您现在的位置: 范文先生网 >> 教学论文 >> 数学论文 >> 正文

一次作业评讲中的研究性学习

时间:2007-10-6栏目:数学论文

湖北省云梦县梦泽高中   周晓文
     
这是一次作业中的一道题:
问题:是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由:
(1) 渐近线为x+2y=0及x-2y=0;
(2) 点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为 .
这是一道流传较广的试题, 题目综合性较强,对学生的能力要求较高. 不出所料,作业收上来后,能够完整做对的学生为数寥寥. 然而我又欣喜地看到,尽管有些学生还不能完整地解决,但是如果循着学生的思路对此题进行重新审视,发现只要发动学生对这些思路进行评判、再探索,这其实是一个很好的研究性学习素材. 于是我专门用了一节课对此题作了评讲.
我先出示了学生T对此题的部分解答:
解:当双曲线焦点在x轴上时(焦点在y轴上的情况他还未考虑出),易知双曲线的右顶点到点A的距离最短.
由双曲线渐近线为 , 可设双曲线方程为 (b>0).
  双曲线的右顶点为(2b,0),
    .    故 .
因此这样的双曲线存在,且其方程为: .
尽管是部分解答,却也够“简洁”了!当同学们看完解答后,一时竟没有学生提出疑议——显然,他们也认为解答中用到的一个“事实”:双曲线的右顶点到点A的距离最短无疑是正确的. 经过一番思索后,终于有思维慎密、严谨的同学对此提出了置疑,然而他也一下子拿不出什么根据. 这时我适时地启发道,数学讲求的是严密,有时光凭猜测、估计,还不能揭示数学现象的本质特征,这个问题中,究竟是不是双曲线的右顶点到点A的距离最短,并不是“易知”的,它还需要我们的精确论证. 那么,我们能否对此问题作一研究呢?
同学们一个个情绪高涨,跃跃欲试. 不久,几个成绩较好的学生拿出了他们的研究成果:设双曲线方程为 ( > >0), A(m,0)(m>0)为x轴正半轴上一点,设P(x,y)为双曲线上任一点,其中 .

      =
      =
      = .
(1) 若 ≥ ,亦即 ≥ ,
则当 时, 最小.
(2) 若  即0< < ,亦即 < ,
则当 时,      最小.
至此问题已得到解决,当点A的横坐标 满足0< < 时,双曲线的右顶点到点A的距离最短(此时点A有可能在右顶点左侧,也有可能在右顶点右侧,在右顶点右侧时 < < );当 ≥ 时,双曲线上有两点到点A的距离最短(其横坐标均为 .
依据此结果重新审视学生T的解答,可知答案 是正确的,而当 时,点A在双曲线右顶点右侧,若右顶点到点A距离最短,则必须满足 < < ,而检验知此式不成立,故 应舍去.
毕竟是自己研究得到的成果,同学们的兴奋之情溢于言表,这时,我又出示了学生S对此题的解答.
解:假设满足条件的双曲线存在,且设其方程为 ,双曲线上到点A距离最短的点即以点A为圆心、 为半径的圆与双曲线相切时的切点.
联立 ,    消y得: .
  双曲线与圆相切,
   .             = 1.
故满足条件的双曲线存在,且其方程 .
乍一看,学生S的解答是无懈可击的,并且方法简捷、明快,显然,这是在学习了直线与圆锥曲线的位置关系后,学生用判别式讨论圆锥曲线与圆锥曲线位置关系的一个大胆的迁移,如果没有前面的分析作铺垫,我相信几乎所有的学生会认为这个解答是完满的. 但是,正因为有前面对此问题的研究,同学们发现,这个解答刚好是学生S没有研究的情形,而对于双曲线焦点在x轴上时的解,这个解答显然失掉了.
为什么会失去解呢?我不失时机地提出这个问题.
同学们一个个双眉紧蹙,陷入了思

[1] [2]  下一页

   

下页更精彩:1 2 3 4 下一页