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引导·发现·探索——我教“工程应用题”

时间:2007-3-29栏目:数学论文

工程应用题以整数应用题为基础,是分数应用题的发展,是相遇应用题的变形。因此,在教学时,我从整数应用题(求共同工作所需时间)的解答为起点,设计一系列问题,引导学生一步步由旧知逐步探索新知,取得了令人满意的效果。

一、复习旧知,组织迁移
1.修一条长3000米的公路,10天修完,平均每天修多少米?

3000÷10=300米

工作总量÷工作时间=工作效率

2.修一条长3000米的公路,每天修200米,多少天可以修完?

3000÷200=15(天)

工作总量÷工作效率=工作时间

3.要修一条长3000米的公路,甲队每天修300米,乙队每天修200米,两队合修多少天完成?

 3000÷(300+200)=6(天)

工作总量÷工作效率之和=共同工作所需时间

4.修一条长3000米的公路,甲队独修10天可以完成,乙队独修15天可以完成。两队合修多少天可以完成?

在教师的启发下,根据:

工作总量÷工作效率=共同工作所需时间。

引导学生列出了如下算式:

3000÷(3000/10+3000/15)=6(天)

到这里,只要把具体数量“3000米”换成单位“1”,就构成了解答工程应用题的数学模型:1÷(1a+1b),因此,下面就要在为什么能够把具体数量换成单位“1”这一点上,引导学生进行探索。

二、引导探索,发现规律
教师引导启发:上面第4题,如果将公路长度扩大2倍,其余条件不变,两队合修所需时间变不变?算算看。多数学生认为合修所用时间也要扩大两倍,但算后的结果表明,所用时间并没有变化:

6000÷(6000/10+6000/15)=6(天)

这时我又提出:若将公路的长度缩小2倍呢?

算算看:

1500÷(1500/10+1500/15)=6(天)

为什么公路的长度扩大(或缩小)几倍后,合修所用的时间不变呢?

引导学生观察以上算式并认真思考,从而发现:

工作总量扩大(或缩小)几倍,甲乙两队工作效率的和也扩大(或缩小)相同的倍数,所以两队合修所需要的时间不变。这样看来,两队合修所需要的时间与公路的具体长度有没有关系?

学生纷纷举手发言:“只要甲、乙两队单独修所用的时间不变,两队合修的时间也不变。”;“甲、乙两队合修所用的时间与他们单独修所用的时间有关,与公路全长多少米无关。”

我肯定了学生的发言,并指出:既然公路全长是多少米与甲乙两队合修所需要的时间无关,所以上题可改为:“修一条公路,甲队独修10天可以完成,乙队独修15天可以完成,两队合修多少天可以完成?”这样的题目,我们能不能解?这时已到了水到渠成的地步,学生很快列出了算式;1÷(1/10+1/15)=6(天)

三、深入探索,巩固新知
对于工作效率的理解是学好工程应用题的关键。

为此,我组织学生讨论以下问题的解法来加深对工作效率的理解。“车站上有一批45吨的货物,甲汽车5次可以运完,乙汽车6次可以运完,两辆汽车一齐运多少次可以运完?”

有的学生用整数应用题的解法来解:

45÷(45/5+45/6)。

有的学生用工程问题的解法解:

1÷(1/5+1/6)。

还有的学生将两种方法混合使用:

45÷(1/5+1/6)

第三种方法是错误的,但不少学生一时不知为什么错,为解决这一问题,我组织学生讨论:45/5、45/6是把工作总量看作是45吨时的甲、乙两汽车的工作效率;1/5、1/6则是把工作总量看作是整体“1”时的甲、乙两汽车的工作效率,而45÷(1/5+1/6)的列式,既把工作总量看作45,又把工作总量看作“1”,这将相互矛盾,所以是错误的。在讨论的基础上,有的学生提出,把工作总量看作是“2”,于是得算式:2÷(2/5+2/6)是否可以?又有的学生提出:把工作总量看作是“3”也行:3÷(3/5+3/6)。

讨论非常热烈,教师肯定了学生的发言。在告诉了工作总量是45吨时,一般可以这样列式:45÷(45/5+45/6);也可以量看作是“1”,1÷(1/5+1/6);至于把工作总量看作是2,或是3……虽然是可以的,但习惯上不常采用。不管怎样,工作总量是多少,在求工作效率时就要用相同的工作总量,使工作效率和工作总量对应,这是解答工程应用题的关键。

这节课在老师的引导下,学生积极地参与,主动获取知识,在引导、发现、探索的过程中,学生不但学得了知识,而且增长了智慧,锻炼了能力。

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