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关于小学数学教学中渗透数学思想方法的思考

时间:2007-3-29栏目:数学论文

    一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性
    所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法, 是指某一数学活动过程的途径、程序、手段,它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法 的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们称为数学思想方法。
    小学数学教材是数学教学的显性知识系统,许多重要的法则、公式,教材中只能看到漂亮的结论,许多例 题的解法,也只能看到巧妙的处理,而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。因此,数学思想方法是数学教学的隐性知识系统,小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识 的教学。如果教师在教学中,仅仅依照课本的安排,沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程, 即使教师讲深讲透,并要求学生记住结论,掌握解题的类型和方法,这样培养出来的学生也只能是“知识型” 、“记忆型”的,将完全背离数学教育的目标。
    在认知心理学里,思想方法属于元认知范畴,它对认知活动起着监控、调节作用,对培养能力起着决定性 的作用。学习数学的目的“就意味着解题”(波利亚语),解题关键在于找到合适的解题思路,数学思想方法 就是帮助构建解题思路的指导思想。因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是 培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
    数学知识本身是非常重要的,但它并不是惟一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作 用,并使其终生受益的是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。21世纪国 际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是未来社会的要求和 国际数学教育发展的必然结果。
    小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强 学生数学观念,形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识、技能就好 比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横 两个维度上把握数学学科的基本结构,也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此,向学生渗透一些基 本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口。
    二、小学数学教学中应渗透哪些数学思想方法
    古往今来,数学思想方法不计其数,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。一则由于小学生的年 龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受,二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的 。因此,我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。笔者认为,以下几种数学思想方法学生不但容易接受,而 且对学生数学能力的提高有很好的促进作用。
    1.化归思想
    化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题,把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出,这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。
    例1 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次可向前跳4 1/2 米,黄鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中,从起点开始,每隔12 3/8米设有一个陷阱, 当它们之中有一个掉进陷阱时,另 一个跳了多少米?
    这是一个实际问题,但通过分析知道,当狐狸(或黄鼠狼)第一次掉进陷阱时,它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1/2(或2 3/4)米的整倍数,又是陷阱间隔12 3/8米的整倍数,也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍数”(或2 3/4和12 3/8的“最小公倍数”)。针对两种情况,再分别算出各跳了几次,确定谁先掉 入陷阱,问题就基本解决了。上面的思考过程,实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小 公倍数”的问题,即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题,这种化归思想正是数学能力的表现之一。
    2.数形结合思想
    数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过作一些如线段图、树形图、长 方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观。
    例2 一杯牛奶,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲 五次一共喝了多少牛奶?
    附图{图}
    此题若把五次所喝的牛奶加起来,即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32就为所求,但这不是最好的解题策 略。我们先画一个正方形,并假设它的面积为单位“1”,由图可知,1-1/32就为所求, 这里不但向学生渗 透了数形结合思想,还向学生渗透了类比的思想。
    3.变换思想
    变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想。如解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换 ,几何形体中的等积变换,理解数学问题中的逆向变换等等。
    例3 求1/2+1/6+1/12+1/20+……+1/380的和。
    仔细观察这些分母,不难发现:2=1×2,6=2×3,12=3×4, 20=4×5……380=19×20,再用拆分的 方法,考虑和式中的一般项
    a[,n]=1/n×(n+1)=1/n-1/n+1
    于是,问题转换为如下求和形式:
    原式=1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+……+1 /19×20
    =(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1 /4-1/5)+……+(1/19-1/20)
    =1-1/20
    =19/20
    4.组合思想
    组合思想是把所研究的对象进行合理的分组,并对可能出现的各种情况既不重复又不遗漏地一一求解。
    例4 在下面的乘法算式中,相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数字,求这个算式。
    从小爱数学
    × 4
    ──────
    学数爱小从
    分析:由于五位数乘以4的积还是五位数, 所以被乘数的首位数字“从”只能是1或2,但如果“从”=1, “学”×4的积的个位应是1,“学”无解。所以“从”=2。
    在个位上,“学”×4的积的个位是2,“学”=3或8。但由于“学”又是积的首位数字,必须大于或等于 8,所以“学”=8。
    在千位上,由于“小”×4不能再向万位进位,所以“小”=1 或0。若“小”=0,则十位上“数”×4+ 3(进位)的个位是0,这不可能,所以“小”=1。
    在十位上,

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