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在高等数学教学中使用矢量动画技术的思考与实践
在高等数学教学中使用矢量动画技术的思考与实践
王彦辉
（桂林航天工业学院理学部，广西桂林541004）
摘要：分析了在高等数学教学中使用多媒体技术手段的现况，研究了高等数学的学科体系和矢量动画的优势，结合作者的教学实践，论证了在高等数学的教学中使用矢量动画的可能性和必要性，并给出了制作和使用多媒体的具体建议。
关键词：高等数学；矢量动画；教学
基金项目：桂林航天工业学院2013年度教学改革研究项目基金资助（2013JB26）
作者简介：王彦辉（1973-），男，河南内乡人，副教授，硕士，桂林航天工业学院理学部教师，主要研究方向为组合数学和组合网络理论。
一、研究现状
从目前CNKI数据库来看，研究多媒体技术在教学中应用的文献已是俯拾皆是，把多媒体技术应用于高等数学方面的文献也是随处可见[1，2，3]。但是，却鲜有以极限理论为基础，结合复杂研究的算法程序设计，能真正实现把高深的数学理论用精确的坐标计算具体呈现出来的可用于教学和理论研究的多媒体作品。为了说明定积分中微元法的应用，一般的多媒体作品只是连续展现几幅静态的图片，其实无法说明问题。很明显，这样做也是在使用多媒体技术，但很难让学生真正理解极限的过程。在2013年12月第十三届广西高校教育教学软件应用大赛中，我们的参赛作品《定积分的概念》使用矢量动画技术，把微元法的切割过程完整地展现出来，并且切实比较了损失的面积和盈余的面积都会随着分割的加细不断减少。观察减少的过程中，学生们很容易发现这种减少的变化是与取点无关的，从而理解得出微元法的基本思想（该作品是矢量动画在《高等数学》教学中应用的一次尝试，并荣获本年度广西赛区理科组二等奖）。
二、学科知识体系和动画技术分析
在大学生所开设的课程体系中，《高等数学》无疑是一门极为重要的基础课，其覆盖面之广、影响力之大是其他学科无法比拟的。因此，《高等数学》的教学效率与教学质量备受关注。近年来《高等数学》教学处于一个两难的境地：既要面临压缩学时的压力，又要增加新的教学内容（如数学实验、数学建模等）。要解决这一矛盾，“黑板+粉笔”的传统教学方法已经满足不了需求。多媒体教学是利用多媒体计算机将符号、文字、图形、图像、影像等媒体综合为一体，同其他传输信息的媒体进行控制组合，相互补充，实现人机交互。随着多媒体技术引入《高等数学》的课堂教学，为我们寻找更为有效的教学方式提供了新的途径。从学科的知识体系上来分析，《高等数学》的一切问题，说到底就是个“极限”问题。整个微积分部分（也就是绝大多数本科院校开设的《高等数学》的内容）的知识框架如图1所示。
由上图可以看出，如果没有了“极限”的概念，整个《高等数学》就不复存在。但是，对于学生们而言，“极限”却是个很难理解的概念。《高等数学》中关于“极限”的定义有“数列的极限”和“函数的极限”共2个，“函数的极限”又分为x→+∞，x→-∞和x邛x0共3种情况，最后一种情况x邛x0又被细分为x→x0-和x→x0+两个方向。之所以如此层层铺垫、循循善诱才给出“极限”的定义，就是因为“极限”这个概念与以往任何一个数学概念都不同，能否精确把握这一概念又关乎整个学科学习的成败。现代数学教材中，一般采用“ε-δ”语言来定义“极限”。仔细分析这个定义就会发现，这是一个动态的事物，不是静止不动的。ε要多小就有多小！感觉就是个“不便说，只能悟”的话题。如何才能把这个概念说“动”？这是对教师教学技能的最大挑战。传统的方法，使用静态的黑板和粉笔，教师要想解释清楚这个动态的概念，主要靠自己教学经验和学生们积极主动地配合和感悟。怎样才能让学科基础不是很好的学生也能比较充分地理解“极限”的概念？
如何才能更好地解释清楚这个动态的概念？最好就是使用动画技术！动画技术的优势就是“动”，把一个动态的事物用动态的形式表现出来，无疑是最适宜的。众所周知，阐明一个事物可以采取的多种方法，这些方法按照达到的效果可以排列为：说不如文（口头说话不如文字表达），文不如表（文字表达不如建立表格），表不如图（表格数据不如画图），图不如动（静态的图表不如动画）。动画技术，本就是阐述复杂事物的有效手段，对《高等数学》中的抽象概念尤为适用。目前，制作矢量动画最常用的软件就是Flash CS系列，该软件具有以下4个特点：
1. 课件较小。Flash采用的是现在流行的矢量技术，用它创作的课件作品，不但交互功能强大，动画效果丰富多彩，无级放大的矢量图永远不会产生锯齿和马赛克，而且拥有共享图库的功能，因此Flash课件体积小巧，便于网上传播和携带。
2.交互性较强。Flash课件有很强的交互性适合用于各科教学。它拥有自己的语言编辑功能（Action-Script语言，简称AS），AS语言功能比较强大，可以编辑各种特效，随意控制动画的播放、跳转与停止，并且简单易学。
3.图文并茂。Flash本身具有极其灵巧的图形绘制功能，更重要的是它不但能导入常见格式的图像，而且能导入专业级绘图工具绘制的图形，并能使其产生翻转、拉伸、擦除、歪斜等效果，还能将图像打散分成许多单一的元素进行编辑，设置图形的属性。
4.动画优美。用Flash表现物体的运动和形状渐变非常容易，其发生过程完全自动生成，无须人为地在两个对象间插入关键帧。运用引导层可以制作各种不同的运动方向及路径，可产生极好的自然动态效果，甚至可以绘制逐帧动画，让创意无限发挥。
三、在高等数学的教学中使用矢量动画
为什么要把矢量动画技术引入《高等数学》的教学中？原因之一，《高等数学》本身具有严谨而复杂的逻辑体系，其与中学数学最大的不同之处，就在于中学数学研究的问题是静态的，如三角、比例、数，而《高等数学》以极限理论为基础，其研究的主要内容如导数、微分、级数等都是动态的。以静态的观点去学习《高等数学》无异于南辕北辙，这就是很多在中学还对数学颇有兴趣的学生到了大学却对数学畏如途虎的原因[4]。原因之二，矢量动画的无损放缩技术可以把极限理论的动态过程具体地显示出来，将有助于学生理解《高等数学》的重要理论和提高对《高等数学》的兴趣。如函数y=f（x）是一段光滑的曲线，几乎曲线上所有的点，如果逐级放大，就会发现，在这些点的附近，越是靠近这些点的地方，几乎都是一段直线，唯一不同的只是直线的倾斜程度不一样。这个不一样的倾斜程度，就是《高等数学》中极为重要的基础概念：导数。
但是，也存在这样的一些点，无论怎样放大，在这些点的附近，总是有明显的折弯，并不会呈现为一条直线。在《高等数学》中，称前者为“可导”，后者为“不可导”。静态的显示缺乏说服力，只有学生们预先承认图片的来源才能接受对应的知识。这种先入为主的教学形式显然有违科学的精神。学生们真正想看到的不是这些静态的图片，而是要亲眼看到曲线的局部放大、放大、再放大……这样的一个过程，使用矢量动画技术，就可以把这个逐级放大的过程完整地呈现给学生，加深理解。就像是学生们自己拿着一个高倍的放大镜去审查曲线上的点一样，层层递进，不断加大倍数进行放大，深入曲线的细节，切实区分清楚“可导”与“不可导”之间的区别和联系。
传统的“黑板+粉笔”根本无法把这一趋近过程准确表达出来，学生们也就无法真正理解为什么这个极限不存在，也无从得知当自变量x很靠近0时究竟发生了什么，理论上的推导和实际能看到的图形总是有很多偏差。如果借助数学软件，如Mathematica等，选择不同的定义域分别绘图，也可以辅助理解函数的变化情况。但是还需要学生凭借抽象的理性思维，把这几幅离散的图片关联成一个连续的动态过程，这当然不是所有人都做得到的。如果使用多媒体动画中的矢量动画技术，再辅以精巧的程序设计，我们就可以把这个不断深入曲线局部的过程连续地、温和地展示出来，不容置疑地把整个变化过程演示出来，学生们也可以在不断深入、抽丝剥茧的过程中真正把握实数的稠密性和连续性，从而获得对数学的更感性的认知。
总之，使用多媒体手段，借助信息化技术程序设计，不仅可以刺激学生学习的积极性，还可以更生动形象地表现出运动和变化的整个过程，有利于教师的教和学生的学。
参考文献：
[1]唐荣荣。多媒体技术在高等数学教学中适用性的分析[J].中国大学教学，2013，（07）：65-67.
[2]曾庆茂，郭正光，周裕中，徐妤，郭军。在高等数学教学中运用数学史知识的实践与认识[J].教育教学论坛，2015，（06）：115-116.
[3]唐刚。浅议信息技术与高等数学教育的整合[J].漯河职业技术学院学报，2013，（05）：132-133.
[4]史艳华，王芬玲。高等数学与高中数学的衔接问题探讨[J].教育与职业，2013，（20）：127-128.
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