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动作是智慧的根源

时间:2007-3-29栏目:数学论文

——现代小学数学课堂教学的心理学依据
    一、引言
    近半个世纪以来,皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学,尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出:“ 动作是智慧的根源”,①任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作,数学运算是一种广义的动作。② 这些观念为数学课堂教学所采纳,目前小学数学普遍采取动手操作(或以直观方式演示有关操作)的方法。
    然而,对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法,却缺乏深入的研究,许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面——我们知道数学运算是一种广义的动作;但它除了是一种动作之外,还存在哪些区别 于一般动作的规定性?同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧;但能否认为任意的动手操 作都有益于儿童智慧的发展?在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作?
    本文试图就以上问题作些探讨,以期引起更深入的研究,并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。
    二、数学运算的内在规定性
    1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中,也是正在采取行动与协调行动,不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了……”③这里“反省”与反身、反思是同义的。
    皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识;另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识;后者带来数理逻辑知识。
    [实例]一个儿童摆弄10个石子,他可以掂一掂以了解其重量;可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重 量”与“光滑度”是关于对象(石子)本身的知识。此外,儿童还有另一类动作,他将10个石子排列成不同的 形状,沿着不同的方向点数它们,其总数“10”总是不变的。这里,儿童将手指一一地(不重复也不遗漏)点 向10个石子,是具体动作;从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变,则是一种反思,是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种(可以从不同的石子开始,可以沿着不同的方向进行),但总数的 “10”却是恒定的。只有通过反思,体会到这种“恒定”,儿童才真正学会了计数。
    这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作,但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子,我们也能训练一只小鸡——地啄石子,但小鸡不会了解“10”这个数,因为它没有 反思。
    数学运算因其反身性,还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算”;乘方又是对乘法的“运算”。
    2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动,即它能向一个方向进行,也能向相反的方向进行。”④我们可 以把1和2相加得到3;反过来, 也可以用3减2而还原为1。任何一种运算,总有一个与之对应的逆运算。
    学生用减法验算加法(或反过来用加法验算减法),用除法验算乘法(或反过来用乘法验算除法),就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合”(加或乘)的结果,我们可以用“分”的动作(减或除)使其还 原到初始状态。
    可逆性可以区分为两类,一类是反演可逆(1+2=3,反过来3 -2=1);一类是互反可逆(6比2多4,反 过来2比6少4)。 前者表现为相反的操作;后者表现为次序的逆向转换。
    3.结合性 运算“是可以绕道迂回的,通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。⑤这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中,结合性体现在两个方面。
    其一,体现在运算定律方面:3+4=4+3(加法的交换律);3 ×(4+5)=3×4+3×5(乘法的分配律 )。这里,每个等式两边是不同途径的运算,但其运算结果却是恒等的;其二,体现在问题解决的一题多解方 面。
    问题:男生和女生共植树450棵,已知每个同学植树5棵,有男生46人。问:女生多少人?
    对于这一问题可以先求出女生植树多少棵,再除以5, 得出女生人数:(450-5×46)÷5=44(人);也 可以先求两个班共有多少人,再减去男生46人,得出女生的人数:450÷5-46=44(人)。两种解法,具体途 径不同,但结果一样。
    至此,我们将可逆性与结合性综合起来考察,则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。反演可 逆是以相反的运算(如:以减法来验算加法)使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换,6比2多 4,2比6少4,这里差集“4”是不变的。在运算规则里, 运算途径改变了,但运算结果不变。在问题解决中, 具体解法可以各异,但答案是唯一(不变)的。
    我们说,数学运算是一种转换。在这种转换过程中,并非所有的东西都发生了改变,总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在,才使转换成为可能。
    4.结构性 结构性运算,就其现实的存在方式而言,“包括复杂的运算体系,而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。”⑥数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先,每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作,也包括计其总数据的动作(这在学龄前儿童的实物操作中,可观察 到;小学一年级儿童,因熟练而逐渐简约化);其次,各种运算联合起来,又构成一个大的结构,加是“合” 的动作,减是“分”的动作;乘是加(或合)的简便运算,除是减(或分)的简便运算;加减互为逆运算,乘 除互为逆运算。这许多关系,使四则运算联合成一个大的整体。
    三、课堂教学中,指导学生动手操作应注意的问题
    在明确了数学运算的内在规定性之后,我们将依照这些规定性,提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。
    1.引起反省 从以上分析中我们了解到,数学运算是一种反思,具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中,我们在指导学生动作操作时,不应停留在为操作而操作的层面;而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例,通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。如:将一个 饼平均分成两块,每块是它的1/2。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿,而不能调动学生内部的思 考过程。
    一般而言,分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前,儿童能用加减法层面的“差集”(6比2多4)或乘 除法层面的“倍数”(6是2的3倍)来表示二数比较关系。在倍数中,比较量一般大于(或等于)标准量;分数 的引进是要解决一个全新的问题:当比较量不足一个标准量时,如何表示二数关系。
    关于分数概念,这里设计了一种与通常的教法不同的方案,其宗旨在于引起学生思考。
    关于“分数概念”的课堂设计:
    准备:在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段,准备一根60厘米长的木棒(无刻度),线段 长度分别是木棒的3倍、1倍、 1/3。
    木棒────
    白线:─────────── ────────白线长度是木棒长度的3倍
    红线:──────── 红线长度是木棒长度的1倍
    绿线:─ 绿线长度是木棒长度的?
    教师[演示]:用木棒分别量白线与红线,并板述;然后量绿线,提问。
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