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解答数学题不能只凭想象

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    有些貌似简单,似乎不需要通过计算就能得出结论的问题,往往容易使你判断失误,造成错解。我们先看 例1。
    例1 有两块大小一样的正方形钢板,其中一块冲出4块大小一样的圆形钢片(如图1(甲)),另一块冲出 9块大小一样的圆形钢片(如图1(乙))。问哪一块钢板所剩的下脚料多?
    附图{图}
    乍一看,图1(甲)所剩的下脚料多一些,因为图1(甲)中的空隙大,而图1(乙)中,每个圆的面积小, 填补空隙的能力强, 留下的空隙小,似乎很有道理,其实不然。我们先解决一个简单的问题。 如图2,求正方 形内切圆的面积占该正方形面积的百分之几?
    a
    不妨设这个正方形的边长为a,则其内切圆的半径为──,
    2
    a
    3.14×(—)[2]
    2 1
    由────────────=3.14×──=78.5%,得正方形内
    a[2] 4
    切圆的面积占该正方形面积的78.5%。
    附图{图}
    现将图1中的(甲)(乙)两图添作辅助线,如图3所示:
    附图{图}
    令正方形钢板的面积为S,由上例立即得到,图3(甲)中每个圆形
    1 1
    钢片的面积为──S×78.5%,所剩下脚料的面积为S-──S×78.5%
    4 4
    1
    ×4=21.5%S。同理,图3(乙)中每个圆形钢片的面积为──S×78.5
    9
    1
    %, 所剩下脚料的面积为S-──S×78.5%×9=21.5%S。综上所述,
    9两块钢板所剩的下脚料同样多。
    例2 如图4,两只同样大的硬币,其中一只固定,另一只沿其周边滚动(无滑动)。当滚动的一只硬币沿 固定的一只硬币周边滚过一圈回到原来的位置时,滚动的那个硬币转了几周?
    附图{图}
    对这个问题不仔细考虑,动币好像转了一周。但认真加以分析,问题并不那么简单。为了便于说明问题, 在动币圆周上取一点A(如图4),考察A转过的角度,每转过一个360°为一周。现将此运动分解成两种简单运 动。第一种运动,如图5(甲),动币的轴AB 的方向始终指向定币的圆心,B点在定币周边上滑动一周,此时, A转过360°; 第二种运动,如图5(乙),动币沿着与定币周长相等的一条线段滚动,A又转过了360°。这样 ,以上两种运动合起来,动币转了2周。本题,也可以用动币圆心轨迹的长除以动币的周长,求出动币转的周数 。以上结果,可通过动手操作,直接得到验证。
    附图{图}
    由此看出,对一些似乎能一眼看出答案的题目,不能只凭想象,还要通过分析、计算或实际操作,从而得 出正确的结论。现在,你一定能正确的判断出图6中从A到B 的两条路径(每段弧都是一个半圆)的长短,试试看。

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