求组合图形面积的基本解法与思路下

求组合图形面积的基本解法与思路（下）

如果一个阴影部分所示的图形既不是基本图形，也不能通过分解、隔离、组合、平移、旋转和割补等方法 转化成基本图形或其相加减的形式时，应该怎么求解呢？如前面所介绍的方框图所示，这时可运用一些特殊的 方法进行分析解答。
    倍分比较法
    有些求面积问题，往往已知甲图形的面积却要求乙图形的面积，这时，可通过寻找甲乙两图形之间存在的 关系去求解。这个关系就是两图形面积之间的倍率（几倍）或分率（几分之几）关系。这种思路往往是通过添 加合适的辅助线来构成等底等高的三角形（或其它面积有倍分关系的图形）来进行比较和解答的。
    例１．如图１所示，三角ABC的面积为１００平方厘米，D、E、F分别为三条边的四、五、六等分点。求三 角形DEF的面积。
    （附图 {图}）
    （１）
    分析解答：根据题中的已知条件我们可推想，所求面积与已知面积之间存在着一种倍分关系，因为“两三 角形如等高，则其面积之比等于相对应底边长的比”。所以，我们来“创造”这样的三角形来帮助解答。连接 BD，由于AF＝５／６AB，所以三角形AFD的面积占三角形ABD面积的５／６，而三角形ABD的面积又刚好是三角形 ABC面积的１／４（因为AD＝１／４AC），所以，三角形AFD的面积占三角形ABC面积的分率为１／４×５／６＝ ５／２４。同理，三角形FBE和三角形ECD所占分率分别为４／５×１／６＝２／１５，３／４×１／５＝３／ ２０。因此，所求三角形DEF面积所占的分率为１－５／２４－２／１５－３／２０＝６１／１２０，其面积为 １００×６１／１２０＝５０．８（平方厘米）。
    字母代换法
    有些问题直接用算术方法解答不方便，我们可以设字母来代换。这些字母可以是所求量，也可以是中间量 ，它们有时只起媒介作用，在求解过程中，作为一个整体或一个数参加运算，在计算中互相抵销或被替代。有 时却需要通过比较、代换等简单代数运算求出它们所代表的数值后再寻求问题的答案。
    例２．用一条长７５分米的铁丝围成一个平行四边形的框架，要求它的两条高分别为１４分米、１６分米 （如图２所示），这个平行四边形的面积是多少？
    （附图 {图}）
    （２） 分析解答：条件中告诉了两条高的长度。因为在同一平行四边形中，由于面积一定，由“平行四 边形面积＝底×该底边上的高”可看出：高与对应的底边成反比例关系，所以可以用设字母等量代换的方法进 行解答。设与两条高相对应的底边分别长a分米和b分米，面积为S平方分米，可得a×１４＝b×１６＝S，a＝S ／１４，b＝S／１６而“a＋b”为周长的一半，等于７５／２分米，所以有S／１４＋S／１６＝７５／２，即 S×（１／１４＋１／１６）＝７５／２；因此，所求平行四边形的面积为：
    （附图 {图}）
    极端处置法
    一般来说，任何事物既遵循某种规律，又有其特殊性，而其特殊性往往反映出了它的普遍性规律。在解答 有些问题时，我们可以用变化的观点将图形设想于某一特殊情形来考虑，这样，往往能绝处逢生，找到解题途 径。
    例３．边长分别为４和３的两个正方形，如
    （附图 {图}）
    （３）
    分析解答：此题是求两个正方形未重叠部分的面积之差是多少。从图中可看出，空白部分可大可小，直接 计算很难解答。如果我们这样想：当这两个正方形完全分离时，它们的面积之差是４［２］－３［２］＝７。 当它们重叠时，就等于两个正方形的面积都分别减去重叠部分的面积，由于减去的面积相同，故其差仍不变。
    比例传递法
    如果两个长方形的长（或宽）相等，那么，它们的面积与它们的宽（或长）对应成比例。根据这一性质， 我们有时可以通过长度之间的比例关系将已知的面积数量传递给未知的面积，也可以通过面积的比例关系将已 知线段的长度传递给未知线段。
    例４．如图４所示，长方形被互相垂直的几条线段分成九块。其中①～⑤号五块的面积数与它们所标的代 号数相同，求这个长方形的面积。
    （附图 {图}）
    （４）
    分析解答：如果能求出⑥～⑨号四块图形的面积，问题就解决了。由图可知：⑥～⑨号图形都与其相邻长 方形或共长，或共宽。如④号图形与⑨号图形的面积比等于②号图形与①号图形的面积比，等于２：１，即可 求得⑨号图形的面积为２。同理可求出⑥～⑧号图形的面积分别为２．５、７．５和６。所以，大长方形的面 积为：
    １＋２＋３＋４＋５＋２＋２．５＋７．５＋６＝３３
    重叠法
    有些图形中的阴影部分是由若干个基本图形重叠而成的，且重叠遵循一定的规律，此类问题可用“重叠法 ”解答。
    例５．求图５阴影部分的面积。
    （附图 {图}）
    （５）
    先将原图进行分解，可以看出：图中阴影部分是在直角三角形内，以两底角顶点为圆心，圆心角为４５° 的二个扇形的重叠部分构成的。所以阴影部分面积可用两圆心角为４５°扇形的面积和减去直角三角形面积的 差来求得（如图６所示）。由此可见，若甲、乙两图形共同填满丙图形并且有部分重叠或多余，那么，这一部 分面积即为：甲面积＋乙面积－丙面积。再如图７，四个半圆填满正方形并重叠为“梅花瓣”状阴影，求此阴 影部分面积即为：四个半圆面积之和减去正方形面积所得的差。
    （附图 {图}）
    （６）
    （附图 {图}）
    （７）

    上面介绍的是一些常用解组合图形的方法和技巧。由于组合图形千变万化，不可能有一固定的解题模式。 对于具体的问题应该进行具体的分析，在认真分析题意的基础上，灵活发挥和借鉴上述解题的思想方法，一般 的组合图形面积问题都可以顺利求解。