发现它们的相同点:比例尺相当于百分率,图上距离相当于标准量,实际距离相当于比较量,这样可合二为一获得新的概括--比例尺应用题实质上可归结为百分数应用题的解题思路。并且这样解题更加简捷明快。归纳是建构模式中不可能少的环节,演绎则是对模式的具体应用,由于教材封闭性的特点,大多数内容只能以演绎体系呈现,实质上就减少了概括的过程,通过归纳,不仅可以复原结论的形成过程,而目可以在归纳中学会概括一类事物的本质属性,提高概括能力,扇形面积公式就是通过旧纳而概括成的。

3.从直观和抽象中概括。

直观的板书、演示、操作等,为小学生的概括减少了难度,定律、法则等内容较多的结论,可借助板书帮助概括。在抽象中概括,主要指联合各独立的数学条文,形成包摄程度更高更为一般的概括、如从分数乘以整数、一个数乘以分数以及带分数乘法中概括出分数乘法的统一法则就属这一情形。

4.从小结和评价中概括。

解题后的小结与评价都需用概括化的语言表达;每堂课的小结和评价也同样需用语言加以概括,概括语言的精练、准确,反映着概括水平达到了一定程度。

值得指出的是,概括必须凭借数学语言加以外化,数学语言充当着概括的物质载体,因此,培养学生的概括能力,一定要伴随准确、严密的语言表达,使概括能力和语言表达能力协同发展。

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