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数学必修4教案

时间：2023-01-12 19:29:32 数学教案我要投稿

数学必修4教案

　　作为一位兢兢业业的人民教师，时常要开展教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。那么你有了解过教案吗？以下是小编为大家整理的数学必修4教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

数学必修4教案

数学必修4教案1

　　教学目的：

　　掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题

　　教学重点：

　　圆的标准方程及有关运用

　　教学难点：

　　标准方程的灵活运用

　　教学过程：

　　一、导入新课，探究标准方程

　　二、掌握知识，巩固练习

　　练习：

　　1.说出下列圆的方程

　　⑴圆心(3，-2)半径为5

　　⑵圆心(0，3)半径为3

　　2.指出下列圆的圆心和半径

　　⑴(x-2)2+(y+3)2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2-6x+4y+12=0

　　3.判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的.位置关系

　　4.圆心为(1，3)，并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程

　　三、引伸提高，讲解例题

　　例1、圆心在y=-2x上，过p(2，-1)且与x-y=1相切求圆的方程(突出待定系数的数学方法)

　　练习：

　　1、某圆过(-2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。

　　2、某圆过a(-10，0)、b(10，0)、c(0，4)，求圆的方程。

　　例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求a2p2的长度。

　　例3、点m(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过m的圆的切线方程(一题多解，训练思维)

　　四、小结练习p771，2，3，4

　　五、作业p811，2，3，4

数学必修4教案2

　　一、教学目标：

　　1、知识与技能

　　（1）推广角的概念、引入大于角和负角；

　　（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；

　　（3）理解任意角以及象限角的概念；

　　(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；

　　（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

　　（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.

　　（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

　　2、过程与方法

　　通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.

　　3、情态与价值

　　通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.

　　二、教学重、难点

　　重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

　　难点: 终边相同的角的表示.

　　三、学法与教学用具

　　之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.

　　教学用具:电脑、投影机、三角板

　　四、教学设想

　　【创设情境】

　　思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25

　　小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

　　[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

　　【探究新知】

　　1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？

　　[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.

　　2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

　　[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).

　　[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.

　　3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

　　角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

　　4.[展示投影]练习:

　　(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

　　(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几? 天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

　　5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

　　[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.

　　设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.

　　一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合

　　,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.

　　6.[展示投影]例题讲评

　　例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）

　　例2.写出终边在轴上的角的集合.

　　例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

　　的元素写出来.

　　7.[展示投影]练习

　　教材第3、4、5题.

　　注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

　　8.学习小结

　　你知道角是如何推广的吗?

　　象限角是如何定义的呢?

　　你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在轴、轴、直

　　线上的角的集合.

　　五、评价设计

　　1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．

　　2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，

　　进一步理解具有相同终边的角的特点．

　　1.1.2弧度制

　　一、教学目标：

　　1、知识与技能

　　（1）理解并掌握弧度制的定义；

　　（2）领会弧度制定义的合理性；

　　（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；

　　（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；

　　（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.

　　(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

　　2、过程与方法

　　创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.

　　3、情态与价值

　　通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.

　　二、教学重、难点

　　重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

　　难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.

　　三、学法与教学用具

　　在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.

　　教学用具:计算器、投影机、三角板

　　四、教学设想

　　【创设情境】

　　有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

　　显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

　　在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

　　【探究新知】

　　1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

　　弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.

　　2.弧度制的'定义

　　[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

　　3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.

　　弧的长

　　旋转的方向

　　的弧度数

　　的度数

　　逆时针方向

　　我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

　　4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?

　　角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.

　　5.根据探究中填空:

　　,度

　　显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

　　6.例题讲解

　　例1.按照下列要求,把化成弧度:

　　精确值；

　　精确到0.001的近似值.

　　例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

　　注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.

　　7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

　　度

　　弧度

　　角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

　　8.例题讲评

　　例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

　　(1); (2); (3).

　　其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.

　　例4.利用计算器比较和的大小.

　　注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.

　　9.练习

　　教材.

　　9.学习小结

　　(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

　　(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?

数学必修4教案3

　　教学准备

　　教学目标

　　熟悉两角和与差的正、余公式的推导过程，提高逻辑推理能力。

　　掌握两角和与差的正、余弦公式，能用公式解决相关问题。

　　教学重难点

　　熟练两角和与差的正、余弦公式的'正用、逆用和变用技巧。

　　教学过程

　　复习

　　两角差的余弦公式

　　用- B代替B看看有什么结果?

数学必修4教案4

　　一、教学目标

　　1、知识与技能

　　（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；

　　（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

　　（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题、

　　2、过程与方法

　　用坐标法解决几何问题的步骤：

　　第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

　　第二步：通过代数运算，解决代数问题；

　　第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论、

　　3、情态与价值观

　　让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力、

　　二、教学重点、难点：

　　重点与难点：直线与圆的方程的应用、

　　三、教学设想

　　问题设计意图师生活动

　　1、你能说出直线与圆的位置关系吗？启发并引导学生回顾直线与圆的位置关系，从而引入新课、师：启发学生回顾直线与圆的位置关系，导入新课、

　　生：回顾，说出自己的看法、

　　2、解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？

　　理解并掌握直线与圆的位置关系的解决办法与数学思想、师：引导学生通过观察图形，回顾所学过的知识，说出解决问题的方法、

　　生：回顾、思考、讨论、交流，得到解决问题的方法、

　　问题设计意图师生活动

　　3、阅读并思考教科书上的例4，你将选择什么方法解决例4的问题

　　指导学生从直观认识过渡到数学思想方法的选择、师：指导学生观察教科书上的图形特征，利用平面直角坐标系求解、

　　生：自学例4，并完成练习题1、2、

　　师：分析例4并展示解题过程，启发学生利用坐标法求，注意给学生留有总结思考的时间、

　　4、你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？使学生加深对圆的方程的'认识、教师引导学生分析圆的方程中，若横坐标确定，如何求出纵坐标的值、

　　5 、你能利用“坐标法”解决例5吗？巩固“坐标法”，培养学生分析问题与解决问题的能力、师：引导学生建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示相应的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题、

　　生：建立适当的直角坐标系，探求解决问题的方法、

　　6、完成教科书第140页的练习题2、3、4、使学生熟悉平面几何问题与代数问题的转化，加深“坐标法”的解题步骤、教师指导学生阅读教材，并解决课本第140页的练习题2、3、4、教师要注意引导学生思考平面几何问题与代数问题相互转化的依据、

　　7、你能说出练习题蕴含了什么思想方法吗？反馈学生掌握“坐标法”解决问题的情况，巩固所学知识、学生独立解决第141页习题4、2A第8题，教师组织学生讨论交流、

　　8、小结：

　　（1）利用“坐标法”解决问对知识进行归纳概括，体会利师：指导学生完成练习题、

　　生：阅读教科书的例3，并完成第

　　问题设计意图师生活动

　　题的需要准备什么工作？

　　（2）如何建立直角坐标系，才能易于解决平面几何问题？

　　（3）你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么？

　　（4）建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有什么直接的影响呢？用“坐标法”解决实际问题的作用、教师引导学生自己归纳总结所学过的知识，组织学生讨论、交流、探究、

数学必修4教案5

　　教学目标

　　1.理解平面向量的基本概念和几何表示、向量相等的含义；掌握向量加减法和数乘运算，掌握其几何意义；理解向量共线定理

　　2.了解向量的线性运算性质及其几何意义；会用向量的几何表示及其代数运算、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题

　　教学重难点向量的有关概念与线性运算

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　　一、知识回顾

　　1．下列算式中不正确的是（）

　　A. B

　　C D

　　2．已知正方形ABCD边长为1， , , 则 + + 的.模=（）

　　A.0 B.3 C. D.

　　3．已知向量 , 满足：，则 =（）

　　A.1 B. C. D.

　　4．在平行四边形ABCD中， , , ,M为BC的中点，则 = （用 , 表示）

　　二、例题讲解

　　例1设是两个不共线的向量，已知 =2 + , = +3 , =2 - .若A,B,D三点共线,

　　求的值.

　　例2在梯形ABCD中,E,F分别是腰AB,DC的三等分点,且 , 求

　　例3设O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足 , .求点P的轨迹,并判断P的轨迹通过下述哪一定点:

　　①△ABC的外心; ②△ABC的内心;

　　③△ABC的重心; ④△ABC的垂心.

　　三、小结

　　四、训练练习

　　见练习纸

　　教后感

数学必修4教案6

　　教学目标

　　1.使学生了解奇偶性的概念，回会利用定义判定简单函数的奇偶性。

　　2.在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察，归纳能力，同时渗透数形结合和非凡到一般的思想方法。

　　3.在学生感受数学美的同时，激发学习的爱好，培养学生乐于求索的精神。

　　教学重点，难点

　　重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判定

　　难点是对概念的熟悉

　　教学用具

　　投影仪，计算机

　　教学方法

　　引导发现法

　　教学过程

　　一.引入新课

　　前面我们已经研究了函数的单调性，它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质，今天我们继续研究函数的另一个性质。从什么角度呢？将从对称的角度来研究函数的性质。

　　对称我们大家都很熟悉，在生活中有很多对称，在数学中也能发现很多对称的问题，大家回忆一下在我们所学的内容中，非凡是函数中有没有对称问题呢？

　　（学生可能会举出一些数值上的对称问题，等，也可能会举出一些图象的对称问题，此时教师可以引导学生把函数具体化，如和等。）

　　结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题，而我们还曾研究过关于轴对称的问题，你们举的例子中还没有这样的，能举出一个函数图象关于轴对称的吗？

　　学生经过思考，能找出原因，由于函数是映射，一个只能对一个，而不能有两个不同的，故函数的图象不可能关于轴对称。最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题，从形的特征中找出它们在数值上的规律。

　　二.讲解新课

　　2.函数的奇偶性（板书）

　　教师从刚才的图象中选出，用计算机打出，指出这是关于轴对称的图象，然后问学生初中是怎样判定图象关于轴对称呢？（由学生回答，是利用图象的.翻折后重合来判定）此时教师明确提出研究方向：今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律？

　　学生开始可能只会用语言去描述：自变量互为相反数，函数值相等。教师可引导学生先把它们具体化，再用数学符号表示。（借助课件演示令比较得出等式，再令，得到，详见课件的使用）进而再提出会不会在定义域内存在，使与不等呢？（可用课件帮助演示让动起来观察，发现结论，这样的是不存在的）从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个，都有成立。最后让学生用完整的语言给出定义，不准确的地方教师予以提示或调整。

　　（1）偶函数的定义：假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做偶函数。（板书）

　　（给出定义后可让学生举几个例子，如等以检验一下对概念的初步熟悉）

　　提出新问题：函数图象关于原点对称，它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢？（同时打出或的图象让学生观察研究）

　　学生可类比刚才的方法，很快得出结论，再让学生给出奇函数的定义。

　　（2）奇函数的定义：假如对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就叫做奇函数。（板书）

　　（由于在定义形成时已经有了一定的熟悉，故可以先作判定，在判定中再加深熟悉）

　　例1。判定下列函数的奇偶性（板书）

　　（1）；

　　（2）；

　　（3）；；

　　（5）；

　　（6）。

　　（要求学生口答，选出12个题说过程）

　　解：（1）是奇函数。

　　（2）是偶函数。

　　（3），是偶函数。

　　前三个题做完，教师做一次小结，判定奇偶性，只需验证与之间的关系，但对你们的回答我不满足，因为题目要求是判定奇偶性而你们只回答了一半，另一半没有作答，以第（1）为例，说明怎样解决它不是偶函数的问题呢？

　　学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等。如即可说明它不是偶函数。（从这个问题的解决中让学生再次熟悉到定义中任意性的重要）

　　从（4）题开始，学生的答案会有不同，可以让学生先讨论，教师再做评述。即第（4）题中表面成立的=不能经受任意性的考验，当时，由于，故不存在，更谈不上与相等了，由于任意性被破坏，所以它不能是奇偶性。

　　教师由此引导学生，通过刚才这个题目，你发现在判定中需要注重些什么？（若学生发现不了定义域的特征，教师可再从定义启发，在定义域中有1，就必有1，有2，就必有2，有，就必有，有就必有，从而发现定义域应关于原点对称，再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件？

　　可以用（6）辅助说明充分性不成立，用（5）说明必要性成立，得出结论。

　　（3）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。（板书）

　　由学生小结判定奇偶性的步骤之后，教师再提出新的问题：在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数，有是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数，那么有没有这样的函数，它既是奇函数也是偶函数呢？若有，举例说明。

　　经学生思考，可找到函数。然后继续提问：是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢？能证实吗？

　　例2。已知函数既是奇函数也是偶函数，求证：。（板书）（试由学生来完成）

　　证实：既是奇函数也是偶函数，=，且，= ，即证后，教师请学生记住结论的同时，追问这样的函数应有多少个呢？学生开始可能认为只有一个，经教师提示可发现，只是解析式的特征，若改变函数的定义域，如，，，，它们显然是不同的函数，但它们都是既是奇函数也是偶函数。由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

　　（4）函数按其是否具有奇偶性可分为四类：（板书）

　　例3。判定下列函数的奇偶性（板书）

　　（1）；（2）；（3）。

　　由学生回答，不完整之处教师补充。

　　解：（1）当时，为奇函数，当时，既不是奇函数也不是偶函数。

　　（2）当时，既是奇函数也是偶函数，当时，是偶函数。

　　（3）当时，于是，

　　当时，，于是=，

　　综上是奇函数。

　　教师小结（1）（2）注重分类讨论的使用，（3）是分段函数，当检验，并不能说明具备奇偶性，因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画，因此必须均有成立，二者缺一不可。

　　三. 小结

　　1.奇偶性的概念

　　2.判定中注重的问题

　　四.作业略

　　五.板书设计

　　2.函数的奇偶性例1.例3.

　　（1）偶函数定义

　　（2）奇函数定义

　　（3）定义域关于原点对称是函数例2。小结

　　具备奇偶性的必要条件

　　（4）函数按奇偶性分类分四类

　　探究活动

　　（1）定义域为的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和，你能试证实之吗？

　　（2）判定函数在上的单调性，并加以证实。

　　在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题：

数学必修4教案7

　　教学目的：

　　(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集;

　　(2)能用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

　　课型：

　　新授课

　　教学重点：

　　集合的交集与并集的概念;

　　教学难点：

　　集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做”;

　　教学过程：

　　一、引入课题

　　我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢?

　　思考(p9思考题)，引入并集概念。

　　二、新课教学

　　1、并集

　　一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集(union)

　　记作：a∪b 读作：“a并b”

　　即： a∪b={x|x∈a，或x∈b}

　　venn图表示：

　　说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合a与b的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。

　　例题1求集合a与b的并集

　　① a={6，8，10，12} b={3，6，9，12}

　　② a={x|-1≤x≤2} b={x|0≤x≤3}

　　(过度)问题：在上图中我们除了研究集合a与b的并集外，它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的，我们称其为集合a与b的交集。

　　2、交集

　　一般地，由属于集合a且属于集合b的元素所组成的`集合，叫做集合a与b的交集(intersection)。

　　记作：a∩b 读作：“a交b”

　　即： a∩b={x|∈a，且x∈b}

　　交集的venn图表示

　　说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合a与b的公共元素组成的集合。

　　例题2求集合a与b的交集

　　③ a={6，8，10，12} b={3，6，9，12}

　　④ a={x|-1≤x≤2} b={x|0≤x≤3}

　　拓展：求下列各图中集合a与b的并集与交集(用彩笔图出)

　　说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集

　　3、例题讲解

　　例3(p12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析

　　例4 p12例2)：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。

　　4、集合基本运算的一些结论：

　　a∩b a，a∩b b，a∩a=a，a∩ = ,a∩b=b∩a

　　a a∪b，b a∪b，a∪a=a，a∪ =a,a∪b=b∪a

　　若a∩b=a，则a b，反之也成立

　　若a∪b=b，则a b，反之也成立

　　若x∈(a∩b)，则x∈a且x∈b

　　若x∈(a∪b)，则x∈a，或x∈b

数学必修4教案8

　　一、教学过程

　　1.复习。

　　反函数的概念、反函数求法、互为反函数的函数定义域值域的关系。

　　求出函数y=x3的反函数。

　　2.新课。

　　先让学生用几何画板画出y=x3的图象，学生纷纷动手，很快画出了函数的图象。有部分学生发出了“咦”的一声，因为他们得到了如下的图象(图1)：

　　教师在画出上述图象的学生中选定生1，将他的屏幕内容通过教学系统放到其他同学的屏幕上，很快有学生作出反应。

　　生2：这是y=x3的反函数y=的图象。

　　师：对，但是怎么会得到这个图象，请大家讨论。

　　(学生展开讨论，但找不出原因。)

　　师：我们请生1再给大家演示一下，大家帮他找找原因。

　　(生1将他的制作过程重新重复了一次。)

　　生3：问题出在他选择的次序不对。

　　师：哪个次序?

　　生3：作点b前，选择xa和xa3为b的坐标时，他先选择xa3，后选择xa，作出来的点的坐标为(xa3，xa)，而不是(xa，xa3)。

　　师：是这样吗?我们请生1再做一次。

　　(这次生1在做的过程当中，按xa、xa3的次序选择，果然得到函数y=x3的图象。)

　　师：看来问题确实是出在这个地方，那么请同学再想想，为什么他采用了错误的次序后，恰好得到了y=x3的反函数y=的图象呢?

　　(学生再次陷入思考，一会儿有学生举手。)

　　师：我们请生4来告诉大家。

　　生4：因为他这样做，正好是将y=x3上的点b(x，y)的横坐标x与纵坐标y交换，而y=x3的反函数也正好是将x与y交换。

　　师：完全正确。下面我们进一步研究y=x3的图象及其反函数y=的图象的关系，同学们能不能看出这两个函数的图象有什么样的关系?

　　(多数学生回答可由y=x3的图象得到y=的图象，于是教师进一步追问。)

　　师：怎么由y=x3的图象得到y=的图象?

　　生5：将y=x3的图象上点的横坐标与纵坐标交换，可得到y=的图象。

　　师：将横坐标与纵坐标互换?怎么换?

　　(学生一时未能明白教师的意思，场面一下子冷了下来，教师不得不将问题进一步明确。)

　　师：我其实是想问大家这两个函数的图象有没有对称关系，有的话，是什么样的对称关系?

　　(学生重新开始观察这两个函数的图象，一会儿有学生举手。)

　　生6：我发现这两个图象应是关于某条直线对称。

　　师：能说说是关于哪条直线对称吗?

　　生6：我还没找出来。

　　(接下来，教师引导学生利用几何画板找出两函数图象的对称轴，画出如下图形，如图2所示：)

　　学生通过移动点a(点b、c随之移动)后发现，bc的中点m在同一条直线上，这条直线就是两函数图象的对称轴，在追踪m点后，发现中点的轨迹是直线y=x。

　　生7：y=x3的图象及其反函数y=的图象关于直线y=x对称。

　　师：这个结论有一般性吗?其他函数及其反函数的图象，也有这种对称关系吗?请同学们用其他函数来试一试。

　　(学生纷纷画出其他函数与其反函数的图象进行验证，最后大家一致得出结论：函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。)

　　还是有部分学生举手，因为他们画出了如下图象(图3)：

　　教师巡视全班时已经发现这个问题，将这个图象传给全班学生后，几乎所有人都看出了问题所在：图中函数y=x2(x∈r)没有反函数，②也不是函数的`图象。

　　最后教师与学生一起总结：

　　点(x，y)与点(y，x)关于直线y=x对称;

　　函数及其反函数的图象关于直线y=x对称。

　　二、反思与点评

　　1.在开学初，我就教学几何画板4。0的用法，在教函数图象画法的过程当中，发现学生根据选定坐标作点时，不太注意选择横坐标与纵坐标的顺序，本课设计起源于此。虽然几何画板4。04中，能直接根据函数解析式画出图象，但这样反而不能揭示图象对称的本质，所以本节课教学中，我有意选择了几何画板4。0进行教学。

　　2.荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习过程当中，可借助于生动直观的形象来引导人们的思想过程，但常常由于图形或想象的错误，使人们的思维误入歧途，因此我们既要借助直观，但又必须在一定条件下摆脱直观而形成抽象概念，要注意过于直观的例子常常会影响学生正确理解比较抽象的概念。

　　计算机作为一种现代信息技术工具，在直观化方面有很强的表现能力，如在函数的图象、图形变换等方面，利用计算机都可得到其他直观工具不可能有的效果;如果只是为了直观而使用计算机，但不能达到更好地理解抽象概念，促进学生思维的目的的话，这样的教学中，计算机最多只是一种普通的直观工具而已。

　　在本节课的教学中，计算机更多的是作为学生探索发现的工具，学生不但发现了函数与其反函数图象间的对称关系，而且在更深层次上理解了反函数的概念，对反函数的存在性、反函数的求法等方面也有了更深刻的理解。

　　当前计算机用于中学数学的主要形式还是以辅助为主，更多的是把计算机作为一种直观工具，有时甚至只是作为电子黑板使用，今后的发展方向应是：将计算机作为学生的认知工具，让学生通过计算机发现探索，甚至利用计算机来做数学，在此过程当中更好地理解数学概念，促进数学思维，发展数学创新能力。

　　3.在引出两个函数图象对称关系的时候，问题设计不甚妥当，本来是想要学生回答两个函数图象对称的关系，但学生误以为是问如何由y=x3的图象得到y=的图象，以致将学生引入歧途。这样的问题在今后的教学中是必须力求避免的。

数学必修4教案9

　　一、教材的地位和作用

　　本节课是“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这部分知识是立体几何的基础之一，一方面它是对上一节空间几何体结构特征的再一次强化，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，是建立空间概念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。另外，三视图部分也是新课程高考的重要内容之一，常常结合给出的三视图求给定几何体的表面积或体积设置在选择或填空中。同时，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，同时也为学生进入高一层学府学习有很大的帮助。所以在人们的日常生活中有着重要意义。

　　二、教学目标

　　(1)知识与技能：能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。

　　(2)过程与方法：通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。

　　(3)情感、态度与价值观：让感受数学就在身边，提高学生学习立体几何的兴趣，培养学生相互交流、相互合作的精神。

　　三、设计思路

　　本节课的主要任务是引导学生完成由立体图形到三视图，再由三视图想象立体图形的'复杂过程。直观感知操作确认是新课程几何课堂的一个突出特点，也是这节课的设计思路。通过大量的多媒体直观，实物直观使学生获得了对三视图的感性认识，通过学生的观察思考，动手实践，操作练习，实现认知从感性认识上升为理性认识。培养学生的空间想象能力，几何直观能力为学习立体几何打下基础。

　　教学的重点、难点

　　(一)重点：画出空间几何体及简单组合体的三视图，体会在作三视图时应遵循的“长对正、高平齐、宽相等”的原则。

　　(二)难点：识别三视图所表示的空间几何体，即：将三视图还原为直观图。

　　四、学生现实分析

　　本节首先简单介绍了中心投影和平行投影，中心投影和平行投影是日常生活中最常见的两种投影形式，学生具有这方面的直接经验和基础。投影和三视图虽为高中新增内容，但学生在初中有一定基础，在七年级上册“从不同方向看”的基础上给出了三视图的概念。到了九年级下册则是在介绍了投影后，用投影的方法给出了三视图的概念，这一概念已基本接近了高中的三视图定义，只是在名字上略有差异。初中叫做主视图、左视图、俯视图。进入高中后特别是再次学习和认识了柱、锥、台等几何体的概念后，学生在空间想象能力方面有了一定的提高，所以，给出了正视图、侧视图、俯视图的概念。这些概念的变化也说明了学生年龄特点和思维差异。

　　五、教学方法

　　(1)教学方法及教学手段

　　针对本节课知识是由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点，我采用的教法是直观教学法、启导发现法。

　　在教学中，通过创设问题情境，充分调动学生学习的积极性和主动性，并引导启发学生动眼、动脑、动手、同时采用多媒体的教学手段，加强直观性和启发性，解决了教师“口说无凭”的尴尬境地，增大了课堂容量，提高了课堂效率。

　　(2)学法指导

　　力争在新课程要求的大背景下组织教学，为学生创设良好的问题情境，留给学生充分的思考空间，在学生的辩证和讨论前提下，发挥教师的概括和引领的作用。