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关于三角教材与教法的新思考

时间:2007-3-29栏目:数学论文

1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆。”再联想到1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,

在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅,而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效)。这不能不说对和积互化的8个公式(以下简称“8公式”)的要求是大大降低了。

  但是,这次调整的,难道仅仅是8个公式吗?如果认为仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了。

  我们知道,和积互化历来是三角部分的重点内容之一。相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力。现在,要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了。这样一来,

三角部分还要我们教些什么?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑。

  有鉴于此,我认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于”(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)

的既定目标。

  一、是“三角”还是“函数”

  应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的。三角本是几何学的衍生物,肇始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等。至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科。历史上的很长一段时期,只有《

三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名。

  “三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年。但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌。特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作。致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成

为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了。有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的。

  所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在。现行中学教材也取消了原来的《代数》、《三角》、《几何》的格局,将三角并入了代数内容。这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重。

  再从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的。所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍、所在皆是。这是由当时的数学认知水平决定的。而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值。1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”。现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写。

  所以,三角函数部分应重在“函数的图象和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点(下文还将述及)。

  现行高中《代数》的三角函数部分,也单列了一章专讲“三角函数的图象和性质”,这是与数学发展的潮流相一致的。但若提起三角函数,大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图象和性质”倒是在其次的。这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差,恐怕也与编者的意图大相径庭。个中缘由固然与三角本身多公式有关,其中和积互化8公式的干扰作用尤其明显。8公式形式类似,记忆也属不易,变形尤难把握,是师生教与学的共同难点。为此反复记忆、题海操练实所难免。

  调整以后,降低这部分的要求,大面积地减少了题量,目标中“第一和第三”两个有利于是可以实现的。但另一个(有利于深化课程改革)该如何理解呢?把“函数”作为关键词,将目光放在“图象和性质”上,应当是正确的选择,负担轻

了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图象和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本。



  二、国外的观点及启示



  下面来看一下美国和德国的观点:



  美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:

  会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图象;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系。



他们还特别指出:不要在推导三角恒等式上花费过多的时间。只要掌握一些简单的恒等式推导,如:之类就可以了。比较复杂的恒等式如之类,就应该完全避免了。



  德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容。10年级要求如下:

  (1)一个角的弧度。

  (2)三角函数sinx·cosx·tgx和它们的图象周期性。

  (3)三角形中角和边的计算。

  (4)重要关系(特指同角三角函数的平分关系、商数关系和倒数关系——笔者注)。

  另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图象变换、求导、求积分、求极限。

  从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:

  第一,突出强调三角函数的图象和性质。

  第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换。而且要求较低;8公式根本不予介绍。

  第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算。

  第四,注意三角函数和其它知识(复数、极坐标)的联系。

  这带给我们的启示还是很强烈的。美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整。我国的教材虽作调整,对8公式不要求记忆。同期颁布的《考试说明》仍要求“能推导并掌握(8公式)”。不要求记忆却要求推导并掌握,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的。我认为这大可不必。严谨与完整是相对的。现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及。人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分。我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意。从这个意义上说。此次调整应当只是第一步。在中学阶段即试图严谨与完整。其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故。


  三、调整后的知识体系分析

  根据以上的分析,我认为本部分知识应分为两大块。即“三角函数的图象和性质”与“三角变换”,虽然笔者认为后者该进一步删减,但毕竟目前没有做到。即使以后能大幅删减,也肯定会保留适当篇幅,因为三角变换在理论和实际中都有广泛的应用。

  现将本部分知识体系列表如下:

  这些知识点中,重点应是①③⑦⑧⑨⑩(11)(14)(15)(18),其实前几年的高考对它们也都有充分的体现。只是被8公式的光环所笼罩,我们的重视程度不够而已。当然,现在我们要提高对这些内容的重视程度。千万要避免无限拔高。那样形成前门拒狼(8公式)后门引虎的局面。就大有违调整的初衷。

  参考文献

  1 黄建宏。联邦德国完全中学的数学基础学力介绍。数学教学,190(4)

  2 陈昌平。介绍美国最新课程标准。数学教学,1990(3-4)

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