ｎ／７与一类线性方程

ｎ／７与一类线性方程

真分数ｎ／７是一个６位纯循环小数：

１／７＝０．１·４２８５７·；２／７＝０．２·８５７１４·；３／７＝０．４·２８５７１·；４／７＝０．５·７１４２８·；５／７＝０．７·１４２８５·；６／７＝０．８·５７１４２·．

各分数除数字排列顺序有别外，其数字组成完全相同．依据这种结构特征可编排一类线性方程，通过这类方程解法的研究，可开拓中学生的思维空间，增强其分析、想象、综合、归纳等解决实际问题的能力，现提供几例供参考．

例１有一六位数，若将后三位数依次移到前三位，则所得新的六位数是原六位数的６倍．求原六位数．

解：设原六位数的前三位数为ｘ，后三位数为ｙ，则原六位数为１０３ｘ＋ｙ，移动后的新六位数为１０３ｙ＋ｘ．故依题意得１０３ｙ＋ｘ＝６×１０３ｘ＋６ｙ，即５９９９ｘ＝９９４ｙ，亦即８５７ｘ＝１４２ｙ．

又因为ｘ与ｙ皆为三位数，且ｘ的首位上的数字小于２，否则其６倍便要进位而成为一个七位数了，又８５７与１４２互质，故ｙ＝８５７，ｘ＝１４２，因而原六位数是１４２８５７．

例２有一位六位数，若将后三位数依次移到前三位，则所得新的六位数比原六位数大１３．求原六位数．

解：设原六位数的前三位数为ｘ，后三位数为ｙ，则原六位数为１０３ｘ＋ｙ，新六位数为１０３ｙ＋ｘ．依题意得４×１０３ｘ＋４ｙ＝３×１０３ｙ＋３ｘ，即３９９７ｘ＝２９９６ｙ；亦即５１７ｘ＝４２８ｙ，故有ｘ＝４２８，ｙ＝５７１，则原六位数是４２８５７１．

例３有一六位数，若将首位上的数字移至末尾，则所得新的六位数是原数的３倍，求原数．

解：设这个六位数的首位上的数字为ｘ，其余五位数为ｙ，则原数就是１０５ｘ＋ｙ，新数是１０ｙ＋ｘ．依题意可得１０ｙ＋ｘ＝３×１０５ｘ＋３ｙ，就是７ｙ＝２９９９９９ｘ，ｙ＝４２８５７ｘ．显然，ｘ只可取１或２，当ｘ≥３时，ｙ便不是五位数了．故当ｘ＝１时，ｙ＝４２８５７，原六位数是１４２８５７；当ｘ＝２时，ｙ＝８５７１４，原六位数是２８５７１４．

例４有一六位数，若将首位上的数字移至末尾，则所得新的六位数与原六位数之比为２∶３，求原数．

解：设这个六位数的首位上的数字为ｘ，其余的五位数为ｙ，则原数就是１０５ｘ＋ｙ，新的六位数是１０ｙ＋ｘ，依题意可得３０ｙ＋３ｘ＝２×１０５ｘ＋２ｙ，也就是２８ｙ＝１９９９９７ｘ，亦即４ｙ＝２８５７１ｘ．显然，ｘ只可取４或８．当ｘ＝４时，ｙ＝２８５７１，则原数是４２８５７１；当ｘ＝８时，ｙ＝５７１４２，则原数是８５７１４２．

例５有一六位数，若将前两位数依次移至末尾，则所得新的六位数是原数的２倍，求原数．

解：设这个六位数的前两位数为ｘ，后四位数为ｙ，则原数就是１０４ｘ＋ｙ，新的六位数是１０２ｙ＋ｘ．依题意可得１０２ｙ＋ｘ＝２×１０４ｘ＋２ｙ，也就是９８ｙ＝１９９９９ｘ，亦即１４ｙ＝２８５７ｘ．因１４与２８５７互质，故ｘ可取１４、２８或４２，则对应的ｙ值应是２８５７、５７１４、８５７１，故所求的六位数是１４２８５７、２８５７１４或４２８５７１．

有兴趣的读者不妨再做下列练习：

（１）有一六位数，若将末尾的数字移至首位，则所得新数是原数的５倍，求原数．

（２）有一六位数，若将末尾的数字移至首位，则所得新数与原数之比为３∶２，求原数．

（３）有一六位数，若将末尾的数字移至首位，则所得新数是原数的８０％，求原数．

（４）有一六位数，若将末尾的数字移至首位，则所得新数是原数的１３，求原数．

（５）有一六位数，若将末尾的数字移至首位，再将原数的首位上的数字移至末尾，前后两次移动所得新数之比为５∶３，求原数．

（答案：（１）１４２８５７；（２）２８５７１４或５７１４２８；（３）７１４２８５；（４）４２８５７１或８５７１４２；（５）１４２８５７）