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对一道思考题及其“答案”的思考

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    人教版小学实验课本《数学》第六册第144页有这样一道思考题:
    “在钉子板上围图形。通过3个钉子可围几种不同的形状?通过4个钉子可以围几种不同的形状?”
    (附图 {图})
    对这道题,“教参”(人教版《小学数学第六册教师教学用书》)给的答案(下称“参考答案”)是:
    “通过3个钉子:三角形(直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形,但不可能围 出等边三角形。)
    通过4个钉子:四边形(一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。)
    以上每种图形,由于大小不同,可能会有很多,只要学生围出即可。”
    下面谈一谈,笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。
    思考一 参考答案对不对?
    笔者认为,参考答案是有毛病的。因为:第一,小学三年级学生还没有学习“直(锐、钝)角三角形”和 “等腰(等边)三角形”等概念(这些概念是四年级的学习内容)。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二 、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道,形状相同(或不同)的图形一般是指相似(或不 相似)的图形,因此,对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题,就应该理解为“可以围几种不相似的 图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”(因为同类别的图形不一定同形状。例如,图1中的 3个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的,但却不相似即不同形状)。容易看出,参考答案就是这后一 种理解的产物,这样的答案是难以令人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题,理当 以确切的数据给予回答,但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之,这也是不妥的。
    思考二 不同形状知多少?
    前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看,通过3个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形 。
    为叙述方便,我们把钉子板上的钉子记为点A[,ij](下标i和j分别为行序号和列序号,i=1, 2,…6,j=1,2,…,6。如点A[,32]即表示位于第三行第二列的那个钉子),并把同行(列) 相邻两点间距离设为“1”。
    可以看出,所围三角形可分为下列几类:
    (Ⅰ)短边长为1的三角形
    (附图 {图})
    这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是:它们共有几种不同的形状?这可以通过寻找“代表”(每 一种形状找一个三角形充当“代表”)的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强 的工作(要保证所寻“代表”不漏不重)。此处,我们可以取以线段A[,11]A[,21]为边、图2中 的任一加圈点“⊙”为顶点的三角形为“代表”。容易看出,这样的代表共有10个,它们是互不相似即形状 互不相同的。并且,在短边长为1的这一类三角形中,已不再存在形状不同于这10个“代表”的其它三角形 了。由此可知,这类三角形共有10种不同的形状。
    (附图 {图})
    在这类三角形中,不同形状的“代表”一共也能找到10个(以线段A[,21]A[,12]为边、图 3中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[,22]A[,41]A[,13]、△A[,22]A[ ,61]A[,13]、△A[,23]A[,51]A[,14]、△A[,24]A[,61]A[,1 5])。因此,这类三角形也有10种不同的形状。
    (附图 {图})
    在这类三角形中,不同形状的“代表”一共有12个(以线段A[,21]A[,13]为边、图4中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[,14]A[,22]A[,51]、△A[,14]A[,22 ]A[,61]、△A[,16]A[,31]A[,24]、△A[,24]A[,41]A[,16]) 。因此,这类三角形共有12种不同的形状。
    (附图 {图})
    在这类三角形中,不同形状的“代表”一共有7个(以线段A[,21]A[,14]为边、图5中任一 加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A[,15]A[,22]A[,61]、△A[,16]A[,23] A[,51])。因此,这类三角形共有7种不同的形状。
    (附图 {图})
    在这类三角形中,不同形状的“代表”一共有3个(以线段)A[,31]A[,14]为边、图6中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形)。因此,这类三角形共3种不同的形状。
    (附图 {图})
    在这类三角形中,不同形状的“代表”一共也有3个(以线段A[,21]A[,15]为边、图7中任 一加圈点“⊙”为顶点的三角形)。
    (Ⅶ)短边长为5的三角形
    (附图 {图})
    这类三角形只有一种形状,图8中的三角形是它们的“代表”。
    容易看出,通过3个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中,我们一共找到了(10+10+1 2+7+3+3+1)即46个“代表”。现在的问题是:在这46个代表中,尽管“同类代表”(产生于上 述某一类三角形中的代表)的形状是互异的,但那些“不同类代表”(产生于上述某几类三角形中的代表)的 形状是否互异呢?细细审察可以发现:上述(Ⅲ)中的代表△A[,13]A[,21]A[,42]、△A [,14]A[,22]A[,51]分别与(Ⅰ)中的代表△A[,11]A[,21]A[,22]、△ A[,11]A[,21]A[,32]相似;(Ⅴ)中的代表△A[,11]A[,31]A[,63]和 (Ⅵ)中的代表△A[,15]A[,21]A[,62]均与(Ⅰ)中的代表△A[,11]A[,21] A[,22]相似。因此,就上述七类三角形之总体而言,不同形状的代表应该是(46—4)即42个。
    至此即知,通过3个钉子一共可以围42种不同形状的三角形。
    通过4个钉子围图形,情况会更复杂一些,此处就不细述了。
    思考三 如何处置这道题
    由上述讨论显而易见,将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么,这道题究竟如何处 置为宜呢?笔者觉得,下列几点意见是值得考虑的。
    (1)保持原题的文字部分,而将示意图中的点由36个改变为9个(三行三列)。将这一改编题仍旧放 在前述课本的第144页作思考题;
    (2)不改变示意图,而将原题所提问题改变为“通过3(或4)个钉子可以围出哪几类三角(或四边) 形?”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾(此时,学生刚好学习了“三角形的分类” 、一般四边形和几种特殊四边形等内容)作思考题为宜;
    (3)不改变示意图,将原题中“不同的形状”之文字改变为“互不相似的图形”之文字,这一改编题( 实为原题,文字上的一点变动旨在使题意明朗而避免争议)只能编排到某些中学(甚至大学)课外读物上去才算适宜。

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