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“数的整除性”美在何处?

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    数学家揭示了美的数学概念和逻辑结构,但是数学美却不象艺术美那样外显,它是美的高级形式,是理论 思维与审美意识交融的产物。对于学生来说,由于受年龄、知识水平、审美能力的限制,很难把数学中的美的 真正意蕴充分体味出来。为把数学的教学过程变为数学的审美过程,这就对教师提出了一个非常现实的问题: 必须深入发掘、精心提炼数学教材中的美育因素,要对教材进行一番分析概括和生动直观的整体性认识,使教 材内容成为教师脑海中非常直观浅显的东西,才能不失时机地引导学生去体会数学中内蕴的美的独特品质。为 此,本文针对小学五年级教材“数的整除”一章,具体剖析数学美的表现。
    一、结构美:法国数学家庞加莱说:“数学的结构美是指一种内在的美,它来自各部分的和谐有序,并能 为纯粹的理智所领会,可以说正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架,……。”“数的整除 ”一章是《初等数论》中的一部分,为了照顾小学生的年龄特点,在教材中进行了简化处理,但其整体结构还 是非常完美的,如下图:
    (附图 {图})
    由图看出:本章以倍数、约数为核心构建了知识的结构美。著名数学家华罗庚说,善于退,退到最原始的 而不失重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。教师在教学中应把核心知识打牢,把用处最多的最大公约数、 最小公倍数练熟,在学生的头脑中形成完美的知识结构,这样就为学生学习后面的知识打了坚实的基础。
    又如:将60分解质因数
    (附图 {图})
    这种分解法,逐层展示60内部的结构美,层次清楚,操作方便,同时又显现出简洁美。
    二、语言美:本章汉语言的叙述极其概括严密、简洁、有序,给读者以美的感受。如本章开头仅用108个字 就把自然数、0、整数的概念及“数的整除”所研究的数交代清楚,深入体味,这108个字就给人们以简洁、有 序的和谐美感。
    我国古代常用形象的语言去描述概念,借助生动的比喻去理解题意。明代程大位在《算法统宗》里用四句 优美的诗来表达“韩信点兵”问题的解法,诗曰:
    “三人同行七十稀,
    五树梅花廿一枝,
    七子团圆正半月,
    除百零五便得知。”
    这首优美的诗,把枯燥的数字,赋在人和美丽的梅花上;又把70与成语,15与月半,巧妙地联系在一起, 语言通俗生动,朗朗上口的韵律,既有音乐之美,又有记忆之效。反映了数学语言美的感染力。
    数学符号系统是一种世界公认的特殊的数学语言。本章11处用圈代表韦恩图,借助韦恩图渗透集合思想, 并把运算过程扼要地表现出来,是语言美的精彩之处。古希腊毕达哥拉斯学派,把均衡与对称作为美的主要标 准,他们把圆或椭圆视为最完美的几何图形,因为它们的简单性、整齐性、对称性,给人以美感。因此,本章 用圈代表韦恩图也体现了数学形态美。
    三、方法美:美的数学方法是指在解决复杂问题中,体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇。本 章为了照顾小学生的年龄特点,均采用了由例子引出定义、由例子引出方法、由例子引出定理的观察法。在逻 辑方法上,叫不完全归纳法。这样符合学生的认识规律,使学生在具体、形象、生动的审美感受中,愉快地接 受了数学理论。教师要首先体味教材中的方法美,再适当补充些类似的例子,帮助、引导学生自己去归纳、总 结、发现其中的规律。提高学生学习数学的兴趣,使枯燥无味的数学教学变成生动活泼的审美过程。
    例如:整除的定义、质数与合数、质因数、公约数、公倍数的定义,都是在充分观察例子的基础上,然后 给出定义。
    在分析例子的基础上,归纳得出分解质因数的方法,求最大公约数的方法,求最小公倍数的方法。
    尤其精彩的是:本章借助韦恩图,将自然数乘以2、5、3得到一个新的集合,渗透了集合、逆推、映射思想 ,设置了观察能被2、5、3整除的环境。这样既避免了繁琐的逻辑推理,又便于学生观察、归纳、总结出能被2 、5、3整除的数的特征,是一种很美妙的方法。请看:右边圈里的数,个位数有什么特征。
    (附图 {图})
    图中的省略号,开启学生的想象力,体现有限与无限的统一美。
    为了形象、直观地表示最大公约数、最小公倍数,本章借助韦恩图,用交集深刻地揭示了“公”的本质。 如:
    (附图 {图})
    这既是一种方法美,又是一种形态美。
    在数学史上,无论是一个新的数学分支的产生,还是具体给出一个概念的定义,都经历过一个积累经验材 料的时期。从大量观察、实验得来的材料发现其规律,总结出数学定理或新概念,这是数学研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作。“数学王子”高斯说过,他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不 能作为严密的论证方法,但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律,为我们提供研究方向。素数分布论中 许多著名定理,如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等,都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想 ,然后再经过严格数学推导,设法给予证明的。当然还有的猜想至今未得到证明,如:
    6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7,
    14=7+7, 16=3+13,18=5+13,20=7+13,
    22=3+19,24=5+19,26=3+23,28=5+23,
    ……
    由此归纳出可能有:凡是大于4的偶数都是二个奇素数之和,这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想直到现 在还没有肯定的或否定的答案,我们认为肯定的可能性很大。这个问题现在最好的结果是:每一充分大的偶数 ,都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。这是由著名数学家陈景润证明的。
    这里需要指出:关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是不可能只用初等数论方法而得到证明 的。希望有志青年不要走入歧途。

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