加强线性代数的教学 提高学生的数学能力

加强线性代数的教学 提高学生的数学能力

　　加强线性代数的教学 提高学生的数学能力
　　
　　基金项目：2010年湖南省普通高等学校教学改革研究资助项目（湘财教指［2010］74号）
　　
　　作者简介：陈佘喜（1965-），男，湖南邵东人，教授，硕士生导师，主要从事应用数学的教学与研究。
　　
　　陈佘喜
　　
　　（湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201）
　　
　　摘要：线性代数是理工科各专业一门重要的基础课。本文结合线性代数课程的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述了数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生的数学能力的若干途径。
　　
　　关键词：线性代数；数学能力；培养途径
　　
　　中图分类号：O157，G420文献标识码：A文章编号：1674-5884（2013）04-0109-03
　　
　　线性代数是理工科各专业一门重要的基础课，为学生学习后继课程提供必要的有关矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换等方面的基本概念与基础理论，以及处理实际问题的基本方法［1-4］。众所周知，数学能力是学生完成数学活动的可能性方面的个性心理特性，是顺利完成数学活动的必要的心理条件［5, 6］。数学活动主要是通过思维与想象，形成和掌握数学的基本概念、基本理论以及常用的数学方法，进而应用数学知识解决相关的实际问题。数学能力是在数学活动中形成和发展起来的，并在数学活动中得到表现，但同时它又是学生进行数学活动的条件与保证，是由数学活动所要求的多种基本能力的有机组合，也就是学生的一般能力在数学活动中的具体化。本文将结合线性代数课程教学的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生数学能力的若干途径。
　　
　　一把握教学内容，培养数学能力
　　
　　（一）数学材料的概念化
　　
　　数学材料的概念化，就是通过分析给定的数学材料的数量关系与空间形式，抽象出本质的东西进行科学概括，也就是用数学概念来描述材料的本质特征。矩阵是线性代数课程中最基本的概念，从历史上看，我国东汉初年《九章算术》中的“方程术”，其实质就是解线性方程组的高斯消元法。作为一个数学概念，矩阵（matrix）这个词是在1850年由英国数学家、剑桥大学教授Sylvester首先提出来的。利用矩阵的概念，人们将在生产实践中需要处理的一组相互独立的数据，以表格的形式系在一起，视为一个整体，用一个量来表示，并参与运算，就使原来庞大而杂乱的数据，变得简单而有序。特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，其反映了线性变换的本质特征，因为在将一个线性空间变换到自身的过程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸长”或“缩短”的那些向量，而“伸长”或“缩短”相同“倍数”的向量就是属于同一“特征值”的特征向量。在德语与荷兰语中，特征值（eigenvalue）与特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本质属性”。
　　
　　数学材料的概念化，表现在学生能够按照新的观点来对待和处理各个阶段所积累起来的数学知识，并把以前好象是零散的和孤立的事实和概念组织和联合起来，使之成为一个有机的整体。例如，矩阵的初等行变换是线性代数课程中一个重要的方法，最初的引入似乎仅仅是为了简化表示用高斯消元法求解线性方程组的过程，而随着课程的深入，初等行变换也可以用来求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、求向量组的极大线性无关组、求矩阵的逆，甚至可以用来做矩阵的三角分解等等，这样，通过矩阵的初等行变换，将线性代数课程中有关的重要概念、定理和方法连成了一个有机的整体。
　　
　　线性代数课程中的数学模型，是数学材料概念化的一种重要形式，它是在一定的假设条件下，将实际问题用数学语言表达出来的一种方式，能反映或近似反映该问题的数量关系。例如，在工厂考虑生产成本的问题中，若用mij表示生产第j种单位产品所花的第i类成本，则矩阵M=（mij）表示生产各种单位产品所花费的每类成本，若用P=（pij）表示第i种产品在第j个季度的产量，那么，乘积MP中第i行第j列的元素就表示在第j个季度所花的第i类成本的量，而且MP的列和为每个季度的总成本，行和为全年的各类成本。
　　
　　（二）用数学符号进行运算
　　
　　数学概念揭示了事物在变化的数量关系与空间形式上的本质特性，它们是通过构造相应的量化模式来明确定义的，并表达为一定的术语与特定的符号。n阶行列式的概念，反映了n2个数之间的一种运算关系，这种关系就是先在行列式中每行每列各取一个数做乘积，再求所有这种可能的乘积项（共有n!项）的代数和，从函数的观点来看，行列式就是一个n2元的函数。数学中的基本定理，揭示了数学概念之间的必然联系，反映了数学符号之间的内在关系。行列式按行（列）的展开定理，反映了行列式与其一行（列）元素及相应的代数余子式的关系，而更为一般地，拉普拉斯定理表明了如何将高阶行列式转化为若干低阶行列式的计算；方阵的伴随矩阵的性质：AA*=A*A=AE，反映了方阵A、伴随矩阵A*与行列式A之间的联系，同时也展示了行列式的展开定理的本质，更进一步地，如果A≠0，上述性质还可以给出逆矩阵A－1的一个表达式。
　　
　　能否正确地运用数学符号进行运算，是学生数学能力高低的直观表现。在矩阵阶梯化过程中，如果不同矩阵之间用“=”连接，就说明了学生对于矩阵相等的概念是模糊的。对于多项式f（x）=a0+a1x+…+amxm与方阵A，若将f（A）表示为a0+a1A+…+amAm，则说明学生对形式多项式的概念还停留在数多项式的阶段，并未理解矩阵多项式的概念，而能力较强的学生，则能立即发现上述表达式的错误，因为后者在一般情况下是没法进行矩阵加法运算的。实际上，由矩阵幂的定义，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
　　
　　（三）思维的逻辑性
　　
　　逻辑思维就是按照逻辑规则而进行概念的运演来取代作用于现实事物的行动的思维。线性代数中内在的逻辑建构，决定了逻辑思维能力是学生数学能力不可或缺的成份，同时也为学生的逻辑思维训练提供了极为有利的条件。
　　
　　逻辑思维的一个方面是分析思维，表现在对数学概念的定义、运用和对概念的分类，以及推理的形式和方法。例如，在证明矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩时，由表达式AB=C可知，乘积矩阵C的每个行向量都可以经矩阵B的行向量组线性表出，因此，矩阵C的行向量组的极大线性无关组也可以由B的行向量组的极大线性无关组表出，于是rank（C）≤rank（B）；同时，因为BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
　　
　　逻辑思维另一重要的方面是辩证思维。它在数学概念中的体现，一是将形成的数学概念具体化，把反映事物单一属性的数学概念与事物的多样性统一起来，更全面地认识客观现实；二是将数学概念分化与推广，正确区分概念间的联系与区别，把握数学的逻辑建构。例如，给定了n维线性空间的一组基，则其上所有的线性变换与所有的n阶方阵之间存在一一对应的关系，由此，当线性空间的基发生变化时，线性变换的矩阵也会发生变化，这种变化规律就是方阵间的相似关系，并且由矩阵乘法的运算律可以断言，线性变换的乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
　　
　　（四）思维的创造性
　　
　　思维的创造性指思维活动的方式不仅善于求同，更善于求异。创造性思维是有目的、受支配的创造性想象，也是为解决问题的反复、有步骤和连贯的思考。创造性思维的结果，不单纯是应用已知的概念和方法，还要创造新的形象、意义与方法，并利用它们来揭示问题新的特性和解决问题。创造性思维主要表现在以下三个方面：
　　
　　一是对已有的数学概念和方法进行最严格的评价，进而突破其局限性。例如，克拉姆法则是一个经典的关于线性方程组的求解公式，它明确给出了线性方程组的解与系数之间的关系，在线性方程组理论中有着非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只适合于方程组含n个未知量和n个方程，且系数行列式不为零的情形，二是当n≥4时，计算量比较大。因此，突破这种局限，寻求一种更为有效的线性方程组的解法，是势在必行的，也就是熟知的高斯——若当消元法。
　　
　　二是能顺利地从一种心理运算转移到另一种心理运算，寻求解决问题的简捷方法，象简单结构的推理、一题多解等。例如，一个n元线性方程组可以写成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，则该n元线性方程组的解的问题等价于向量β由向量组α1，α2，…，αn的线性表出的问题；特别地，齐次线性方程组是否有非零解等价于向量组α1，α2，…，αn是否线性相关。进一步地，矩阵关系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量组就是线性相关的，B的列向量也是齐次线性方程组AX=0的解向量，因此，B的列空间是AX=0的解空间的一个子空间。
　　
　　三是不使数学材料迁就于现成的概念，而是善于用材料来检验这些概念。在建立数学模型的过程中，这方面的能力就得到了比较充分表现。同样的数学材料，运用不同的假设条件和相应的数学概念，可以建立不同的模型，应用不同的解题方法或技巧，又可以得到不同的结果，而对于这些结果的分析，与实际数据的吻合程度，就可以在一定程度上检验所运用的知识的合理性。
　　
　　（五）数学记忆能力
　　
　　数学记忆能力是对于数学的量化模式及逻辑建构的记忆力，记忆的主要形式是逻辑记忆与概念记忆。例如，关于向量组的线性相关性的一些判定定理和性质定理，学生在学习过程中经常出现对定理的条件与结论不熟悉、运用出错，实际上，这些定理大部分是以“等价命题”的形式给出的，因此，从一个基本的结论出发，就可以推及其他；此外，基本定理的证明方法都是基于线性相关性的定义结合线性方程组的同解变形。
　　
　　应当注意的是，记忆能力与学生的注意力和定势有关，注意力集中，才能排除来自外界的大量无关的“干扰”，包括其他学生的行为、教师的外貌、教室内外不断发生的微小事件等等，才可能对教师的演示和语言等信息有较好的理解和加工，达到对知识的记忆。记忆能力也与知识的内容、表现形式、难度和可理解性等有关，因此，往往看到同一个学生对不同内容的记忆程度表现有较大的反差。
　　
　　（六）空间想象能力
　　
　　空间想象能力与数学所研究的对象所处的空间形式有关，要求能对空间的几何体进行剖分，能借助空间图形来反映量化的数学表达式的意义。例如，对于特征值与特征向量的定义式Aξ=λξ，在二阶的实矩阵的情形时，A定义了一个从R2到自身的映射，在此映射下，二维向量ξ的像只是原像的λ倍，从几何上看，像与原像平行。又如，在二维平面上的2个不共线的向量可以张成一个平行四边形，而该平行四边形的有向面积就是以这2个向量的坐标作为列向量的二阶行列式的值；在三维空间中的3个不共面的向量可以张成一个平行六面体，而其有向体积就是以这3个向量的坐标为列向量的三阶行列式的值。以此类推，在n维空间里给出了n个向量后，它们也能够张成一个n维的平行多面体，它的有向体积就是由这n个向量的坐标为列向量所构成的n阶行列式的值。
　　
　　二优化教学环节，提高数学能力
　　
　　数学能力与数学基础知识、数学技能密切相关又相互区别。扎实的数学基础知识与熟练的数学技能有助于数学能力的提高，反之亦然。因此，数学能力的培养与数学基础知识和数学技能的培养是相辅相成，密不可分的。从教学环节来看，数学能力的培养途径大致如下：
　　
　　（1）组织教学内容。一般说来，对于教学内容的组织有2种方式，一是综合法，即教学材料的选择应该有助于使学生了解教学目的和唤起掌握知识的欲望，在学习中不断寻找和试探正确的解决问题的方法，分析所犯错误并改正错误；二是分析法，即从标准形式相似的基本内容开始练习，练习的内容应该有助于对结果的了解，在练习中通过不断牢记正确的东西，将它们逐渐联合成一个有机的整体。
　　
　　（2）选择教学方法。基本的教学方法不外乎3种，一是对原则的教学，就是预先将一般的原理、公式、定理或算法的内涵传授给学生；二是范例教学，就是使学生在理解和应用数学材料的进程中亲自发现这些材料的本质关系；三是思维结构定向的教学，就是教学生学会一些解决问题的方法，再启发他们寻找对象的一些特征，并借助于这些方法和特征来发现对象之间的必然关系，从而揭示出数学材料的本质关系。但无论选择哪种教学方法，都要注意到先使学生掌握知识内容，再独立运用知识，然后将所学的内容迁移到新的情境，即启发学生积极思维。
　　
　　（3）加强实践环节。比如数学实验、数学建模、课外科技活动和传统的课外作业等，都是重要的实践教学。在数学的实践教学中，要注意使学生能利用所学的理论知识来阐明一些客观事物的本质和成功地解决某些理论或实践课题。一般的做法是先阐明解答问题的原则，再指出对课题来说有关重要的资料和关系，即所谓的提示，使学生更加清楚地感知课题有关的未知关系，然后对课题的解答进行分析，使学生区分出解答课题时所需要的本质关系和材料。
　　
　　总之，在数学能力的培养过程中，既要将数学知识和数学技能紧密结合起来，也要注意到学生的个性心理特征，才能收到比较好的效果。尤为重要的是，我们不仅要使学生精通数学概念和数学方法，更要使学生了解发现这些概念和方法的局限性，看到客观事物和关于客观事物的观念之间的区别，从而能够走上用直接同事物和现象的相互作用所产生的视觉来洞察事物的道路，即具备创造性思维，这才是能力培养的根本目的所在。
　　
　　参考文献：
　　
　　［1］ 同济大学应用数学系。线性代数（第四版）［M］。北京：高等教育出版社，2005.
　　
　　［2］ 北京大学数学系。高等代数（第三版）［M］。北京：高等教育出版社，2003.
　　
　　［3］ 陈怀琛，高淑萍，杨威。工程线性代数［M］。北京：电子工业出版社，2007.
　　
　　［4］ Leno S J. Linear Algebra with Applications［M］。北京：机械工业出版社，2007.
　　
　　［5］ 曹才翰，章建跃。数学教育心理学［M］。北京：北京师范大学出版社，2001.
　　
　　［6］ M. 克莱因（北京大学数学史翻译组译）。 古今数学思想［M］。上海：上海科学技术出版社，1980.

【加强线性代数的教学 提高学生的数学能力】相关文章：

加强训练提高数学能力08-07

加强学生课外阅读 提高学生作文能力08-17

加强数学实践活动教学 提高学生综合素质08-17

加强数学实践活动教学 提高学生综合素质08-08

加强小练笔训练，提高学生写作能力08-05

[小学数学]加强数学实践活动教学 提高学生综合素质08-17

[作文教学论文]加强学生课外阅读 提高学生作文能力08-17

“反思”能提高学生的数学能力08-17

加强说话训练提高表达能力08-05