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个人账户中养老金给付精算模型及其应用
一、引言1997年，《国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定》（以下简称《决定》）规定，中国现行基本养老保险制度选择社会统筹与个人账户相结合的部分积累制，主要目的是预筹资金积累，防范人口老龄化高峰到来之际养老金支付危机。社会统筹采用现收现付模式发放基础养老金，个人账户采用完全积累模式发放个人账户养老金。个人账户缴费的累积额用于退休后平均余寿期间的养老金支付，超过平均余寿期间的养老金由社会统筹基金支付。个人账户使得个人缴费和享受之间建立起直接的联系，增加了缴费的灵活性。在职工调动工作时，由于个人账户的归属权明确，个人账户的累积额可以随同职工转移，有利于职工的流动。
《决定》规定对《决定》实施前已经退休的职工，仍按照国家原来标准发给基础养老金，不发放个人账户养老金。对《决定》实施前参加工作、实施后退休的职工（简称为“中人”）按照新制度规定办法发放基础养老金和个人账户养老金，并在基础养老金和个人账户养老金基础上再确定过渡性养老金。过渡性养老金从养老保险基金中解决，具体办法，同劳动部会同有关部门制定并指导实施。但中国至今关于“中人”的过渡性养老金的发放问题尚未解决。对《决定》实施后参加工作的职工（简称“新人”和“中人”个人账户养老金月标准为本人储存额除以120。但这一标准忽略了预期利率的变化。
针对本世纪人口老龄化的到来，退休人员的养老金的发放标准显得日益重要的事实，笔者利用保险精算学中生存年金理论分别给出“新人”和“中人”的个人账户下养老金给付模型，并结合社会养老保险中公平、效率原则给出“中人”过渡性养老金给付模型，由此得到的个人账户下养老金给付模型具有重要的理论和参考价值。根据个人账户给付模型和1990年全国市镇职工从业人口生命表的数据，得出个人账户下养老金发放标准偏高的结论。这一结论对制定个人账户下养老金发放标准具有重要的实际应用价值。
二、个人账户中养老金给付精算模型
个人账户平衡的精算模型是根据未来给付精算现值等于未来缴费精算现值的基础进行精算估计。未来给付精算现值是个人账户承诺的所有未来给付在计算时点的现值，未来缴费精算现值是职工在职期间个人账户中缴费累积额在计算时点的现值。
（一）“新人”个人账户中养老金给付精算模型
《决定》规定，对“新人”缴费按工资的某一固定比例缴费，个人账户养老金给付额在其退休后按个人账户的累积额发放养老金。
不妨设“新人”在个人账户下开始缴费的年龄为α岁，退休年龄为r岁，ω为职工生存的极限年龄。每年养老金发放额为b[,r]，以(PVFB)[,a]。表示a岁职工的未来给付精算现值，则
附图
上式为中国个人账户中“新人”养老金给付精算模型，其年给付额与个人账户的缴费率、初始缴费工资、利率、职工的生存概率（注：职工的各年生存概率参考1990年全国市镇职工从业生命表中数据。）有关。
（二）“中人”个人账户中养老金给付精算模型
《决定》规定，制度转轨后，“中人”的缴费率与“新人”相同，个人账户养老金给付额在其退休后以个人账户累积额为基础发放养老金。但“中人”在现收现付制下由于缴费而积累了获得养老金的权利，根据社会养老保险的公平、效率原则，在计算“中人”个人账户养老金发放时，需加上“中人”的这部分养老金权利，“中人”的这部分养老金称为过渡性养老金[2]。过渡性养老金从社会养老保险基金中筹取，过渡性养老金的发放额可根据“中人”在现收现付制下的工作年限、缴费额等条件利用精算学中生存年金理论确定。
设a岁参加工作，现年y岁“中人”在《决定》实施前具有y-a年（即缴费和视同缴费的年数）缴费年数，
当k=0时，表示退休给付不作调整，职工退休后每年得到的养老金数额相等。
“中人”退休后，由过渡性养老金总权利在y岁时的精算现值：
附图
由此可得，“中人”在退休后由个人账户累积额领取的每年养老金为：b[,r]+b[,ro]。（现收现付制下退休职工的养老金规定为替代率乘以职工退休前一年职工平均工资。）
三、个人账户下养老金发放标准问题
中国城镇职工基本养老保险个人账户部分，采取以平均余命确定养老金的方法。个人账户中缴费一般按工资的一定比例缴纳，个人账户中养老金发放标准按退休职工的平均余命和预定利率来确定。职工退休后，个人账户养老金的给付额大小由缴费和利息的累积额确定，并且养老金的给付额一般不作指数化调整。《决定》规定，个人缴费年限累计满15年的，退休后按月发给个人账户养老金，个人账户养老金发放标准为本人账户储存额除以120。如按年折算，也就是个人账户年养老金发放标准为本人账户储存额除以10，本节根据保险精算学中确定年金理论，指出中国养老金发放标准中存在偏高的问题。
设职工参加养老保险第一年的工资收入为w，职工工龄工资增长率为n[,1]，职工年度工资增长率为n[,2]，职工个人账户缴费率为C[,1]，缴费年限为n，预定利率为i，假定缴费时间在每年年初，根据保险精算学中确定年金理论[3][4]，可得：
第一年初缴费到n年末的累积额：
C[,1]W(1+i)[n]
第二年初缴费到n年末的累积额：
C[,1]W(1+n[,1])(1+n[,2])(1+i)[n-1]
第n年初缴费到n年末的累积额：
C[,1]W〔(1+n[,1](1+n[,2])〕[n-1](1+i)
令m=(1+n[,1])(1+n[,2])，则该职工到第n年末退休时的个人账户养老金总累积额为：
附图
按年养老金发放标准发放时，个人账户养老金支出的计算。设养老金年给付额为b，平均余命为e年，预定利率为i，养老金发放在年初进行，则各年的养老金在平均余命期限e年初（退休当年）的现值为：
第一年养老金在e年初的现值：b
附图
该职工在e年期初（即退休当年）各年养老金现值总和：
附图
定理1：个人账户发放养老金标准在退休职工的平均余命一定时随利率的增大而增大而增大，在利率一定时随退休工平均余命的延长而减小。
证明：当i=0时，由式(6)得k(i,e)=e
附图
表1 55～60岁全国市镇从业人口生命表（注：55-60岁全国市镇从业人口数据来自1990年全国市镇职工从业生命表）
年龄／岁 55 56 57 58 59 60
死亡概率 0.00730 0.00826 0.00896 0.01039 0.01302 0.01417
平均预期余命／年 19.01 18.25 17.41 16.58 &nb
sp; 15.76 14.97
表2 不同预期利率水平下养老金发放标准
附图
即：个人账户养老金除数因子随利率的增大而减小，随退休职工平均余命的延长而增大。从而，个人账户养老金发放标准随利率的增大而增大，随退休职工平均余命的延长而减小。证毕。
职工退休后的平均余命参照全国市镇职工从业人口生命表进行测算。由于职工退休时未来平均余命内预定利率是个不确定的值，因而养老金发放标准与预定利率的高低有很大关系。如果预定利率比较高，则养老金发放标准也比较高，预定利率较低，养老金发放标准也比较低。
中国男女平均退休年龄58岁，根据1989～1990年全国市镇职工从业生命表的数据，58岁职工的平均余命为16.58年，如表1所示。
根据1989～1990年全国市镇从业生命表中58岁职工的平均余命为16.58年，得到不同预期利率水平下的除数因子，并分别计算了平均余命增加一个月、一年时，除数因子在不同利率下变化情况。由中国人口信息研究中心估计未来50年（2000～2050年）中国未来退休人口平均余命为18年，得到在不同预期利率下除数因子，如表2所示。
由表2可以看出，在相同预定利率下，个人账户养老金的除数因子随退休职工的平均余命的增加而增大；在退休职工平均余命一定时，个人账户养老金的除数因子随预定利率的增大而减小。平均余命增加一个月时，除数因子在不同预定利率下(1%～10%)，分别增加0.07,0.061,0.052,0.043,0.035,0.033,0.025,0.021,0.02；平均余命增加一年时，除数因子在不同预定利率下(1%～10%)分别增加0.91,0.724,0.61,0.52,0.45,0.38,0.33,0.28,0.25,0.21。根据表2，得出不同预定利率和退休职工不同平均余命下除数因子大小不同，由于养老金发放标准必须在职工刚退休时根据预期利率水平、预期平均余命预先确定下来，而且一般确定下来后不宜再作变动，特别是向下变动更难。因此，个人账户养老金发放时必须根据未来至少10年的平均余命和预期利率预测进行制定标准。
笔者采用1997年退休职工平均余命为16.58进行分析：当预期利率为0时，全部养老金储存额按照平均余命16.58年发放；当预期利率为1%时，由于各年养老金领取后的剩余部分能够继续产生增值，全部养老金储存按15.36份发放，同样可以发放16.58年，年养老金发放标准比利率为0时增大。个人账户养老金平衡的关键是根据退休后预期利率的高低确定合适的除数因子。如果除数因子规定太小，则个人账户养老金储存额在平均余命到达之前就已经领完。例如：当除数因子按10.3计算时，预期利率必须是7%时才能保证16.58年内养老金的发放。如果实际利率是3%，除数因子按10.3计算，养老金储存额只能够发放12.8年，平均余命期限内还有3.78年时间内个人账户已没有养老金可领取，必须从社会保险基金中领取，由此造成社会养老保险基金的收支失衡。如果除数因子规定太大，则个人账户储存额在平均余命到达之后还有剩余。例如：实际利率是3%，除数因子按15.36计算时，养老金可以发放约19年。由此造成个人账户储存额在平均余命到达之后仍有剩余，起不到社会保障中公平、效率的原则。由此可见，在退休职工平均余命一定时，个人账户养老金平衡的实现则取决于职工退休后的实际利率水平是否与预期利率水平相同。
中国城市企业职工实行的是社会统筹和个人账户相结合的养老保险制度。国务院1997年发布的《关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定》（国发[1997]26号文件）中规定“个人账户养老金月标准为本人账户储存额除以120”，即除数因子是120。120的除数因子折算成个人账户养老金的年除数因子是10。参照表2查得在平均余命分别为16.58,16.66,17.58,18时，除数因子为10的预定利率约为7.5%,7.5%,8%,8%；但根据劳动社会保障部博时养老基金投资公司预测的长期利率为约5%[5]，表明养老金中预期利率按照8%的水平有些偏高。因为如果实际年利率达不到8%，就会出现平均余命到达之前个人账户养老金储存额出现亏空的危险。
根据中国人口信息研究中心估计，未来50年（2000～2050年）中国退休人口平均余命为18年，个人账户预定年利率为5%，则除数因子约为12，即月养老金领取标准为144。
四、结束语
根据中国个人账户养老金发放不规范的实际情况，结合劳动和社会保障部测算养老金发放标准比较粗糙的事实，利用保险精算学中生存年金理论分别精确给出“新人”和“中人”的个人账户下养老金给付精算模型，并结合社会养老保险中公平、效率原则给出“中人”过渡性养老金给付模型，由此得到的个人账户下养老金给付模型，具有重要的理论和参考价值。根据个人账户给付模型和1990年全国人口生命表的数据，得出个人账户下养老金发放标准偏高的结论，无疑，这一结论对制定个人账户下养老金发放标准具有重要的实际应用价值。
【参考文献】
[1] Pennacchi,George G,Christopher M Lewis.The Value of Pension Benefit Guaranty
Corporation Insurance[J].Journal of Money,Credit and Banking,1994,(26):735-753.
[2] 王鉴刚.社会养老保险平衡测算[M].北京：经济管理出版社，1999.
[3] Pennacchi,George G. The Value of Guarantees on Pension Fund Returns[J].The Journal of Risk and Insur-ance,1999,(66):219-237.
[4] 王晓军，房海燕.养老保险改革的模式探讨[J].市场与人口分析，1998,(2):37-39.
[5] 宋晓吴，孔泾源.中国社会保障基金营运管理[M].北京：中国改革出版社，1999.
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