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与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

时间:2007-3-29栏目:数学论文

  与导数有关的函数题的统一解题技巧分析
  
  与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目,形式层出不穷,绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后,对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账,或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来,这样做的结果往往是得分较低,浪费时间,长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因,很多考生表现为不知道自己“起步”错误,具体来说就是对哪个函数求导不明确,或为什么要构造新函数F (x)和如何构造函数F (x)不明确。本文结合近两年的高考题,就解答与导数有关的区分度颇高的函数题,如何走好“动一发而系全身”的第一步,谈如何构造函数F (x),给出程序化的构建模式,以达到“好的开始是成功的一半”的目的。
  
  一、与导数有关的函数题概述
  
  与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括:讨论含参(一元参数或二元参数)方程根的个数与范围,含参(一元参数或二元参数)不等式的证明,求含参函数的最值或单调区间,含参(一元参数或二元参数)不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围,已知含参(一元参数或二元参数)方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷,但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便,不妨以 f(x)≥g(x)的形式来说明。
  
  二、程序化构造函数F (x)的统一模式
  
  1.直接法:令F (x)= f(x)-g(x)。
  
  2.化积法:若 f(x)-g(x)=h(x)k(x),且h(x)≥0,令F (x)= k(x)。
  
  3.伸缩法:若 f(x)≥ f1(x),则令F (x)= f1(x)-g(x),其中,f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。
  
  4.控元法:含参问题若已给出参数k的范围,由单调性控元、消元、消参,构建F (x)(F (x)不含参数)。
  
  5.分离变量法:若能分离出变量k≥k(x),则令F (x)=k(x)。
  
  三、程序化构造函数F (x)的统一模式在高考题中的运用
  
  例1 (2013年高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m)。
  
  (Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论 f(x)的单调性。
  
  (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
  
  (Ⅰ)解:m=1. f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增。(解答过程省略)
  
  (Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+2)≥ln(x+m)。记F (x)=ex-ln(x+2),则F ′(x)=ex- .
  
  ∵F ′′(x)=ex+ >0,∴F ′(x)在(-2,+∞)上单调递增。
  
  ∵F ′(0)=1- >0,F ′(-1)= -1<0,即 = ,x0=-ln(x0+2),∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.
  
  当x∈(-2,x0)时,F ′(x)<0,此时函数F (x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,F ′(x)>0,此时函数F (x)单调递增。
  
  ∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.
  
  小结 本题是一道含参不等式的证明题,考生若不假思索地直接采用构造F (x)=左-右,则在求F ′(x)=0时会走进死胡同。问题出在含参,因此应该控元,将两个变量变为一个变量,使其常态化。
  
  例2 (2012年高考山东理科卷第22题)已知函数f(x)= (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。
  
  (Ⅰ)求k的值。
  
  (Ⅱ)求 f(x)的单调区间。
  
  (Ⅲ)设g(x)=(x2+x) f ′(x),其中 f ′(x)为 f (x)的导函数。证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.
  
  (Ⅰ)解:k=1.(解答过程省略)
  
  (Ⅱ)解:函数 f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减。(解答过程省略)
  
  (Ⅲ)证明:g(x)=(x2+x)· =(1+x)· .
  
  欲证g(x)<1+e-2,即证1-x(ln x+1)< (1+e-2)。①
  
  令F 1(x)=1-x(ln x+1),则F (x)=-ln x-2.令F (x)=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈(0,+∞)。
  
  当x∈(0,e- 2)时,F (x)>0,此时F 1(x)单调递增;当x∈(e- 2,+∞)时,F (x)<0,此时F 1(x)单调递减。∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.
  
  令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0,∴F 2(x)在(0,+∞)上单调递增。∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得证。∴ g(x)<1+e- 2(x>0)。
  
  小结 如何构造函数F(x),关键在于F ′(x)=0是否易求(或易估)。若直接求g(x),则g′(x)=0的求解将陷入泥潭。
  
  例3 (2012年高考辽宁理科卷第21题)设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y= f(x)与直线y= x在(0,0)点相切。
  
  (Ⅰ)求a,b的值。
  
  (Ⅱ)证明:当0  (Ⅰ)解:a=0,b=-1.(解答过程省略)
  
  (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.
  
  ∵ < (0  构造F (x)=ln(x+1)+ - ,则F ′(x)= + - = .
  
  当x∈(0,2)时,∵x2+15x-36<0,∴F ′(x)<0.∴F (x)单调递减。∴F (x)  ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ,即f(x)< .
  
  小结 本题若直接对f(x)求导,则会在计算f ′(x)=0时碰壁。原因在于对 求导时,既有根式又有分式,而ln(x+1)的导数仅有分式,使得在求f ′(x)=0时眼到手不到。
  
  (作者单位:厦门工商旅游学校;厦门英才学校)
  
  (责任编校/周峰)
  
  《高中生》·高考网助你解答函数压轴题有一个好的开始——
  
  《利用二次求导巧解高考函数压轴题》
  
  随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,现在已由前几年高考只在解决问题中起辅助作用,上升为分析与解决问题时不可缺少的工具。

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