文化视野中的 小学数学教育实践与思索

文化视野中的 小学数学教育实践与思索

江苏省启东市教育局教研室 蔡宏圣

文化，是一个使用十分普遍而又没有公认定义的概念。我们在此把“文化”界定为人类一切物质和精神的历史沉淀，其中的核心是观念、信仰、价值和思维方式等隐性的成份。以此为视角，我们可以发现《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）构建的新课程充满着清新扑面的文化气息。例如标准在“课程的总体目标”部分提出，要引导学生体会数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值；经历多样的数学活动过程，发展学生的数感、符号感、统计观念；能运用所学知识解决问题，发展应用意识；获得数学学习的成功体验，建立自信心；形成独立思考的习惯、实事求是的态度，等等。如此种种无不洋溢着文化的魅力。既然我们在新课程的设计中形成了这样的基本理念，“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”①，那么在课程实施的层面上对数学教育作文化学的实践与思索，以增加数学教育的文化内涵，提升数学教育的价值，无疑也是必要的。
实践
    我们首先在“认识乘法”的教学中进行了探索。之所以选取这个知识点进行实践，是因为在我们所能看到的“认识乘法”的教学设计中，教者都在一定的教学铺垫后，无一例外地直接告诉学生“相同加数的加法还可以用乘法计算”，整个过程毫无文化性可言，与《基础教育改革纲要》中提出的，知识教育的过程同时“成为学会学习和形成正确价值观的过程”的理念格格不入。为此，我们作了如下的探索：
1．课前谈话
师：上课前，我们来做个游戏。老师给你一个普通的圆，你能产
生哪些新想法？
学生发挥想象，交流想到的各种物体或想法。教师适时地引导学生思考：用什么词或符号表示大家还有很多想法。
生：用“等等”表示。
生：用点点点（……）表示。
生：直接说“还有许多”。
师：由一个普通的圆产生这么多全新的想法，大家真会创造。老
师估计小朋友们也会自己创造数学知识。从哪里开始创造呢？
随之出示课题“由相同加数的加法想到……”。
2．交流对“相同加数的加法”的理解。
由于学生们对“相同”、“加数”、“加法”这几个概念已有清晰的认识，因此，我们估计学生能通过自己的思考建构起对“相同加数的加法”的理解。事实也如此，学生们自己举出了“相同加数的加法”的算式。当屏幕上出现了相当多的算式时，再次引导学生用符号或词语表示“我们小朋友还发现了许多相同加数的加法算式”。为促使学生在后面的学习中比较顺利地提升自己的认识，在学生举出“相同加数的加法”的算式后，还要求学生用“（）个（）相加得（）”的句式说说他举出的算式。并有目的地提问，引起学生对“相同加数的个数”的注意。
  生：5＋5＋5＝15，也就是3个5相加得15。
  师：咦，5＋5＋5＝15算式中没有“3”呀，你这里的“3”是从哪里来的？
  生：一个、两个、三个，是3个5相加（学生把“3”读出了重音）。
  师：噢，是你数出来的。
  3．在生活中寻找用“相同加数的加法”解决的问题。
  师：老师变个戏法，把屏幕上的加法算式都藏到生活中去了。你们还能从中发现相同加数的加法算式吗？
  屏幕上出现“一双手”的图片。
  生：5＋5＝10。
  师：你的算式表示什么意思呀？
  生：左边5个手指，右边5个手指，合起来是10个手指。
  生：这里面还有“1＋1＝2”。
  生：对，左边一只手，右边一只手，一共有两只手。
  屏幕上再出现一组口算题（排成3列，每列两题）。
  师：我们小朋友做的口算题排得整整齐齐的，那一共计算了几道题呀？你能从中发现相同加数的加法算式吗？
  根据学生的不同回答，组织学生比一比：“3个2相加”和“2个3”相加都等于6。
  师：大家的小眼睛真亮！在我们的生活中，你还能发现用相同加数的加法解决的问题吗？要求和你的同座先说说发现的问题，再写一写相同加数的加法算式。
（在交流活动后安排学生休息五分钟，接着继续下面的学习。）
4．激发学生再创造的欲望。
根据学生的交流情况，相机用图片的形式出现“电脑教室里，一张电脑桌放2台电脑，9张电脑桌一共有多少台电脑？”的问题。在学生写算式的时候，有意识地关注学生写算式时的辅助动作。
师：××，老师刚才注意到，你在写9个2相加的算式时，怎么一边写算式一边在数数？
生：算式太长了，不数就不知道写了几个2。
师：这个经验很好，哪个同学还有写9个2相加的成功经验？
生：先写几个2相加，停下来数一数还缺几个2，再写。
师：写9个2相加的算式，都这样麻烦，那如果电脑教室里有20张、30张电脑桌，写20个、30个2相加的算式，那不更麻烦吗？看来我们有必要创造一种新写法，把9个2相加写简便些。
5．学生再创造。
    由于前面的教学中激活了学生的有关经验，因此，稍一会儿，就有学生写出了新写法。
师：大家真了不起，这些新写法数学书上都找不到。但就像科学家们的创造一样，刚创造出来的新东西，往往有很多不完善的地方。我们小朋友们的创造也不例外。下面，把我们的新写法和原来的9个2相加的算式比一比，看看还有哪些需要改进的地方。
学生逐渐体会到，新写法虽然简便了，但没有把有9个2相加表示出来。
师：好，那我们在第一阶段创造的基础上再来创造既简便，又表示9个2相加的写法。在大力鼓励学生们创造的基础上，引导学生讨论思考：既然新写法中出现了9，就表示“9个2相加”，那是不是还有必要在新写法中写两个2、三个2？学生们进一步创造为：师：太了不起了。但老师有个问题想请教大家，这三种写法中都写了“2”和“9”，能不能把2和9改成8、10或其它数？为什么？能不能把9写在其它位置？
通过上面的提问，引导学生反思，更加清晰地把握住新写法的关键。并着重让生2和生3讲讲为什么这样写，促使学生认识到：为保证新写法不至于像生1 的写法那样引起混淆，应该在“2”和“9”之间加个符号。
师：除了像生2那样在2和9之间加个“点”，或者像生3那样把“2”和“9”隔开些写以外，你们还想加个什么符号把“2”和“9”联系起来？
生：我喜欢★，我想加个★。（请学生上台在“2  9”、“9  2”中间加★。）
生：我想加个△。（请学生上台在“2  9”、“9  2”中间加△）
……
师：小朋友们想出了这么多有意思的符号。那你们知道数学家们想到了什么符号吗？
用多媒体出示：“你知道吗？”（由于相同加数的加法是特殊的加法，所以，三百多年前，一位英国数学家想到把“＋”转过来成“×”，用“×”把“2”和“9”联系了起来。）
随后引入乘法算式的读法以及算式中各部分的名称。
6．练习（略）。
7．交流学习体会。
思考
    是什么让同一知识点的教学呈现出了天壤之别的差异？答案是肯定的。当我们从文化的视角探究数学的内涵时，我们不仅看到了数学的知识、技能，更看到了内隐在数学知识里的思想、精神、观念、价值观……因此，数学教育的过程完全可以成为学习者文化素养的养成过程。反思上面的教学实践，从文化视角构建小学数学的教育活动，要注意：
    1．把数学教育看作一种文化活动，教学要与学生的生活经验或思考体验相协调。每个民族、每个时代的文化都离不开其借以表现的社会生产和生活的背景。因此，当我们把数学教育作为一种文化活动来组织时，就要关注学生在日常生活的各种情境中，朴素地开展数学活动的经验与体会。这些是学生内心世界中的数学认知结构不断拓展的文化基础，是学生学习学校数学的必要背景。如果脱离了学生已有的数学文化活动的经验和体验来组织数学教育，就很难促进学生的持续发展。我们不妨看一位台湾小学教师亲身体验的一件事：两年前，她带着孩子去吃每客199元的比萨。付帐时，问孩子们：一共要付多少元？上三年级的儿子喊道：要笔和纸记进位，没有笔和纸怎么算？还在幼稚园大班的女儿琢磨了一会儿后，说道：妈妈，你给阿姨600元，她会找你3元。这位老师不由自主地追问道：小妹，你是怎么知道的？女儿说：我是数的呀！199再过去就是200，200、400、600，三个人要给600元。但这样阿姨多拿了我们3元，找3元才可以。两年后的一天，这位老师带孩子们去吃每客380元的食品。付帐时，问了两年前的同样问题，不料两个孩子异口同声地答道：给我纸和笔，没有纸和笔那就算不出来了。②为什么只差两年，这位教师的女儿就变得在生活中不会解决问题，而只会在课堂上计算了呢？数学教育脱离孩子们已有的数学活动经验恐怕是主要原因。而事实上，数学学科中的许多概念、运算、规则都是由于现实生活中人类改造自然的实际需要而形成的，是典型的文化创造活动过程，而不是纯粹的数学知识的更新结果。因此，一个好的数学教师应高度重视了解孩子们在日常生活中积累的文化活动经验（要注意，不仅仅是数学活动的经验），把它们作为课堂上学习数学文化的出发点和必要背景。在“认识乘法”的教学探索中，我们有过失败的经历。问题就出在没有激活学生在日常活动中已积累起的“用‘点点点’和‘等等’表示还有很多”的经验，直接要求学生探索“9个2相加”的简便写法，结果学生普遍感到无从下手。而像上面组织的教学中，效果就大不一样，学生们个个有简便的写法。虽然有雷同，但思路一下子跳出了以往写算式的框框，再创造出“既简便又表示9个2相加的写法”就有了可能。与此同时，一个好的数学教师在数学教育过程中，也要关注孩子们即时的思考认识、情感体验，以保证数学教育和学生们当时的心理活动相协调，并捕捉其间的课程生成契机，提升数学教育的文化内涵。例如上面的实践中，学生写“9个2 相加”算式时出现的“小动作”，虽然细微，但却是学生原有数学文化为适应当前富有挑战性的问题解决的需要，而自觉采取的心理调适行为。因此，让学生介绍这些“成功经验”，能促使学生感受到原有数学文化的局限，而产生再创造新文化的情感动力。
    2．把数学教育看作一种文化活动，要着力构建与文化沉淀相匹配的教学方式。无论何时，文化总带有历史性的成分。数学作为一门理性的、系统的学科，从文化的角度看，同样也离不开历史的沉淀过程。这一完整的过程至少包括着感知、交流、反思、沉淀等阶段，数学文化正是在这一过程的循环往复中，不断充实，不断提升，其精神与思想方法逐渐成为人们采取行动、解决问题的指南。要使学生的数学学习过程同时成为数学精神与思想方法的文化积累过程，抛弃灌输、接受式的教学方式，探索与数学文化沉淀过程相匹配的教学方式是前提。与数学文化的历史沉淀过程相适应的教学方式包括着：在观察、实验、内省中体验感知，在同伴合作学习中交流碰撞，在与教师、教材、同伴互动中推敲、反思、完善，等等。在上面的教学中，我们更多地实践着这样的方式，即引导学生在多样的交流中，不断反思，逐步提升个体数学文化的创造层次。这种方式的构建来自于上面谈到的那次失败的实践。
翻开数学史，我们可以发现人类认识乘法的历史都经历了多个阶段，世界多个国家在符号化的过程中经历了“文辞阶段、缩写阶段、符号阶段”三个时期。而在那次试教中，我们直接要求学生创造“既写得简便，又表示9个2相加的新写法”，实质上就是要求学生的认识直接达到“符号阶段”的层次。这样做，既不符合数学文化发展的历史特点，更不符合学生的认知规律，结果造成学生的思维顾此失彼，教学效果大打折扣。因此，在课堂这个特定时空中组织富有文化内涵的数学教育，不能奢望学生的认识一步到位，而应根据数学文化发展的特点和学生的认知规律，组织瞄准学生最近发展区的教学，引导学生在不断的反思中逐渐提升对数学文化的感悟层次。学生在数学学习过程中进行反思，一方面源于与教师的交往互动，另一方面则源于学生间数学文化的交流沟通。从文化的历史性看，数学不管发展到怎样的程度，任何时期的数学成就都是不断站在巨人肩膀上的结果。这种数学文化的发展规律反映到数学教育过程中，就是断然不可缺少多样的讨论交流活动，以传递孩子们富有个性的理解、感悟，在各种理解的交流碰撞中，共享创造的快乐，丰富各自的思考方法，获取认知的新灵感。如此循环，直至达到高层次的再创造。也正是从这个意义上说，课堂情境中学生高层次的再创造，更多的是指学生群体的再创造，而不太可能是每个学生个体的再创造。这就如同乘法的现代表示方法不是英国数学家奥特雷德的个人成就，而是世代数学家的认识结晶一样。这启示我们组织富有文化内涵的数学教学，不是要引导每个学生个体都完全通过自己的思考实现高层次的数学文化创造，而通过交流与借鉴达到高层次的再创造同样无可非议。这样的教学才更贴近孩子们学习的实际情况，才能在课堂情境中获得实施的可能性。
    3．把数学教育看作一种文化活动，重要的是引导学生经历数学文化的创造过程。
从文化视角构建小学数学的教育过程，可以使我们的数学教育获得许多全新的启迪，但其重点可以放在引导学生经历数学文化的创造过程上。这样做，不仅与此次课程改革的重点是培养学生的创新精神与实践能力相一致，而且还可以促进学生获得多方面的发展。从数学史中我们可以看到，数学知识的每一次重要发展都鲜明地表现为人类数学思想的新飞跃，都饱含着人类先哲们向更高文明迈进的雄心与艰辛。因此引导学生经历数学文化的创造过程，得到的收获不仅仅是知识层面的，更重要的是在人心智的其他方面得到启迪与唤醒。例如，引导学生全身心地关注历史进程中知识的命运，从而产生为知识世界中的美好而不懈努力的愿望，获得数学思想上的洗礼，勃发创新的意识，等等。实际上，如果仅仅就知识的教学而言，富有文化内涵的教学可能不是种好方法，不仅费时，而且还没有多少收获。像上面谈到的“认识乘法”的新教法中，不管怎样引导，没有接触过乘法的学生们还是不可能再创造出乘法和乘号。也可能正是这个原因，致使绝大多数教师认为，没有必要在课堂上让学生经历由相同加数的加法到乘法的历史过程，不如把“还可以用乘法算”直接告诉学生。实际上，我们在设计新教法的初期，也曾深深地思考着这个问题：这样教价值在哪里？在思索中，我们渐渐地认识到，学生掌握了相同加数的加法也就具备了学习乘法知识的基础，但“相同加数的加法”这个知识本身并不具备再生新知识的能力，推动着相同加数的加法向乘法迈进的是符号化的数学思想。因此，组织学生经历乘法知识产生、发展的历史进程，引导他们通过自己的思索，意识到新写法的关键要写个“9”和“2”，把握住数学的本质，并用自己的符号把它们联系起来，学生们实实在在地做了回数学文化的创造者。创造的成果只不过由于历史的原因，而没有在现行的数学文化体系中留下痕迹。这样的课程设计唤醒了孩子们研究者、创造者的角色意识，感悟了数学的思想方法，其课程价值已远远超越了知识范畴。新的教学由于时间的关系，可能有些学生对乘法的读法等知识掌握得不很牢固，但这不妨碍学生在后面的学习中，把暂时缺失的知识补上。但我们的教学如果只是引导学生掌握了知识，那孩子们的一生都不会再经历乘法认识逐渐符号化的过程！这是因为当孩子们认识了乘法后，往往觉得相同加数的加法用乘法计算是应该的、理所当然的，不会再去思索怎样将相同加数的加法逐渐地符号化。因此，对于现行数学体系中已约定俗成的数学文化的表现形式，即使最终还是由教师把结果告诉学生，还是应该要注意引导学生经历数学文化的创造过程，而且数学文化活动的要义是符号化而不是符号本身，是算法化而不是算法本身，是语言描述而不是语言本身，……只有这样，学生通过数学学习，才能获得创造新文化的意识和能力，才能获得终身受益的文化力量。

注释：
①《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿），P2，北京师范大学出版社2001年7月。
②《数学文化学》郑毓信 王宪昌 蔡仲著，P381，四川教育出版社2001年1月。

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