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数学思想和方法的教学

时间:2022-08-17 17:33:08 数学论文 我要投稿
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数学思想和方法的教学

数学思想和方法的教学

数学思想和方法的教学

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九年义务教育《数学课程标准》(以下简称“标准”)对初中数学中的基础知识作这样的描述:“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等,以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”把数学思想和方法作为初中的基础知识在标准中明确提出,在素质教育中的重要性和必要性由此可见一斑。通过多年的教学实践,我们认为应注意以下几个方面:

一、把握“层次”,克服盲目性

综观“标准”在初中要求学生“了解”的数学思想计有:转化的思想、分类的思想、数形结合的思想、类比的思想;要求“了解”的方法有:分类法、类比法、反证法;要求“理解”或“会运用”的方法有:待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图像法。这里,“了解”、“理解”、“会运用”是教学要求的具体尺子,随便提高或降低都会给这一基础知识的教学带来困难。特别是若把“了解”的层次提高到“理解”的层次,把“理解”的层次提高到“会运用”的层次,则学生从一开始便会觉得数学思想和方法高深莫测,从而失去学习数学的信心。

二、讲“方法”联系“思想”,以“思想”指导“方法”,两者相得益彰

数学思想和方法本来是不能截然分开的,中学数学中用到的各种方法都体现着一定的思想,但数学思想是属于数学观念一类的东西,比较抽象,而方法则较为具体,它是实施有关思想的技术手段,对于初中学生来说尤其如此。因此,通过对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解,是使思想与方法得到交融的有效方法。例如,初中数学中涉及最多的是转化的思想,大致有从未知到已知的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、由此及彼的转化等等。为了实现转化,引入了许多数学方法,比如消元降次法、换元法、图像法、待定系数法、配方法等。通过以上重要方法的学习,使学生充分领略到数学思想的风采,同时,数学思想的指导,更促进了数学方法的使用和巩固。

例1、解方程  

解:移项,把原方程变形为  

 

即     

设                   则有

即                      得    

由此                 或                  (舍去)
求得       ( 验根略 ) 

解无理方程的实质是把无理方程转化为有理方程,转化的方法就是把方程的两边同时乘方或换元,此方程结构复杂,两边平方不会轻易达到目的,因此,只有通过换元,而本题换元必须要有一个巧妙的构思,这个构思过程使学生对换元法理解的更加深刻了。

三、既要重点讲解,又要逐步渗透

教材中的许多公式、概念、定理等本身就隐含着丰富的数学方法的内容。如分类的思想方法,“标准”虽在“三角形”和“四边形”这两部分内容才提出来,但分类的思想和方法在教材的许多内容中都已经涉及到。

例如,有理数概念的教学:有理数是一个以外延定义的概念,课本中这样叙述:“整数和分数统称有理数”。它揭示了有理数的所有外延,即不扩充也不遗漏,这本身就体现了分类的思想方法,在数学教学中可依据具体情况对有理数作出不同的分类。

几何中有更多的分类内容,如:角的分类、三角形的分类、四边形的分类、圆周角的定理的证明、弦切角定理的证明、正弦定理的证明等等,不一而足,这些教材都为学习分类的思想方法提供了极好的素材,教学中应重视使用。

四、寓数学思想方法于教材教法之中,优化学生思维品质

数学思想方法不同于其它基础知识,不能用符号、图形、式子等表示,不可能在一节或几节课内完成。为了使学生在初中得到一些数学思想方法方面的陶冶,只有教师在平时的课堂教学活动中结合教材、教法有意识地有目的地进行传授,使学生慢慢地消化、吸收,天长日久才能达到潜移默化。

1、经常归纳,训练思维的深刻性

归纳的思想就是由个性到共性,由特殊现象归纳出一般的规律,从而从本质上把握事物。   

例如,一元一次方程应用题中关于浓度问题的教学,引导学生做如下的练习:现有含盐10%的盐水300千克,

要配成含盐8%的盐水,需要加水多少?

要配成含盐15%的盐水,需要加盐多少?

要配成含盐18%的盐水,需要加入含盐25%的盐水多少千克?

做完以上练习之后,教师可以启发学生思考:如果把水的浓度看作0%,盐的浓度看作100%,三种类型的列式可否归纳为一种?

2、类比联想,训练相似思维

相似思维就是从一个事物的性质变化规律,去研究和发现另一有相似性事物的性质和变化规律,从而寻找解决问题的方法,相似思维需要联想,而类比的方法是联想的一种重要有效的途径。

如列一元一次方程解应用题,在讲完了行程问题之后,再讲工作量问题,可以引导学生这样思考:比较时间与工作日、速度与工作效率、距离与工作总量的意义,写出各自三个量之间的关系,分析在列方程中,等量关系是否有类似之处?

经分析得出:可以把工作量问题按照行程问题一样处理,另有工程问题、水流问题都与行程问题基本一致。

3、寻求转化,训练创造思维

前面提到,转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想,转化思维是创造思维的核心。

例2、证明方程 ( x - m )( x + n ) = 1有二个实根,且一根大于m ,一根小于m 。

此题若用常规方法是十分困难的,但若能联系二次函数的图像,应用数形的转化,会使问题很快地得到解决。

证:设 y = ( x - m )( x + n ) - 1 ,则其图像为开口向上的抛物线,取其上一点( m , -1 ),此点在x轴下方,根据抛物线向上无限伸展的特性,必然与x轴交于两点,则交点 A(x1 , 0),B(x2 , 0) 必在 (m , 0) 点的两旁,原题得证。(图略)

总之,教师在教学的各个环节——备课、讲课、辅导、作业布置等教学活动中,应努力挖掘适合初中学生的有关数学思想方法的知识,有意识地、长期地坚持进行,提高学生的素质,使教学水平更上一层楼。


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