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往复曲线运动中自然坐标系的应用

时间:2022-08-04 18:31:46 数学论文 我要投稿
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往复曲线运动中自然坐标系的应用

  往复曲线运动中自然坐标系的应用

往复曲线运动中自然坐标系的应用

  严非男,陈俊,皇甫泉生

  (上海理工大学理学院,上海200093)

  摘要:本文分析了往复曲线运动(以单摆为例)中自然坐标系单位矢量正方向的选取,给出了弧坐标的定义,使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示,并使角位移θ与弧坐标s的正负规定相一致,解决了学生学习中的困惑。

  关键词:自然坐标系;单位矢量;单摆

  多年来,对于自然坐标系中单位矢量的规定,人们不断探讨,提出了各种规则[1-3],在不同场合的应用中各有利弊[4-6]。往复曲线运动,是理工科高校大学物理教学中常见的一种质点运动的方式,因为其轨迹已知,此时采用自然坐标系分析质点的运动比较方便。按照普通物理教材[2]中自然坐标系切向单位矢量的规定(与质点速度方向同向),分析单向的曲线运动时,图像非常清晰,学生易于理解和接受。但是,笔者在教学实践中发现,分析往复曲线运动(例如,单摆运动)时,不少学生往往对切向合力的正负心存疑惑,不甚理解。本文认为,在这种情况下,根据文献[1]中的规则,并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式,可以使切向动力学方程得到统一的表示,较好地解决学生的困惑,同时加深学生对自然坐标系的认识。

  一、问题的提出

  以单摆为例。如图1所示,设l为摆线的长度,m为小球的质量。小球在重力和绳子拉力的作用下,做小角度往复圆弧运动。摆线竖直位置为系统的平衡位置,由此起算,规定逆时针方向的角位移θ为正,反之为负[7]。在自然坐标系中,重力的切向分量与θ反向,根据牛顿运动定律得:

  当θ很小时,sinθ≈θ,所以往复曲线运动中自然坐标系的应用

  这是一个典型的简谐振动方程,其振动表达式为往复曲线运动中自然坐标系的应用

  式中θm为角振幅,为初相位,它们由初始条件决定;往复曲线运动中自然坐标系的应用为振动的圆频率。因此,单摆在摆角很小时,做角谐振动。

  在上述推算中,方程(1)中切向力前面的负号是关键所在,但是学生也往往就对这个负号感到困惑。按照教材
上的规定[2],自然

  二、自然坐标系中单位矢量的取向,弧坐标的定义、速度和加速度的表达式

  本文认为,根据文献[1]中的规则,并进一步明确弧坐标的定义以及速度和加速度的表达式,可以使得方程(1)普遍成立,并使方程(1)中θ的正负与弧坐标s的正负规定相一致,从而较好地解决学生的困惑。

  依据文献[1],自然坐标系的法向单位矢量往复曲线运动中自然坐标系的应用指向曲线的凹侧,切向单位矢量往复曲线运动中自然坐标系的应用逆时针转动π/2与往复曲线运动中自然坐标系的应用重合,如图3所示。也就是说,往复曲线运动中自然坐标系的应用  的方向不必随着小球的运动不断地变换。

  以轨迹上的平衡位置O点作为参考点,小球在轨迹上的位置用O点至小球所在点的弧长s来确定,s称为弧坐标,为代数量,规定为与往复曲线运动中自然坐标系的应用同方向一侧为正值,与往复曲线运动中自然坐标系的应用反方向一侧为负值。显然,s=lθ (4)

  因此,s和θ的正负值的规定是相一致的,不会产生矛盾。由平衡位置起算,逆时针方向的角位移θ为正,此时,s也为正;反之,两者都为负值。

  三、单摆切向动力学方程的普遍性

  按照上述的取向规定和弧坐标的定义,再来分段讨论单摆的切向动力学方程,将发现方程(1)是普遍成立的。

  四、结论

  本文分析了往复曲线运动(以单摆为例)中自然坐标系单位矢量正方向的选取,并进一步给出了弧坐标的定义,使单摆小球的切向动力学方程得到了统一的表示,并使角位移θ的正负与弧坐标s的正负规定相一致,较好地解决了学生的困惑,加深了学生对自然坐标系的认识和理解。

  参考文献:

  [1]马长占。对《自然坐标系中的符号规则》一文的异议[J].大学物理,1988,(5):9-11.

  [2]程守洙,江之永。普通物理学上册[M].第六版。北京:高等教育出版社,2006:14-16.

  [3]周衍柏。理论力学教程[M].第3版。北京:高等教育出版社,2009:80.

  [4]陈洛恩,陈时锦,杨红,李梅。自然坐标系浅析[J].云南师范大学学报(自然科学版),1999,19(5):73-76.

  [5]马淑红,王天兴,焦照勇。坐标轴正方向选取对力学问题求解的影响[J].高师理科学刊,2014,34(3):62-65.

  [6]尹海峰,曾春花,岳莉,陈广萍。自然坐标系单位矢量的新认识[J].铜仁学院学报,2014,16(4):138-140.

  [7]程守洙,江之永。普通物理学下册[M].第六版。北京:高等教育出版社,2006:10-11.

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