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注重思想方法训练提高学生数学素质

时间:2007-3-29栏目:数学论文

数学思想方法是指数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段。实践证明,教师依据数学教材的特点和学生的认知规律,围绕各种数学思想方法的要求,有计划地对学生进行数学思想方法的训练,对于提高学生的数学素质和数学课堂教学的质量非常有益。本文结合小学数学教学仅就几种综合性的数学思想方法作一探讨。

一、联想能力的训练联想
是由一种事物的观念想到另一事物的观念的心理过程。教育心理学认为,联想既是一种记忆方法,也是一种思维能力。其种类包括纵、横向的单维联想和立体交叉式的多维联想。多维联想是指对眼前呈现的问题,从多角度进行思考以寻求问题解决的联想方法,它又包括条件的多维联想和解题方法的多维联想。例如,我们由完成与未完成工程量的比是"5∶6"这一条件,可以联想到下列可做逆推的其他条件:已完成的占总工程量的511,未完成的占总工程量的611,未完成的是已完成的115倍;已完成的是未完成的56,未完成的比己完成的多16,已完成的比未完成的少16等。此关不过,学生解分数应用题难的现状就不易解决。现在用上述条件组编一个应用题:"一个建筑队20天完成一件工程的511,再干几天可以完成该工程?"我们从不同角度进行联想,可得到以下解题方案:(1)用剩下的工作量除以每天的工作效率,列式:(1-511)÷(511÷20)或(11-5)÷(5÷20);(2)先求出完成该工程的总天数再减去已干的天数,列式:20÷511-20;(3)看剩下的工作量是已完成工作量的几倍,就有几个20天,列式:20×〔(1-511)÷511〕;(4)看已完成的工作量是未完成的工作量的几分之几,由已知一个数的几分之几是多少,求这个数的算法可列式为:20÷〔511÷(1-511)〕。进行多维联想的能力训练,要围绕一定的目的,要做到适时、适度、因人而异,要善于发现最佳解题思路,使其真正达到培养学生创造性思维的目的。

二、转化能力的训练
转化思想是数学的基本思想之一,是一种十分重要的教与学的策略。常见的转化思维方法有量的转化、式的转化、类比转化等,考虑到数学的研究对象--数与形,在教学中有意识地对学生进行数形转化能力的训练就显得尤其重要。所谓数形转化观是把数、形问题从一种表示形态转化成另一种表示形态或数形相互转化的思想和方法。从这一表述可以看出,数形转化有数的转化、形的转化和数与形的相互转化三种具体形态。数的转化要通过恒等变形,借助数的分解、变换数的位置或对数进行重新调整组合以及利用相关关系等方式进行。如,0.25根据需要可转化为25%,可以转化为14,还可以转化为1∶4。

通过数的转化可使运算过程简单明了,达到计算对、快、巧的要求。形的转化要通过割、补、拼等操作技能,主要借助等积变形来实现转化。既可以把整体转化为部分,又可以把部分拼成整体。如,在推导梯形的面积计算公式时可制作转动式幻灯片进行演示,使学生清晰地看到两个全等的梯形拼补成平行四边形的方法,造成一种动态的视觉形象美,使演示过程更生动、有趣,给学生留下的印象也是深刻的。又如,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。此题若按常规解法,不但计算繁琐,而且因π取近似值,存在计算误差。若把它看成是一个以内外圆周长为上、下底,以2厘米为高的梯形,即利用"把曲线看作直线的思想",其计算量不但减少,而且提高了答题的准确率。

数与形相互转化的着眼点在于把问题涉及的数与形结合起来综合考察,在实际解题中,既可以把数量关系问题转化为图形性质问题来处理,也可以把图形性质问题转化为数量关系问题来研究。譬如,在应用题教学中,我们根据题意将数量关系转化为线段图,借助形象化的线段图进行分析、解决问题。这样,不仅可使抽象问题直观化、具体化,提高解题的速度和准确度,而且也是发展学生形象思维的有效方法之一。

三、探究能力的训练
心理学家布鲁纳指出,探究是数学教学的生命线。重视学生探究能力的训练,要求我们要注重教学活动的过程教学。正如西南师大数学系杨泰良教授所言:"教学上要求揭示的数学活动过程主要是方法论意义上的和逻辑意义上的,这更符合数学知识结构和学生认识结构......数学活动过程的教学有利于启迪和发展学生的思维,所以应是数学方法的核心。"

教学中,要有意识地创设探究情境,培养探究能力。例如,在讲"分数的基本性质"时,采用实际操作的方法,让学生按老师的要求均分课前准备好的一捆小棒(12根)。具体操作要求是:把12根小棒平均分成两份,每份是(1)(2)是(6)根;把12根小棒平均分成四份,取两份是(2)(4),是(6)根;把12根小棒平均分成六份,取三份是(3)(6),是(6)根。教师要求边操作边填空,学生通过操作(探究)发现不同分法的值相等,即12=24=36。这时教师可以提出一个探究性的问题:相等的几个分数的分子、分母都发生了变化,但结果没有变,这是为什么?分数的分子、分母是如何变化的?面对此问题学生一时不能回答,稍后会有同学回答说:"分子增加1,分母增加2。"显然,朝增加多少的方向思考不能揭示出分数的基本性质。随后,老师将相等的几个分数的板书变化了一下,增加中间环节。如,12=1×()2×()=24;36=3÷()6÷()=12.经教师点拨,使学生产生了新的思维,认识到不是"增加"而是"扩大或缩斜,从而收到良好的教学效果。在此过程中,学生不是被动地接受现成的结论,而是自始至终参予到知识的探究之中。

教师结合教材编制一些"动脑筋"的题目,也是培养学生探究能力的重要手段。如,在学习了除数是一位数的除法后,教师可以给学生提供这样一道题:把一根木棒锯成4段,每锯断一次用2分钟,全部锯完要用多少分钟?乍看此题,学生会不加思索地回答8分钟;我们如果让学生拿纸条、剪刀进行操作、探究时,学生会惊奇地发现自己的错误,并为自己亲手探究出正确的答案而感到自豪。四、辩证思维能力的训练朱智贤教授曾指出:我们多年来对儿童思维的研究,只研究形象思维和形式逻辑思维,而不研究辩证思维。辩证思维作为抽象逻辑思维发展的高级阶段,在小学由于受小学生思维发展水平的局限,决定了不可能把辩证思维作为小学数学教学的基本要求,只能要求教师凭借对具体知识的分析与讲解浅显地把数学知识与现实事物的关系以及数学知识本身的内部矛盾予以揭示,从而渗透实践的观点、对立统一的观点、运动变化的观点等,以达到对学生进行辩证唯物主义启蒙教育的目的。

小学数学中的辩证内容很丰富,既表现为数学概念的普遍联系,又表现为数学运算的相互转化等。例如,除尽与整除反映的是数学概念间的包含关系,揭示的是一般与特殊间的矛盾性,除尽是整除的一般化,而整除则是除尽的特殊情形。而约数和倍数则是由概念整除派生出来的一对具有相依关系的概念,彼此不能独立存在。譬如,15能被3整除,15就叫做3的倍数,3就叫做15的约数,不能孤立抛开整除这一前提说15是倍数,3是约数。任何事物之间或同一事物内部各要素之间都存在着矛盾,小学数学也不例外。如,一和多、加和减、乘和除、正比例和反比例、直和曲、有限与无限等。对此,我们应用发展变化的动态的观点看待它们,而不应把这种矛盾的对立看作是僵死的、固定不变的东西。它们既对立又统一,并且依据一定的条件相互转化。对于x×y=k,当x一定时,y与k成正比例;当k一定时,x与y则成反比例。我们从对四则运算间的关系的分析可更加清楚地看到这一点。减法与加法、除法与乘法是逆运算关系;乘法可看作同数连加,除法可看成同数连减。为了进一步说明减法与除法的转化关系,不妨试举一例说明:"学校购煤30吨,用载重5吨的卡车运输,需要几趟运完?"用除法算:30÷5=6;用减法算:30-5-5-5-5-5-56个5吨=0。这样看来,四则运算中最基本的运算都统一到加法门下了。

王梓坤教授指出:"在学习数学过程中,掌握基本概念和定理固然重要,了解这些概念如何形成的以及获得这些定理的思想方法,有时更为重要,因为定理是定型的、静态的,而思想方法是发展的、动态的。思想方法不仅有趣,而且往往富有启发性,可以引导人们去研究新问题,做出新发现。"

因此,为克服数学教学中的种种不良现象,使"吸收型教学"转变为"智力开发型教学",我们必须加强数学活动的过程和数学思想方法的教学。

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