国外小学数学教学改革的趋势

　　较多的国家结合日常生活或游戏介绍概率、统计的初步知识。如美、日、英、法等国都讲了通过试验求概率。如盒里放0，1，2，……，9的数字卡片，摇匀后每次抽一张，求抽出质数的概率。美、英等国还讲了用分数乘法计算概率。日、美等国从低年级起就出现简单的统计图表，到高年级还分别介绍了收集资料、数据处理、作频率分布表和求平均数、中数、众数等。

　　还有一些国家结合认数和计算介绍与电子计算机有关的基础知识，如二、三、四、五进位制及其简单加减法，简单的流程图，简单的逻辑语句等。

　　（三）用结构的思想处理传统的数学内容，强调用现代数学的基础概念（如集合、运算、关系和映射等）把小学数学的内容组成统一的整体。如美国的一套小学数学课本在序言中明确指出：“强调概念、结构、精确语言和演绎方法”。美、法等国的课本都用集合的观点来讲传统的算术、几何概念。如英国小学数学第二册讲：“没有对应起来的数目是差”。法国小学数学课本中讲：“两条带子的交是一个点的集合，叫做平行四边形”。美、苏、法、英、联邦德国等国在开始讲加法、乘法时就通过直观引入一些运算性质，以后学计算方法时都用运算性质推导。例如，9+2=9+（1+ 1）=（9+1）+1=10+1=11；23×4=（20+3）×4=20×4+3×4=80+12=92。

　　（四）强调使学生掌握常用的数学术语和符号。苏联小学数学教学大纲中指出：“应该使儿童简单而又自然地掌握数学术语”，并在一年级课本的开头就出现“加数”，“和”等术语以及“＞”“＜”等符号。日本小学算术学习指导要领中还明确规定了各年级学生要掌握的术语和符号。

　　在增加了教学内容，强调发展学生思维，培养独立获取知识的能力之后，如果仍用传统的教学方法，把学生当作容器，采取注入式，单纯地传授知识，多次的重复，显然不能适应新的要求。因此有些心理学家、教育家纷纷提出要改革教学方法。如皮亚杰提出，“要制定现代的教学方法来教现代数学”，布鲁纳认为，“选择一定的教法，有可能把自然科学和数学的基本概念教给比传统年龄轻得多的儿童”。布鲁纳倡导采用发现法，强调“教数学……要让学生自行思考数学，参与到掌握知识的过程中去。”他还同数学家狄因斯一起亲自试验。赞可夫也指出，既然教学大纲补充了新的内容，当然以前没有采用过的教学方式的出现是不可避免的。他强调要“让学生自己去寻求问题的正确解答”。他领导的试验既改革了教材也改革了教法。例如，注意激发学生独立地探索；让学生进行有目的的观察，发现所学教材的各部分之间的内在联系；提出一系列问题，让学生思考解答途径；注意教学方式的多样化；加强实际操作等。

　　早在数学教育现代化运动初期，就有人提出反对意见。美国应用数学家克莱因在1962年就批评新数学只重视数学的内容，而忽视数学的方法；教学的对象只是少数学生，培养尖子；急于搞抽象化，强调演绎推理等。七十年代，各国小学数学教材改革经过了一段时间的试验，逐渐暴露出一些问题。主要是教师难教，学生难学，负担重，成绩下降。典型的例子如：小学生懂得6×7=7×6，却不知道积是42。教师、家长以及社会各界纷纷对新数学提出批评或反对的意见。1973年克莱因又写了一篇题为《庄尼为什么不会加？》的小册子，指责新数学是失败的。归纳各方面的主要意见是：第一，只考虑数学本身的发展和需要，片面强调纯理论的抽象的概念，忽视社会的实际应用；第二，强调理解，忽视基本技能的训练；第三，只适用一般水平以上的学生，培养少数有才能的尖子，忽视面向全体学生。随后在美国以及其他一些国家掀起一场“回到基础”运动，要求取消新数学，主张小学数学要着重基本计算技能的训练。但是也有反对的意见。1975年美国数学教育全国咨询委员会在一篇题为《对数学教育总的看法和分析》的报告中指出，数学成绩下降是否大部分归咎于“新数学”值得怀疑，因为改革运动的建议只有很少一部分在课堂上实行，而且也没有充分重视教师培训。1977年美国《洛杉矶时报》发表一篇文章也谈到“尽管新数学遭到批评，但是很少有人认为它完全失败。目前的课本又将重点放在基本技巧上，但仍旧含有新数学中介绍的许多概念。”1980年1月召开的关于数学课程变化的国际会议所发表的综合报告中也指出，要预测二十年来数学教育改革的永久效果还为时过早。美国全国数学教师协会的八十年代《行动计划》中，批评了“回到基础”运动，认为想把数学能力放在低水平上，不能适应新的变化的需要。在苏联争论也很厉害，有些数学家提出用集合论解释数学概念没有必要。指出这样把教材人为地复杂化，使学生对知识只是形式主义的理解，小学一年级学习用方程解应用题也是形式地接受。但是也有人认为，四五年级引入集合，带变量的命题和语句，仅仅是使数学教学的某些语言标准化、明确化。也有一些教师反对走回头路。近几年，争论虽基本平息，但并没有取得完全一致的看法。1982年美国有一篇文章说：“过去两三年虽然有达到均势的趋向，但这并不意味着达到观点一致。”

　　为了克服新数学所出现的一些缺点，七十年代末至八十年代初，许多国家相继在总结经验的基础上修订了小学数学教学大纲和课本。如法国于1977年修订公布小学预备课程（即一年级）数学教学大纲，以后陆续修订公布其他年级的。日本于1977年公布了修订的小学算数学习指导要领。1978年起苏联教育部陆续修改了小学数学教学大纲，并于1981年公布了草案。同年苏联教育部公布了1981～1982年度中小学数学教学纲目，1982年又公布了1982—1983年度中小学数学教学大纲，对大纲内容作了进一步修改。随后又陆续修改了课本。美国没有统一的教学大纲，但是美国全国数学教师协会拟出的八十年代《行动计划》，反映了近几年数学教学改革的趋向。另外，近几年也出版了一些新课本，同七十年代的课本比较，也有一些修改。其他国家（包括一些第三世界国家）对课本也做了修改。

　　近年来，小学数学教材改革的趋势主要有以下几点：

　　（一）强调使小学生掌握必要的数学基础知识和基本技能，为进一步学习打好基础。这一要求主要是针对过去小学数学教材改革过分强调数学教育现代化，重视抽象数学概念，忽视必要的传统的数学基础知识，和削弱了计算能力的培养而提出来的。1978年联合国教科文组织出版的《数学教育新趋势》中就曾指出，“小学阶段算术仍是数学教学的中心科目”。法国修改的课本中明确指出，数的读写和运算是“大纲的核心的基本知识”，并加强了算术基础知识和四则计算的基本训练，不仅增加了练习题，计算的数目也适当加大。日本学校课程审议会向文部省报告中提出修订算数科的基本方针时强调“要重视切实学会基础知识，熟练掌握基本技能。”在修订的算数学习指导要领中，简化教学目标，突出使学生掌握有关数量和图形的基础知识和技能，还增加低年级的教学时间，加强20以内加减法和乘法表的练习。苏联在修订小学数学教学大纲时，也特别强调“算术是初等数学课程的基础”，重视给儿童进一步掌握数学知识、技能和技巧建立足够的巩固的基础，并且规定了各年级的基本教学要求；四五年级强调，首先是对小学学过的数学知识进行概括和发展，使学生掌握自然数和整数、分数和小数的计算技巧，其次是学习代数和几何的极其初步的知识。自然数运算、正负数运算、有理数运算等，都单列一章，不与数概念混在一起。美国全国数学教师协会也强调培养学生基本技能，但是认为应反映新的变化着的需要，因此应当包括比计算技能更多的东西，如解问题的能力，对结果的合理性的觉察力，估算和求近似数，度量的技能，阅读、解释和制作图表的技能等。

　　（二）删减一些不十分必要的和小学生难接受的内容，切实减轻学生负担。日本修改小学算数学习指导要领时，删去了等式的性质、验证运算定律的成立、旋转体的概念、柱体的体积、计算概率、负数等。苏联修改小学数学教学大纲时，强调把减轻负担作为改进一至三年级教学工作的主要方针；不再强调三年学完过去小学四年的内容，只学完乘数、除数是两位数的乘、除法，不出现用两步运算来解的方程，相应地也删去用方程解两步以上的应用题，也不再要求在不带方格的纸上画直角和长方形。四、五年级删去集合的符号和一些几何作图等。美国的小学数学课本也删减一些从中学下放到小学的内容，如直角坐标、椭圆、柱体和锥体等。

　　（三）在安排上更注意适合儿童的年龄特点和接受能力。这是针对过去过多强调儿童的早期学习和提倡高速度、高难度，致使许多比较抽象的和难理解的内容过早出现而造成困难这一缺点而提出的。例如，在日本，小学算

　　体积的概念、全等图形等从四年级移到五年级，对称、图形的包含关系以及频率分布等从五年级移到六年级。苏联在修改大纲时也作了不少调整，主要的有：两位数进位加法和退位减法、两步应用题、用字母表示数、解最简单的方程和列方程解应用题，从一年级移到二年级；多边形周长的概念、几分之一大小的比较等后移；乘数、除数是三位数的乘、除法，从三年级移到四年级；原来二、三、四年级含有两步和两步以上运算的方程以及相应的列方程解应用

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　　（四）继续保留数学教育现代化运动中某些带方向性的有益的处理方法，更注意适应小学生的特点。七十年代以来，尽管反对新数学的呼声很高，但是多数国家修订教材时继续保留某些带方向性的有益的做法，只是根据小学生的特点，采取更直观易懂的形式，更多地结合传统的算术内容以渗透的方式来处理。例如，日本文部省在关于修订小学算数学习指导要领的说明时指出，基本维持现代化思考方法；强调用集合的思考方法来教数量和图形等内容，可以更明确理解所学内容的意义；并认为逐渐培养用集合观念的思考方法很有必要。但是也指出，集合本身不是教学内容。日本新编的小学一年级数学课本，仍结合认数和计算出现韦恩图。数量关系的教学改从三年级起，仍包含函数、式子表示、统计资料等内容，只是不再划分为三个部分。法国小学数学保持现代化的方向更为明显。小学一年级仍出现韦恩图，但不再出集合的名称和符号。讲算术知识继续渗透集合、函数思想，但不再用集合观点给一些概念下定义。1983年亚太地区数学教育规划讨论会的报告也认为，集合的思想应该在各级教材中用作教学数学概念的语言，而不要作为独立的课题来教。美国近年来出版的一些课本，一方面继续用集合的思想说明一些算术内容，另一方面对某些现代数学内容降低了要求或者做较灵活的处理。例如，概率只讲根据具体试验结果求出现的概率，简单树图、平移、旋转、反射等都单独用小标题标出来，放在每章的测验题之后，用以扩大学生的知识面，给学生积累一些有关现代数学的感性材料。

　　（五）有些国家针对过去过分强调语言精确、严密而出现过多的数学术语和符号所带来的问题，做了改进。如日本修订的算数学习指导要领中，对每个学年要掌握的数学用语和符号做了一些精简。

　　（六）在一些发达的国家中，随着计算机的应用日益广泛，开始增加计算机教学。如美国小学，计算机的普及率已超过一半，有些学校利用计算机使学生既学到数学概念，又学到简单的计算机语言和编程序的方法；有些学校则用计算机使学生提高所学技能，只对好的学生教学编程序。法国最近规定，在小学用80课时教学计算机。但就大多数国家来说，在小学进行计算机教学仍处于试验阶段。

　　近些年来除了在教材方面进行调整外，更加重视教学方法的改革和推广工作。1975年美国数学教育全国咨询委员会在一篇报告中指出，数学教育现代化未能成功，不完全是教材问题，跟教法没有作相应的改革有很大关系。因此有些人从教材改革的研究转向教法改革的研究。

　　在教法改革方面有以下几个趋势值得注意：

　　1.强调提高教学效率。就是提高单位时间内所完成的教学工作量。赞可夫曾不止一次地批评传统的教学法是多次单调的重复，浪费很多时间。他提出教学方法要注意科学、有效。他认为要求学生一下子记住的方法是不科学的，势必要搞成死记硬背。他强调要重视理解，加强各部分知识之间的联系，练习和复习要得法。现在，苏联强调要善于依据教学论、儿童心理学、教育心理学和逻辑学的基本原理选择一定条件的最优教学方案。认为提高教学效果的主要潜力，基本上应当在改进每一节课的质量方面来找。还采取一些具体措施，保证既提高学生的数学成绩，又不增加课业负担。如在课本中安排好每节课的内容，严格控制课外作业量，充分利用已学的知识作为学习新知识的基础，每一节课既教学新知识又适当复习旧知识等。美国全国数学教师协会拟订的八十年代《行动计划》中第四条，明确提出“必须把既讲效果又讲效率的严格标准应用于数学教学。”强调“教师必须尽最大可能用效果最好、效率最高的方法。”

　　2.强调发挥学生的学习积极性，鼓励学生独立发现和探索，培养学生独立获取知识的能力。皮亚杰提出“一切真理都要由学生自己获得，或者由他重新发明，至少由他重建，而不是简单地传递给他。”布鲁纳也说“用自己的头脑亲自获得知识”。赞可夫也强调要“激发学生独立的探索性的思想”。布鲁纳倡导的“发现法”就是为适应这一目的要求的。但是在国外发展学生智力，培养独立获取知识的能力，不只限于用发现法，而采用多种教学方法。特别是纯发现法有一些缺点，也不是对任何年级、任何内容都适用。目前有人提倡有引导的发现法，就是在发现的过程中，可以有某几个环节，教师给以帮助、引导。目前常用的有讲解法、问答法、探究法、发现法、实验法等。除讲解法外，采用其他方法时学生在课堂上都有一定的活动，只是所占的比例不同（如下图所示），但对于发展学生思维、培养学生独立获取知识的能力，都有一定的益处。一些教学法工作者还主张多种方法结合。在苏联，也十分注意启发学生独立思考，培养学生独立工作能力。他们把传统的教学方法从性质上和方向上加以改变，以适应现代的要求。例如，采用讲解法时重视调动学生的积极性，激发学生独立思考。采用谈话法时，一方面强调要提出富有启发性的问题，另一方面要促使学生根据已学的知识和自己的观察、经验得出新的概念、法则和结论，而不只是再现一些知识。目前在苏联把独立作业提到极其重要的地位，不仅用于再现一些定义、法则，巩固和完善已获得的知识、技能和技巧，而且用于学习新教材，使学生用已学的知识独立地解新的较复杂的应用题或解决新的理论问题。例如四年级教学乘法分配律时，教师先提出三道应用题，让学生分别用两种方法解答，然后按照计划进行比较，找出相同点和不同点，再用字母表示式子，得到（a＋b）c=ac＋bc，最后表述定律。独立作业在整个课堂教学的比例也增大了。高年级还让学生独立阅读课本（如五年级分数乘法）。在苏联特别强调根据目的任务、教材特点以及学生情况等选择最合适的方法。

　　3.强调通过多种活动使学生掌握数学。1976年第三届国际数学教育会议上就曾提出，教学时要通过多种活动，如画图、操作、制作、调查、收集周围环境的数字材料等来组织教学。美国全国数学教师协会的八十年代《行动计划》强调，要鼓励学生提问、实验、估计、探索、提出解释；解应用题时，要采取多种形式，通过各种活动，如图表模型、观察现象、图解、模拟真实情况等来提供应用问题的情景。苏联小学数学教学法中也强调采用多种多样的教学活动和组织形式，认为这样可为培养儿童的认识能力创造条件。他们还提高了实际作业的比重，特别是讲几何初步知识时，强调让学生制做、画图、剪纸、叠纸、观察和认识周围环境的几何图形；解应用题时要注意结合儿童的活动，如公益劳动、旅行等收集编应用题的材料。

　　4.面向全体学生，并适应个别差异。数学教育现代化运动初期，强调培养尖端人才，提出个别化的教学方法，实际上只注意到优等生，忽视对差等生的教学。结果发展了天才教育，大多数学生数学成绩下降。现在已开始注意面向全体学生，同时适应个别差异。近年来，国外进行了许多试验，提出了分组教学。如美国恩德希尔设计出一个教学范型（如下图）

　　在教某一数学概念之前，先了解和估计一下有哪几个学生已经理解和掌握这个概念，教学时就让他们直接进入充实提高的活动，而大多数学生则由教师教学。经过大组、小组、个别教学以后，进行检查诊断，已掌握好的学生也进入充实提高组，还需要再练习的进入练习组，还没掌握好的进入重授组。到适当时候，所有的学生又作为一个班级一起进入下一个数学概念的学习。日本的数学教学法中也提倡个别化的指导，强调在课堂上尽量减少一齐学习的时间，教师多看每人的作业本，观察学生操作教具，及时发现练习中的错误，及时“治疗”。苏联小学数学教学法中也强调把个别教学和集体教学巧妙地结合起来。认为对学生进行有区别的指导，是课堂教学的一个重要方面，并且提出，教师指导下的集体作业，应该跟各种形式的小组作业和个别作业交替进行。教师一般要准备几种差别作业，有的作业还要考虑到每个学生的程度特点，对于学习有困难的，还要准备专门的辅导教材。

　　5.重视广泛使用直观教具和现代教学手段。在国外，提倡使用多种多样的数学教具，不仅由教师演示，而且重视让学生操作；不仅用于知识的讲解，而且用于思考推理的练习；不仅用于课内，而且用于课外。例如，美、英、苏等国都提倡广泛使用彩色木条（奎逊耐木条）来教学认数和四则运算，说明简单的分数等。为了认识几何形体，用硬纸板剪成形体的各个面，随时可以拼装。木制的各种几何形体，配合识图，还有助于发展空间观念；把它们放在表示集合的圆圈里，又是很好的逻辑推理练习。现在国外小学还开设数学实验室或实验角，准备各种各样的教具、操作用具，许多用发现法教学的课就在数学实验室中进行。

　　近年来，在一些发达的国家和地区，还广泛使用现代教学手段，如幻灯片、影片等。在日本，配合各册课本制作的幻灯片总计达三百多张。近年来，有些国家还允许或提倡使用电子计算器。关于计算器的使用，各国还有不少争论，特别是许多教师不赞成小学生使用计算器，担心会忘掉计算技能。但是不少实验报告都认为，计算器有助于掌握基本技能和数学概念以及解答应用题，不会损害学生的成绩。同时也认为要考虑到小学生的特点，一般宜于在高年级使用，在使用之前应先掌握基本计算技能。美国全国数学教师协会八十年代《行动计划》中提出，超过两位数的计算就可以用计算器。日本算数学习指导要领中规定，高年级可以适当使用计算器，但是不能影响培养学生的估算能力。至于使用计算器以后会带来什么样的影响，有些人认为还需要进一步研究。关于计算机，美、英等国已有不少小学在数学课上用作辅助教学手段，不仅用于学习计算，解应用题，而且用于辅导儿童，解答疑难问题；此外还用于记录和分析学生成绩并根据学生的进步情况制定学习计划，而且逐渐成为在家庭中对孩子进行教育的用具。