在数学教学中培养学生的创新思维能力
随着科学技术的发展和人类社会的进步，知识经济的时代已经来临，知识经济对创新能力提出了更高的要求。《高中数学课程标准》中明确提出“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用”，“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识”。这就要求我们从课堂教学改革入手，探索进行创新教育的有效途径。下面谈谈在数学教学活动中培养学生创新思维能力的一些做法和体会：
一、设计知识的再创造过程，让学生体验发现与创造
教材中的概念、公式、定理是学生学习的重要内容，对学生而言都是新的，但教师不必将各种规则、定律硬灌输给学生，而是应该引导学生运用已有的经验、知识、方法去探索和发现，从而获得新知，这对学生而言是一个知识的再创造的过程。在讲诱导公式sin(180°+ )=-sin 时，湖南省冷水市涟邵二中刘利民老师没有根据教材顺序进行讲解，而是设计了如下步骤：（１）用三角函数定义求sin60°、sin240°（教师强调在同一坐标系中求，为证明作铺垫）；（２）由学生谈感想并进行猜想。大部分学生得出两种想法： sin240°=-sin60°、sin(180°+ )=-sin （ 为锐角）。再经过思考，有学生进一步猜想：sin(180°+ )=-sin R；（３）引导学生验证。教师设问提示：如何在同一坐标系中求sin 、sin(180°+ )呢？学生都在 终边上取一点p(x , y)，设op=r，并顺利找到180°+ 的终边即 终边的反向延长线。接着，有的学生在180°+ 的终边上任取一点p′，借助相似三角形性质验证；有的学生在180°+ 的终边上任取一点p′，并使o p′=r，利用对称性验证。教师对学生的猜想和证明肯定后，要他们看教材进行比较，并展开讨论，有的说：“单位圆是画蛇添足”，有的说：“单位圆更简单”。学生在对知识的探索和争论中，获得对发现和创造的体验。
二、创设情境，增强学生的创新意识
1、诱发好奇心理，培养学生的探索精神
教学中充分激发和利用学生的好奇心有利于提高课堂教学效果，而这样的过程又能使学生的好奇心理得到进一步强化。如用现代教学手段增强新奇感（运用多媒体演示太空星球运动、运用几何画板演示动点轨迹），运用生活中的现象增强趣味性（用打桥牌时对牌的分布的可能性引入概率、用几只弹簧称演示向量的合成与分解），运用数学史料激发求知欲（用数学史上的三次危机引入无理数、用国际象棋发明者与印度国王的故事引入等比数列）。
在学生的好奇心被充分调动后，利用学生的好奇心和求知欲，给学生提供探索和发现的机会，鼓励学生透过现象看本质，激发追根求源的探索精神。如讲正弦定理时，不按照先推导公式再研究其应用的传统模式进行，而是先给几个具体问题让学生研究。例如，已知a=3，b=4，B=60°，求A；已知a=3，A=30°，B=120°，求b等等。学生分别用构造直角三角形的方法解决了这些问题后，自然产生这样的感觉：能否建立一个模式来统一解决呢？这样既激发了学生的探索热情，又使正弦定理的引入变得水到渠成。再如，讲点到直线的距离公式时，学生自然地想到过P(x0，y0)作直线L：Ax+By+C=0的垂线，先求垂足Q的坐标，再求︱PQ︱。我没有因其较繁而打断学生的思路，而是让他们继续操作并加以解决。学生解决后自己也感到挺繁的，意识到应该寻找更简捷的解决方法，探索性思维又一次展开了。教师适时给予指导：若点P在y轴上是否可以来得简单一点？受此启发，学生经过一番研究，多种崭新的方案出台了。
2、培养化归意识，鼓励大胆猜想
归纳法是通过一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而得出一般结论的推理方法。以某些已知的事实和一定的经验为依据，对数学问题作出推测性的判断即猜想。化归意识的培养，不仅有助于实际问题的解决，而且有助于养成自觉地联想、自觉地调整思维方式的钻研精神和思考习惯。数学上的许多创造都是以猜想为前提的，著名的哥德巴赫猜想“任何一个大于２的偶数都可以表示成两个素数之和”就是一个典型的例子。在讲组合数的性质时，我先让学生计算考察下列组合数：C 与C ，C 与C ，C 与C ，从而归纳猜想出组合数性质C =C ，最后再对该性质加以证明。在讲等差数列的概念时，让学生填空（１）1，4，7， ，13， ；（２）3，0， ，-6， ， 。引导学生将观察与思维有机结合，分析与猜测同步进行。在平时的教学过程中，教师有意识地提出问题而不忙于解答，先让学生猜想问题的答案，再运用所学数学知识进行解决、证明是发展学生想象力和洞察力的有效途径。
3、选择适当的教学内容，指导学生进行研究性学习
教材中有些章节没有新概念，具有基础性和可迁移的特点，可以指导学生独立研究学习：教师向学生提供探究的问题，让学生自己探索得出结论。如在讲正切函数的图象和性质时，刘利民老师考虑到几何法作函数图象的局限性和描点分析函数性质作图应用的广泛性，因而微调教材内容（几何法改为描点法）：要求学生用描点法并分析函数性质作出y=tanx的草图。学生独立思索，约用了２５分钟，有的同学作出了错误的图象；有的同学作图正确但对单调性的判定凭直觉；有的同学推理有据，作图正确，颇有见地。在研究过程中，函数性质不教自明，下面是学生中一种比较典型的探索、研究过程：（１）令x=0， ， ， ，2 ，求tanx并描点；（自我启示：①发现五点法作图行不通，应描更多的点；② x k + ; ③ 意识到函数具有周期性，并由诱导公式推得周期为 ）；（２）令x= ， ， ，求tanx并描点；（自我启示：①意识到y=tanx为奇函数并由诱导公式得证；②意识到函数在(- ， )递增）；（３）作出正确的草图。
三、提高思维品质，培养学生的创新能力
1、一题多解，培养发散思维能力
对教材中例题、习题一题多解有利于调动学生思维的积极性和创造性。在解题教学中，不要片面追求学生的思路跟教材一致、跟教师一致，而要创设态度民主型、思维开放型的课堂。教材中例题一般只给出一种解法，但其中有不少题却有多种解法，教师要在备课中尽量挖掘出来，在课堂上通过点拔、暗示体现出来，凡是学生有能力解决的，教师只作评价和总结。如在讲例题：已知tan =- ，并且 是第三象限角，求 的其余三角函数值时，我要求学生自己寻找解题思路，学生先后找出四种思路：直接运用三角函数定义（几何解法），分别运用同角三角函数基本关系式中的三个平方关系。而在讲不等式证明题：已知0<a<1，0<b<1，求证 + + + 2 时，学生想到了分别用不等式、复数、解几、平几等有关知识进行证明。这样既有利于学生系统掌握所学知识，又有利于培养学生思维的灵活性和广阔性。
另外，数学学习中的一空多填、一式多变、一题多变、一题多问、多题一法；数学方法中的变量代换、几何问题代数化与代数问题几何化、几何变换；数学解题中寻找简便解法、反常规解法以及独特解法的训练等，都有助于发散思维能力的培养。
2、鼓励质疑提问，培养思维的批判性
古人云“学贵有疑”，疑就是一种批判精神，思维的批判性是创造性思维的一个重要特征。学生的提问质疑不仅可以锻炼其思维能力，而且在疑的基础上让学生探讨问题的答案，还可以培养其学习的主动性。在讲直线方程时，我曾经出过这样一道题让学生思考：河岸（直线l方程：x+y-3=0）的同侧有A(-1、1)、B(2、-3)两地 ，若B地失火，某人从A地出发到河中提水去B地救火，问此人应如何走法速度最快？本来目的是考查学生直线方程的有关知识，多数学生也正是如此，先求点A关于直线L的对称点A′，再求A′B方程，确定A′B与直线L的交点 。正当我颇为得意之际，有一个同学突然站了起来：“老师，这道题不好做，因为提水救火时空桶、满桶速度不一样”。粗一想以为学生是故意捣乱，不禁火苗直窜；细一想这位学生的话很有道理，学生考虑问题比我全面，正是学生的大胆质疑提醒了我原题出得不够严密。对这位学生不但不应该批评，而且应该表扬、鼓励。
3、发展直觉思维，培养对美的感悟能力
直觉思维是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考察问题，注意挖掘事物内部的本质联系，借助对称、和谐、简单、统一、奇异、突变等数学美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。对数学美的追求和感悟，让学生独立地感受这些美及其思维功能，熏陶着创造的情思和意志，增强了创造美的能力。如教材中概率部分有一道题：边长为n 的正方体由n3 个边长为1的小正方体组成，问其中看不见的小正方体有多少个？看得见的小正方体有多少个？这道题可以有好几种其它解法，但都较繁，而直觉思维能力强的同学却可能会发现：从大正方体的顶面、前面、侧面各剥去一层小正方体，剩下部分恰好就是看不见的小正方体。于是很快得出结论：看不见的小正方体有(n-1)3个，看得见的小正方体有n3-(n-1)3=3n2-3n+1个。而在讲诱导公式时，我没有直接讲公式而是先让学生猜想sin130°与sin50°、cos130°与cos50°的关系，然后再引导学生进行证明，后来一位原来没有猜对正确答案的学生说：“本来我就应该知道的，130°与50°的角的终边关于y轴对称，它们之间应该有着特殊的关系……”。学生的话对我感触很深，我们应该充分利用和发展学生对美的感悟能力啊！
学生创新思维能力的培养还可以通过引入数学开放题、指导学生撰写数学小论文、教师在教学过程中多一份耐心和宽容、允许学生尝试乃至失败等多种途径加以培养。当然，创新思维能力的培养非一朝一夕之功，但只要我们在自己的教学实践中不断研究教学方法，不断探索教改之路，就一定能使学生的创新思维和创新能力不断提高。
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