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一道全国高中数学联赛题的妙解与引申——兼谈《几何画板》轨迹功能的应用

时间：2022-08-07 22:41:04 数学论文我要投稿

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刘忠  江西省永丰中学
    摘要：21世纪动态几何―――《几何画板》是专门针对几何学科的工具.几何的精髓是什么？就是不断变化的几何图形中不变的几何规律.许多绘画软件很难制作动态的几何图形，而《几何画板》制作的图形不仅是动态的，而且能反应几何的精髓.本文以一道全国高中联赛题的解法的探究为问题情境，以《几何画板》为工具，从动态中去观察、发现、探索几何图形之间的关系，从而得到此题的妙解.
关键词：几何画板　　轨迹　　折痕　　动画    动画演示

2003年全国高中联赛第15题是这样的：一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a.折叠纸片，使圆周上某一点  刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当取遍圆周上所有点时, 求所有折痕所在直线上点的集合.
这道题是联赛试题的压轴题，从命题者对此题的命制意图看，无疑是一道难题，联赛结果也充分印证了这一点.学生为什么会觉得这道题难呢？我认为根本原因在于学生对求轨迹的思维定势.在他们看来，要求轨迹就要先求轨迹方程，而要求轨迹方程又得先设轨迹上的一点的坐标为（x, y），再得到x,  y之间的关系.而此题这样做难度又较大，思维极易受阻，当然就觉得难了.
下面介绍一种不同于联赛命题组提供的“参考答案”的解法.
我们不妨用《几何画板3.0》来探求一下所求点的集合.①用“点”工具画点O、M,并使|OM|=R；②用“作图”菜单中的“以圆心和圆周上的点画圆”命令画以O为圆心，R为半径的圆，并“隐藏点”M；③用“点”工具在⊙O内画点A，使｜OA｜＝a；④在⊙O上任取一点，用“线段”工具作线段A ；⑤分别用“作图”菜单中的“线段”、“中点”、“垂线”命令得到线段A 的中垂线l；⑥选定直线l ，并用“显示”菜单中的“追踪直线”命令；⑦同时选定和直线l ,用“作图”菜单中的“轨迹”命令即可得到如图1所示的点的集合.它显然是以点O、A为焦点，以a为焦距，以R为长轴长的椭圆及其外部.
若要用动画显示，则只需在完成以上步骤①――⑥后实施步骤⑧同时选定和⊙O，并用“编辑”菜单中的“操作类按钮”和“动画”命令即可.
由此，我们便可得到本题的妙解了：如图2，由折纸法知，、A两点关于折痕所在直线l对称　，即l是线段A 的中垂线.连O 交l于点P，则|PO|+|PA|=|PO|+|P |=|O |=R.即点P在以O、A为焦点，以a为焦距，以R为长轴长的椭圆上.设点是l上异于点P的任一点，则｜＋｜ A｜＝｜ O｜＋｜  ｜＞｜O ｜＝R.即点在上述椭圆的外部.综上所述，即得上述结论.
关于椭圆有以上命题，作为圆锥曲线的双曲线和抛物线是否也有类似的命题呢？回答是肯定的.
引申1　　一张纸上画有半径为R的圆O和圆外一定点A，且OA=a.折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点A重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合.
结论　　折痕所在直线上的点的集合是以O、A为焦点，以a为焦距，以R为实轴长的双曲线及其外部（如图3）.
证明方法与上题类似，此略.
引申2　　一张纸上画有一定点F和一定直线m（点F到直线m的距离为p），折叠纸片，使直线m上的某点刚好与点F重合，这样的每一种折法都留下一条直线折痕.当取遍直线l上所有点时，求所有折痕所在直线上的点的集合.
结论　　折痕所在直线上的点的集合是以点F为焦点，直线m为准线（以p为焦准距）的抛物线及其外部（如图4）.
简证　　如图5，设折痕所在直线为l，过点作直线n垂直于直线m,交直线l于点P，则点P到直线m的距离＝|P |=|PF|.∴ 点P在以F为焦点，m为准线的抛物线上.又设是l上异于点P的任一点，过作 Q⊥m于Q，则| Q|<|  |，
又|  |=| F|，∴| Q|<| F|.  ∴点P在上述抛物线的外部.综上所述，即得以上结论.
　　　以上两个结论同样可用《几何画板》设计演示动画.
　　　由以上有关圆锥曲线的三个命题，我们不难得到圆锥曲线的又一种《几何画板》画法.
引申3　　长轴长为2a焦距为2c(a>c)的椭圆的画法(图略)：①“构造坐标系”画一个半径为2a的圆O，并在其内画一点A使|OA|=2c；②在⊙O上任取一点，连O 、A ；③画线段A 的中垂线并设其与O 的交点为P；④“追踪点”P，并同时选定点P和，再用“轨迹”命令；⑤“隐藏”除椭圆外的所有对象.
　　　引申4　　实轴长为2a焦距为2c(c>a)的双曲线的画法（图略）：画法与引申3类似，此略.
　　　引申5　　焦准距为p的抛物线的画法（图略）　：①“构造坐标系”画一点F和一直线l，使点F到直线l的距离为p；②在l上任取一点并作线段F 及其中垂线m；③过作l的垂线n，并设它与直线m的交点为P；④“追踪点”P并同时选定点P和点，再用“轨迹”命令；⑤“隐藏”除抛物线外的所有对象.
　　　以上画法同样可用“编辑”菜单中的“操作类按钮”和“动画”命令设计演示动画.

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