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新皮亚杰主义在小学数学教学中的实际应用
新皮亚杰主义是对皮亚杰主义的修正和发展。它吸收了现代认知心理学的研究成果，详细描述了儿童智慧 的发展历程，特别是儿童在特定领域内的问题解决过程。这种发展理论对儿童心理的研究，使我们对不同发展 阶段儿童心理水平有了更为深刻的了解，为教学方法的改革提供了理论依据。
一、心理发展水平与儿童解决数学问题策略的关系
新皮亚杰主义认为：不同心理发展水平的儿童对客观事物及其特征知觉和注意的方式不同。年幼的儿童倾 向于注意事物较为具体的方面，并且在同一时刻内只能关注一个方面内有关该事物的情况。相比之下，年龄稍 大的儿童由于心理水平有所发展，逐渐过渡到能在同一时刻内思考事物某方面内不同特征的关系或者不同方面 间众多特征相互作用的机制，因而能从整体的角度思考问题。由于这种差异，在向不同发展水平的儿童提出同 一问题时，他们解决该问题的方法也有很大差别。心理学家通过一种任务分析的方法，首先确定解决某一问题 所有可能的方法以及采用某种方法所必须具备的心理发展水平，然后观察儿童在解决该问题上所表现出来的行 为，从而确定不同发展水平的儿童分别是采取什么样的策略来解决问题的。其中一个著名的例子是平衡臂问题 （如下图）。
（附图 {图}）
将平衡臂的两臂固定，并在两侧一定的位置上放置一定的重量，然后出示给儿童，并提出如下问题：如果 松开两臂，将会看到什么现象？是平衡、右边下落还是左边下落呢？在该问题中，有两个不同但互相关联的维 度；放置在每臂上的重量和该重量距离支点的长度。有三个独立的结果：左边下落、右边下落、平衡。将两个 维度的各种情况加以组合，共可以提出六种可能的平衡臂问题（见下表）。可以看出，随着问题类型的复杂性 不断增加，正确解答平衡臂问题所需注意到的变量数目也逐渐增加。正确解答前两个问题只需注意两臂的重量 多少即可，但若想正确解答长度问题，仅仅关注重量问题是不够的，必须能把重量距离支点的长度考虑在内。 对于含有冲突的问题，即某侧重量较多但距离支点的长度短，另一侧重量较少但有较长长度的问题，正确解答 时必须能同时考虑到左侧的重量、左侧重量距离支点的长度，右侧重量、右侧重量距离支点的长度这样４个变 量。通过这样的任务分析，心理学家确定儿童在解决平衡臂问题上可能会采取的四种策略。每种策略以规则的 形式表述如下：
（附图 {图}）
规则１ 如果两侧重量相等，则回答“平衡”；否则，选择“有较多重量的一侧下落”。
规则２ 如果两侧重量相等，选择“具有较长距离的一侧下落”；否则同规则１。
规则３ 如果一侧有较多重量，但另一侧重量距离支点的长度较长，对结果进行猜测；否则同规则２。
规则４ 如果一侧有较多重量，另一侧重量距离支点的长度较长，使用计算力矩的方法来解答；否则同规 则３。
研究表明，４～５岁的儿童使用规则１来解答问题。出示问题时，他们认为具有较多重量的一侧将下落； 如果两侧重量相等，则平衡臂处于平衡状态。这种策略只适合于解决重量被放置在支点两侧同样距离的问题， 即六类问题中的前两类。８～１０岁的儿童能够使用规则２。他们预测具有较多重量的一侧将下落，但如果两 侧重量相等，则重量距支点较远的一侧将下落。这种策略可解决长度问题。１３岁的儿童能使用规则３，当所 给问题中出现冲突现象时，如果一侧有较多重量，而另一侧重量较少但距支点较远，儿童会猜测哪边将下落。 对于规则４来说，它已涉及到有关平衡问题中的力矩计算的方法，因此，青春期甚至成年人也需要若干训练才 能自觉地使用规则４来解答平衡臂问题。可以看出，随着心理发展水平的提高，儿童所能关注的变量也逐渐增 加，相应地，他们正确解答复杂问题的能力也有明显提高。
二、影响儿童问题解决策略的因素
什么因素导致不同发展水平的儿童在问题解决上的差异呢？新皮亚杰主义认为，这种变化主要是由于儿童 工作记忆容量的限制。工作记忆是认知心理学中的术语，是人们对外界的信息或从长时记忆中提取的信息作短 时间的贮存并对其进行某种加工的场所。工作记忆的容量是非常有限的，大约只有５～９个单位
。如果工作记 忆中贮存的信息过多，就将导致对信息的加工无法进行；反过来，在对工作记忆中的信息进行加工时，相应的 贮存信息量也就减少了。正是工作记忆有限的容量限制了在特定发展水平上儿童所能使用的问题解决策略的复 杂程度。同是工作记忆容量有限，为什么年龄较大的儿童可以掌握更为复杂的解题规则呢？这里涉及到影响儿 童问题解决策略的另一个因素：基本操作或者说基本运算能力的熟练程度。年幼的儿童，基本的运算能力尚未 达到熟练程度。如在平衡臂问题中，计算两侧各自的重量数、确定每侧重量距离支点的单位数、对重量或长度 进行比较等等基本运算对年幼的儿童来讲是比较困难的任务，而对较年长的儿童（学龄中期或后期）来说，这 些基本的运算已经达到熟练甚至自动化的程度，不必占用他们过多的心理能量。因此，只有当儿童对基本操作 熟悉甚至达到自动化程度之后，才有可能在解决问题时使用较为复杂的策略。这种自动化使得儿童能把许多的 基本操作组合成一个组块，从而节省工作记忆空间，以便能够应用复杂的策略对信息进行加工。否则，即使是 非常简单的问题（如平衡或重量问题），也会使儿童付出很多的心理能量，占用较多的工作记忆空间。
三、减轻记忆负担，实现有效教学的两种方法
从前面的分析我们知道，成功解决复杂问题的前提是不能超出工作记忆的容量。心理学家提出，有两种教 学方法可以解决上面这个矛盾：（１）在解决复杂问题之前，对解决问题所需要的基本技能进行充分练习，达 到熟练甚至自动化的程度；（２）在解决复杂问题时，对问题所需基本运算是否正确不作严格要求，而只要求 能够掌握解决问题的方法。例如，如果要求儿童解决下面的应用题：“一个车间要装配６９０台电视机，已经 装了８天，每天装４５台，其余的要６天装完，平均每天还要装几台？”学生需要分析应用题中数量关系，已 知条件及所问问题，以确定正确的解题步骤；另一方面，学生还必须能对列出的算式进行正确的加、减、乘、 除等运算，从而得到正确的答案。如果此时儿童对这些基本运算尚未达到自动化的程度，则在解决该应用题时 ，很可能会由于集中较多的注意力去计算这样一个算式，而没有足够的记忆空间充分理解问题本身的数量关系 及解答步骤。这里，我们可以采取前面提到的两种方法，即先训练儿童基本的计算技能，在解决该类应用题之 前就要求儿童能够熟练地掌握基本运算；或者允许儿童借助计算器或其他计算工具来解决应用题中所列出的算 式；甚至干脆对算式运算是否正确不作严格要求，只要求学生说出解题思路。在这两种方法中，先使基本技能 自动化的教学方法的缺点是：单纯要求学生进行大量的基本运算可能会导致学生丧失学习兴趣。而放松对基本 技能的要求的教学方法主要是基于减轻学生同一时刻内所需处理的信息量，使其能集中精力理解题意，掌握问 题解决方法。这有助于提高儿童的学习兴趣。但这种方法会使儿童长期无法达到基本运算技能的熟练。不过， 两种教学方法都是为了能减轻学生记忆负担，使他们掌握解决复杂问题的策略成为可能。因此，在实际的教育 教学中，教师可以尽可能地减少影响儿童记忆负担的因素，如简化应用题中数值计算难度；选取儿童熟悉的题 材来陈述问题：通过图示的方法使复杂问题具体化；将繁难的问题分成若干简单问题等。这样儿童能有更多的 记忆空间用于思考问题解决中的关键因素，掌握更为复杂、有效的解题策略。我们通过下面的例子来说明如何 将该理论的研究成果直接应用于实际的教学设计之中，最大限度简化问题因素，使儿童掌握对其心理发展水平 而言比较困难的问题。
要求儿童观看等式４＋囗＝７，并填上所缺的数，这一问题是小学一年级课程中的一部分内容。该类问题 被称作缺加数问题。尽管表面上看起来比较简单，但对一年级的儿童来说，由于他们对数字符号及运算符号都 比较生疏，对所问的问题也不太清楚，当出示这一问题时，他们给出的答案常常是１１。这说明儿童主要注意 到了数字４、加号“＋”和数字７，并错误地应用了有关加法的知识来思考这一问题。一般来说，成人很容易 就能明白该问题中隐含的“部分——整体”的关系原则，并依次通过以下几步来解答这一问题：
（１）从左向右辨认符号；
（２）注意到所要求的数是两个加数中的一个；
（３）决定必须从“和”中（也是已知的）减去已知的加数；
（４）注意“和”的数值，并暂时记在脑中；
（
５）注意已知的加数值，并暂时记在脑中；
（６）“和”中减去已知的加数。
在这一系列解题步骤中，对儿童来说最难的是第三步，因为他们的知觉特点，很难在心理上把加法运算转 换成减法运算，不能充分地理解其中加数与“和”之间的“部分——整体”关系。但这并不等于说儿童不能理 解问题中的“部分——整体”关系，而只是因为陌生的符号和数字超出了儿童的工作记忆容量，他们没有更多 的心理能量来理解这种关系。解决这一矛盾的办法是创设一种儿童熟悉的问题情景，其中所涉及到的数学材料 是儿童熟悉的，而且这些数学材料是经过精心安排的。运用这些儿童所熟悉的材料可以教会儿童掌握缺加数问 题中的“部分——整体”关系原则。其所用材料及具体步骤如下：
首先，学生在熟悉的情景中学习等号的意义（见１、２）。
１．这些脸看起来相同吗？符号“＝”表示相同。
（附图 {图}）
２．你能使右边这个脸和左边那个脸相同吗？
（附图 {图}）
其次，学生在熟悉的情景中学习加号的意义（见３、４）。
３．符号“＋”表示把两个半脸合在一起。左边两个半脸合在一起时和右边这张脸相同吗？
（附图 {图}）
４．记住“＋”表示两个半脸合在一起。现在你能使右边这张脸和左边两个半脸合在一起的脸恰好相同吗 ？
（附图 {图}）
第三，学生在熟悉的情景中学习缺加数的意义（见５、６）。
５．记住“＝”表示两边相同。画上一些图形，使这边和那边恰好相同。
（附图 {图}）
６．记住“＋”表示两个合在一起。现在你能使这一边和那一边恰好相同吗？
（附图 {图}）
第四，学生学习应用这种方法解答缺加数问题（见７、８）。
７．在空白方框中画上小圆点，使等式成立。
（附图 {图}）
８．在空白方框中填入所缺数字，使等式成立。
（附图 {图}）
纵观这一系列教学步骤，可以看出问题解决所需的变量数逐渐增加，每一步骤中引入了一种复杂因素。此 外在具体教学过程中还要进行指导，并设立各种各样的练习项目来巩固儿童在每一阶段所获得的理解。这种精 心设计的教学步骤能帮助儿童在熟悉的条件下理解某一原则，然后迁移到抽象或陌生的领域及问题中去。采取 这种方法，即使儿童的发展水平严重地限制了其工作记忆容量，也可以保证儿童学会某一数学问题。
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