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初学因式分解的“四个注意”

时间:2007-3-29栏目:数学论文

因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初二上学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意,则必须引起师生的高度重视。

因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页,可用四句话概括如下:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏1,括号里面分到“底”。现举数例,说明如下,供参考。

例1 把-a^2-b^2+2ab+4分解因式。

解:-a^2-b^2+2ab+4=-(a^2-2ab+b^2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)

这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如-9x^2+4y^2=(-3x)^2-(2y)^2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。但也不能见负号就先“提”,要对全题进行分析,

如例2 △ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证这个三角形是等腰三角形。

分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.

又∵a、b、c是△ABC的三条边,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,

即a=c,△ABC为等腰三角形。

例3把-12x^2ny^n+18x^n+2y^n+1-6x^ny^n-1分解因式。解:-12x^2ny^n+18x^n+2y^n+1-6x^ny^n-1=-6x^ny^n-1(2x^ny-3x^2y^2+1)

这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2[3(x-1)-4p]=2p(x-1)2(3x-4p-3)的错误。

例4 在实数范围内把x^4-5x^2-6分解因式。

解:x^4-5x^2-6=(x^2+1)(x^2-6)=(x^2+1)(x+6)(x-6)

这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x^4y^2-5x2y^2-9y^2=y^2(4x^4-5x^2-9)=y^2(x^2+1)(4x^2-9)的错误。

由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。

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