中德两国小学数学教材比较研究

中德两国小学数学教材比较研究

【１９９０年，笔者曾在德国巴伐利亚州进修。在进修期间完成了《中德两国小学数学教材比较研究》一 文。１９９１年，该文发表在德国杂志《教育世界》第９期上。德国巴伐利亚州的小学学制四年，为了具有可 比性，因此只是对两国１—４年级的数学教材进行了比较。选取的教材是：德国巴伐利亚州一套现行小学数学 教材《想与算》和我国的四省市《数学》教材。本文在德文原文的基础上，结合近几年的学习体会进行了充实 和修改。】
    教材在教学中具有十分重要的作用，这是显然的事实。在从一纲一本到一纲多本、多纲多本变迁的今在， 我们不但十分有必要研究国内各套教材的优缺点，而且还有必要研究国外教材与我们的差异，以便取长补短。 本文试图对中德两国小学数学教材的编排体系和特点从宏观和微观两个角度作一比较。
    一、教材编排体系的宏观比较
    所谓宏观比较，是指对教材选取的总体教学内容、教材结构和编写特点加以比较。一套数学教材选取的教 学内容及其编排顺序，体现了编者对学生的要求和对学生认知能力的研究水平。（两国１—４年级的教学内容 和教材编排顺序表附在下页）
    附：中德两国１—４年级的教学内容和教材编排顺序表
    阅读了两国的教材可以看到：
    １．德国教材的内容少，我国教材的知识点多。德国小学四年数学教学内容相当于我国三年的内容。
    编者在选取小学数学的教学内容时，主要考虑所取内容的必要性和学生的可接受性，同时也考虑整个义务 教育阶段（中小学）数学教学的体系。德国教材在小学四年中安排的内容少，说明他们对学生所学“知识点” 上的要求比较低。由于教学内容比较少，所以在每节课中所教学的知识点也少，这样对知识的发生过程就有可 能得到较充分的强调，这是它的优点。但对于一部分智力相对比较好的学生来说，他们在同样的时间内可以学 习更多的内容，而由于教材内容少，因而会产生浪费时间的现象。我国教材的知识点多，对于智力较好的学生 来说，可以学到更多的内容，而对于学习有困难的学生来说，常常会觉得要求过高。从两国教材内容多少的比 较中，给我们的启示是：要加大我国教材的“弹性”，对于不同的学生，应该有不同层次的要求。
    ２．我国教材结构严谨，德国教材结构相对松散。
    数学具有严密的逻辑性，因此，数学教材的编写常常要考虑数学知识本身的结构，从而让学生在学习数学 时，体会到数学的这种严密性。正因为如此，我国的数学教材在编写时，十分注重内容结构的严谨，常常用标 准的数学术语陈述数学内容，对概念常常给出完整的和相当严密的定义。相比之下，德国教材显得相对松散， 教材中出现的数学概念、命题大多采用描述性的语言，使用数学术语较少，例如，在１—４年级的教材中都没 有出现：加数、和；被减数、减数、差等数学术语。又如德国教材中的应用题没有单独列章节，也没有比较严 格地按计算步数多少来编排；我国教材中的应用题单独列章节，而且比较严格地按照一步、两步及多步复合应 用题的顺序呈现。再如，我国教材在学生系统学习小数的四则运算以前，要先学分数的初步认识，然后再从十 进分数转到小数，结构十分严谨；而德国教材在引进分数时，只说“像１．４、１２．８……这样的数叫小数 。小数点就是把马克和芬尼分开的小圆点。”然后就开始小数的运算。
    我国教材的编写注意知识结构的严密性，这对培养学生的逻辑思维能力和建立较完整的知识体系是有利的 。但如果教材过份强调严密，时时都要考虑数学知识本身的结构，那就不利于在教材中适当加强或渗透现代数 学知识。德国的教材比较松散、通俗，容易被学生接受和掌握。从两国教材的结构比较中，给我们的启示是： 我们应该适当地破除原来的“严密”框架，不受“严密”的束缚，把一个公民必须具备的现代数学知识和思想 编写进小学数学教材中去。
    ３．德国教材重视知识的实际应用，我国教材重视知识的形式化操练。
    （附图 {图}）
    德国教材十分重视让学生运用学到的数学知识去认识周围世界，去解决实际问题。例如有关时间的计算， 教材中编写了许多实际生活中的问题，在课本里印有一张奥格斯堡火车总站在９∶００—１２∶００之间的真 实火车时刻表。时刻表中有这样一些信息：在９∶００—１２∶００这段时间里，从奥格斯堡火车总站发出的 各辆火车的车次、火车行驶方向、旅客上车的站台号、沿途停靠各站时间、到达终点站的时间等。根据这张时 刻表，要求学生解答类似于下面的一些问题：
    ①写出在９∶００—１２∶００这段时间中，从奥格斯堡发出的去下列方向的所有火车车次；
    ａ）去慕尼黑； ｂ）去纽伦堡。
    ②在９∶００—１２∶００这段时间里，乘哪几次火车的旅客要从８号站台上车？
    ③卡塔琳小姐在９∶２０到达奥格斯堡火车总站，她想去慕尼黑，可以乘哪几次火车？最快的是哪一次？ 到达慕尼黑是几时？从奥格斯堡到慕尼黑要多少时间？
    有关看火车时刻表的问题中，这套教材里出了１３个大题，２９个小题，几乎把日常生活中碰到的一些实 际问题都编进了教材。
    德国教材中有关行程问题，一般先给学生一张火车的时速表，先要求学生读出速度值，再计算。我国教材 中有关时间问题的计算，一般让学生计算：上午９时到下午３时经过多少时间？有关行程问题，常让学生练习 “一列火车每小时行６０千米，行了９小时，共行多少路程”这样的形式化操练题。
    笔者认为，教材重视知识的实际应用，是十分必要的，是培养学生具有良好的数学素质的重要途径。对数 学知识作适当的形式化操练，对于巩固基础知识，形成基本技能，提高实际应用能力是有益而无害的。但目前 我国有些教材过分注重形式化操练，而忽视了知识的实际应用，这是不足取的。德国教材中重视实际应用的做 法值得我们借鉴。
    ４．德国教材重视估算，我国教材估算内容相对较少。
    在我们的日常生活中估算的次数常常比精确计算的次数多。因此，估算的掌握就显得很重要。德国教材无 论在计算、应用题、量的计量等方面的教学中都十分重视估算。例如，在计算教学中常出现以下类型的试题：
    题目 估算 精确计算 验算

    １７４×５０３
    ３８１４÷６１ 德国教材给出的应用题的解题步骤是：①仔细地读题；②在重要的词后的数下面划线 ；③画出草图；④写出解题计划；⑤估算；⑥精确计算；⑦比较估算和精确计算的结果；⑧再读一遍题目的问 题，作出答案。把估算作为解应用题的一个步骤，这也说明对估算教学的重视。
    在量的计量教学中，德国教材不但要求学生估计长度、时间、重量、容积，而且要求估计商品的价格，例 如估计一辆自行车、一个书包的价格等。
    我国教材通常在长度、时间、重量、容积等方面的教学中有估算的内容，但与德国教材相比，估算内容太 少。
    我国教材注重精确计算，这对提高学生的计算能力有一定的好处。德国教材重视估算，能使学生从小具有 估算意识和较强的估算能力。从中给我们的启示是：估算能力是公民应具有的一种基本数学素质，我们的教材 应该适当增加这方面的内容。
    二、教材编排体系的微观比较
    这里的微观比较指的是对教材中的某一具体教学内容的编排以及具体的计算方法的比较。对于同一数学知 识，常常有不同的编排顺序，中德两国教材在以下几块四则计算内容的编排和计算方法中存在差异：
    １．２０以内数的进位加法和退位减法。
    我国教材在编排２０以内数的进位加法和退位减法时，采用的是加减混编或加减分编。在加减混编中，常 采用９加几和相应的减法，８加几和相应的减法……的顺序编写；或者按和是１１的加法和相应的减法，和是 １２的加法和相应的减法……的顺序编写。在加减分编中，总是先加后减，加法的编排顺序是９＋几、８＋几 、７＋几、６＋几。９＋几的加法又是按９＋２、９＋３、……、９＋９的顺序编排。８＋几、７＋几、６＋ 几的加法编排顺序与９＋几相同。
    德国教材采用加减分编，顺序是６＋几、７＋几、８＋几、９＋几。在每一段加法的编排中，又分别是以 ６＋６，７＋７，８＋８，９＋９这些“对子数”相加作为开头。具体顺序如下： ６＋６＝１２ ７＋７＝１４ ８＋８＝１６ ９＋９＝１８ ６＋５＝ ７＋６＝ ８＋９＝ １０＋９＝ ６＋７＝ ７＋８＝ ８＋７＝ ８＋９＝ ５＋６＝ ６＋７＝ ９＋８＝ ９＋１０＝ ７＋６＝ ８＋７＝ ７＋８＝ ９＋８＝
    在计算方法上，如６＋几，当计算６＋６＝１２时，采用凑十法，其他几题的计算以６＋６＝１２为依据 ，分别推算出答案。如要算６＋５＝？思考过程为：因为６＋６＝１２，而５比６小１，所以６＋５＝１１。 其余类推。德国教材在退位减法中，也分别以１２－６、１４－７、１６－８、１８－９作为每一段减法的开 头。
    笔者曾经问德国数学教材的编者，为什么这样编排？他的回答是：有实验证明两个相同的数相加最容易掌 握，教材这样编排是为了贯彻由易到难的原则。中德两国对２０以内数的进位加法和退位减法采用了不同的编 排体系，到底哪一种编排体系更有利于学生学习，有待实验进一步证明。
    ２．多位数加减。
    我国教材笔算加法起始于两位数加两位数不进位加法，常安排在一下年级教学；德国教材笔算加减法起始 于三位数加三位数不进位加法，安排在三年级。
    德国三年级数学教材，在三位数加三位数的进位加法后，紧接着出现了三位数减三位数不退位笔算减法， 这也是他们笔算减法的开始。在我国现行的小学数学教材中，笔算减法开始于两位数减两位数不退位减法，通 常安排在一下年级教学。在计算方法上，两国之间存在着较大差异，德国采用“想加做减”的方法，他们把这 种方法称为“补充法”。例如计算：
    ６５７
    －３２６
    ----------
    ３３１
    计算这道题语言表达是：因为６个一加上１个一是７个一，所以在个位上写１。十位、百位上的数相减的 表达方式与此类似。在退位减法中，当某一位上的数不够减时，他们采用“被减数和减数都加同一个数”的办 法。
    例如计算：
    （附图 {图}）
    思考过程如下：因为找不到这样一个数（在小学里），使得９加上这个数等于３，所以，被减数补充１０ 个一（１０写在３的下面），减数补充１个十（１写在６的下面）。补充的１０个一和原来个位上的３个一合 在一起是１３个一，即１３，而９＋４＝１３，所以，在差的个位上写４。十位上的数的计算过程与个位上类 似。由上述计算可以看到，德国教材中做退位减法的基础知识是：
    ①十进制位值原则；
    ②２０以内（包括１０以内）数的加法；
    ③“被减数和减数都加上同一个数，差不变”的性质。
    我国现行教材中，做不退位减法时，一般采用“想减做减”的方法。在做退位减法时，采用“向高位去借 ”的办法。做退位减法的主要基础知识是：
    ①十进制位值原则；
    ②２０以内（包括１０以内）数的加、减法。
    比较两国的计算方法，笔者认为，我们的计算方法比德国的方法要优越。我们的方法思考过程简单，用到 的基础知识少。有趣的是笔者给德国的小学生介绍了我们的计算方法，当他们掌握后，问他们喜欢哪一种方法 ，德国的小学生回答是喜欢他们自己的方法，这也可能是不同的民族有不同的习惯吧。
    当然，如果运用他们的方法去计算“被减数中间或末尾有几个零”的退位减法题，有其方便的一面，因为 它不会像我们的方法那样产生“连续向高位去借”的情况。
    ３．乘法。
    中德两国教材在被乘数和乘数的书写形式上正好相反。如３＋３＋３＋３，德国教材写作４×３，而我国 教材写作３×４。德国教材只给出一种读法：“４乘３”，我国教材对于３×４可以有两种读法。由此可见， 对一个乘法算式书写的形

式以及算式的读法完全是人定的。
    中德两国教材在表内乘法的编排体系上存在较大差异。我国教材一般按照自然数的顺序依次讲述２、３、 ４、……８、９的乘法口诀。而德国教材的编排顺序是：１０、５、２、４、８、３、６、９、７。德国的教 育工作者认为：一个自然数与１０相乘最方便，只要在这个数后面添上一个零即可，因此与１０相乘要先学； 而与５相乘是这个数乘以１０的一半；与２相乘就是把这个数“翻倍”；与４相乘是在与２相乘后再“翻倍” ；与８相乘是在与４相乘后“翻倍”；与３相乘和与６、与９相乘道理类似。而一个数与７相乘是最难的，因 此放在最后。表内乘法教材到底哪国的编写顺序更有利于学生学习，有待于实验研究。
    两国教材在笔算一位数乘法时，乘的方法和顺序没有区别。在笔算多位数乘法时，我国教材采用从低位到 高位的顺序，德国教材正相反，采用从高位到低位的顺序。例如： 德国 我国
    ６９４·７２９ ６９４
    ×７２９
    ---------------- ------------------
    ４８５８ ６２４６
    １３８８ １３８８
    ６２４６ ４８５８
    ------------- ------------------
    ５０５９２６ ５０５９２６
    笔者认为，两种乘法顺序无本质差异。在估算时，对掌握从高位乘起的方法者更有利。
    常州市教育科学研究所高级讲师、特级教师邱学华评析：
    朱乐平撰写的《中德两国小学数学教材比较研究》一文，观点鲜明，通俗易懂。通过比较，为促进我国教 材建设服务，体现了“洋为中用”的原则。
    通过宏观比较，他认为我国教材知识点多，教材结构严谨，但是过分注重形式操练，忽视知识的实际应用 。这些意见是十分中肯的，有远见的，表明作者具有扎实的理论基础和丰富的实践经验。
    在微观比较中，客观地介绍了两国的某些具体内容编排体系以及具体的计算方法。谁是谁非，作者并没有 下结论，而是说“到底哪一种编排体系更有利学生学习，有待实验进一步证明”，充分体现了作者的科学态度 。

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