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高一教学中分类讨论的数学思想

时间:2007-3-29栏目:数学论文

  高一教学中分类讨论的数学思想
  
  一、温故知新,螺旋上升
  
  在二次函数的复习中,学生对分类讨论的数学思想有了初步的认识,在此基础上,我趁势给出了三个二次的关系,即一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系,并引导学生来探讨含参数的一元二次不等式的方法。例1:解一元二次不等式x2-(a-1)x-a>0.因为一元二次方程x2-(a-1)x-a=0有两个根x=a和x=-1,由一元二次函数的图像知此一元二次不等式的解应在两根之外。但两根的大小不能断定,目的就是让学生想到从两根的大小分三种情况进行讨论求解。例2:解一元二次不等式x2-ax+1>0.因为一元二次方程x2-ax+1=0的判别式为a2-4,其正负不能断定,即此方程是否有根不知道,目的就是让学生想到由判别式的大小分三种情况进行讨论求解。例3:解不等式ax2-(2a+1)x+a+1>0.本题目的是让学生想到由x2的系数a来分三种情况进行讨论求解。因为a=0时,此不等式为一次不等式;当a>0时,此一元二次不等式的解集为两根之外;而当a<0时,此一元二次不等式的解集变为两根之间。需要注意的是,由于是高一学生,分类讨论的难度教师一定要把握好。个人认为让学生掌握一层分类即可,而那种先按是否有根分类讨论,再按两根大小分类讨论的多层讨论不必涉及。
  
  二、不断强化,形成习惯
  
  有了前面的学习,学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。在指数函数的学习中教师应当乘胜追击,以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。首先教师给出例1:解不等式ax2<a2x-3(a>0且a≠1),有了前面的铺垫,多数学生已经能从容地分a>1,a<1两种情况求解。紧接着教师给出例2:求函数y=a2x-3(a>0且a≠1)的单调区间。“一回生两回熟,三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中,教师不妨给出同样的两道例题,例1:解不等式loga(2x-1)<loga(x-3)(a>0且a≠1)与例2:求函数loga(2x-1)(a>0且a≠1)的单调区间,目的就是使学生在不断的强化中,自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。实践证明,高一有了学习必修1的良好开端,高一的必修2的教学就显得格外轻松。例如在必修2解析几何的学习中,当教师让求直线2x-ay+3=0的斜率时,学生都会自觉地考虑a=0时斜率不存在,a≠0时斜率为2a时。不仅如此,他们还能按a>0,a<0来进一步判断斜率的正负以及倾斜角什么时候是锐角、什么时候是钝角。
  
  三、一点感想
  
  优秀是一种习惯。从高一开始,学生从起初的遇见参数就犯错误到不断吸取教训,探索规律,直到后来遇见参数就分类讨论,可以说已经成为他们自觉的习惯。从一开始的不知道如何分类到后来分类标准的不重不漏,可以说他们对分类讨论的方法已经掌握得炉火纯青。我相信这不仅为他们学好高中阶段的数学树立了信心,这种严谨的一丝不苟的学风也一定会迁移到他们今后的学习和工作中,一定能使他们受益终生。

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